В математике доказательство без слов (или визуальное доказательство ) — это иллюстрация тождества или математического утверждения, которое можно продемонстрировать как самоочевидное с помощью диаграммы без какого-либо сопровождающего пояснительного текста. Такие доказательства можно считать более элегантными, чем формальные или математически строгие доказательства, из-за их самоочевидности. [1] Когда диаграмма демонстрирует частный случай общего утверждения, чтобы быть доказательством, оно должно быть обобщаемым. [2]
Доказательство без слов — это не то же самое, что математическое доказательство , поскольку оно опускает детали логического аргумента, который иллюстрирует. Однако он может дать зрителю ценную интуицию, которая поможет ему сформулировать или лучше понять истинное доказательство.
Утверждение о том, что сумма всех положительных нечетных чисел до 2 n − 1 представляет собой полный квадрат , точнее, полный квадрат n 2 , можно продемонстрировать доказательством без слов. [3]
В одном углу сетки один блок представляет 1, первый квадрат. Его можно обернуть с двух сторон полосой из трех блоков (следующее нечетное число), чтобы получился блок 2 × 2: 4, второй квадрат. Если добавить еще пять блоков, получится блок 3 × 3: 9, третий квадрат. Этот процесс можно продолжать бесконечно.
Теорема Пифагора , которую можно доказать без слов. [4]
Один из способов сделать это — визуализировать больший квадрат со сторонами с четырьмя прямоугольными треугольниками со сторонами и в углах так, чтобы пространство в середине представляло собой диагональный квадрат с площадью . Четыре треугольника можно переставить внутри большего квадрата, чтобы разделить неиспользуемое пространство на два квадрата и . [5]
Неравенство Йенсена можно доказать и графически. Пунктирная кривая по оси X — это гипотетическое распределение X , а пунктирная линия по оси Y — соответствующее распределение значений Y. Выпуклое отображение Y ( X ) все больше « растягивает» распределение для увеличения значений X. [6]
Журнал Mathematics Magazine и College Mathematics Journal регулярно публикуют статью под названием «Доказательство без слов», содержащую, как следует из названия, доказательства без слов. [3] На веб-сайтах «Искусство решения проблем» и USAMTS используются Java-апплеты , иллюстрирующие доказательства без слов. [7] [8]
Чтобы доказательство было принято математическим сообществом, оно должно логически показать, как утверждение, которое оно призвано доказать, полностью и неизбежно следует из набора предположений . [9] Доказательство без слов может подразумевать такой аргумент, но оно не приводит его непосредственно, поэтому оно не может заменить формальное доказательство там, где оно требуется. [10] [11] Скорее, математики используют доказательства без слов в качестве иллюстраций и учебных пособий для идей, которые уже были доказаны формально. [12] [13]
Мы всегда стараемся четко помнить о том, что предполагаем и что доказываем.
Под «доказательством» мы подразумеваем последовательность утверждений, каждое из которых либо предполагается, либо следует из предыдущих утверждений по правилу дедукции, которое само предполагается.
Доказательства без слов, строго говоря, не являются доказательствами , поскольку обычно отсутствуют детали.
Однако основание аргумента на геометрической картине не является доказательством...
Однако, поскольку большинство доказательств без слов носят визуальный характер, они часто служат напоминанием или намеком на то, чего не хватает.
Эта небольшая коллекция разнообразных визуальных «доказательств» (можно утверждать, что этот термин здесь широко применяется) интересна и поучительна.
Лично я нахожу такие представления привлекательными и стимулирующими, помогающими этому «ага!»
момент, когда символический аргумент, кажется, не вносит ясности.