Функция окна

Function used in signal processing

Популярная оконная функция — окно Ханна . Наиболее популярные оконные функции представляют собой подобные колоколообразные кривые.

В обработке сигналов и статистике оконная функция (также известная как функция аподизации или функция сужения ^[1] ) — это математическая функция , имеющая нулевое значение за пределами некоторого выбранного интервала . Обычно функции окон симметричны вокруг середины интервала, достигают максимума в середине и сужаются к середине. Математически, когда другая функция или форма сигнала/последовательность данных «умножается» на оконную функцию, произведение также имеет нулевое значение за пределами интервала: остается только часть, где они перекрываются, «вид через окно». Эквивалентно и на практике сегмент данных внутри окна сначала изолируется, а затем только эти данные умножаются на значения оконной функции. Таким образом, основной целью оконных функций является сужение, а не сегментация.

Причины для изучения сегментов более длинной функции включают обнаружение переходных процессов и усреднение по времени частотных спектров. Продолжительность сегментов определяется в каждом приложении такими требованиями, как разрешение по времени и частоте. Но этот метод также изменяет частотный состав сигнала за счет эффекта, называемого утечкой спектра . Оконные функции позволяют нам распределять утечку по спектру различными способами в соответствии с потребностями конкретного приложения. В этой статье подробно описано множество вариантов, но многие различия настолько тонки, что на практике оказываются незначительными.

В типичных приложениях используемые оконные функции представляют собой неотрицательные, плавные, колоколообразные кривые. ^[2] Также можно использовать прямоугольник, треугольник и другие функции. Более общее определение оконных функций не требует, чтобы они были тождественно равными нулю вне интервала, пока произведение окна, умноженное на его аргумент, интегрируется с квадратом , и, более конкретно, чтобы функция достаточно быстро приближалась к нулю. ^[3]

Приложения

Оконные функции используются в спектральном анализе /модификации/ повторном синтезе , ^[4] при проектировании фильтров с конечной импульсной характеристикой , объединении многомасштабных и многомерных наборов данных, ^{[5] [6]} , а также при формировании диаграммы направленности и проектировании антенн .

Рисунок 2. Окно синусоиды приводит к утечке спектра. Одинаковая величина утечки происходит независимо от того, присутствует ли в окне целое (синий) или нецелое (красный) количество циклов (строки 1 и 2). Когда синусоида дискретизируется и обрабатывается окном, ее преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) также демонстрирует ту же картину утечки (строки 3 и 4). Но когда DTFT дискретизируется редко, через определенный интервал, можно (в зависимости от вашей точки зрения): (1) избежать утечки или (2) создать иллюзию отсутствия утечки. В случае синего DTFT эти выборки являются выходными данными дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Красный DTFT имеет тот же интервал пересечений нуля, но выборки DFT попадают между ними, и обнаруживается утечка.

Спектральный анализ

Преобразование Фурье функции cos( ωt ) равно нулю, за исключением частоты ± ω . Однако многие другие функции и сигналы не имеют удобных преобразований в замкнутой форме. Альтернативно, их спектральный состав может быть интересен только в течение определенного периода времени.

В любом случае преобразование Фурье (или подобное преобразование) может быть применено к одному или нескольким конечным интервалам формы сигнала. Обычно преобразование применяется к произведению формы сигнала и оконной функции. Любое окно (в том числе прямоугольное) влияет на спектральную оценку, вычисляемую этим методом.

Конструкция фильтра

Окна иногда используются при разработке цифровых фильтров , в частности, для преобразования «идеальной» импульсной характеристики бесконечной длительности, такой как функция sinc , в конструкцию фильтра с конечной импульсной характеристикой (FIR). Это называется оконным методом . ^{[7] [8] [9]}

Статистика и подбор кривой

Оконные функции иногда используются в области статистического анализа, чтобы ограничить набор анализируемых данных диапазоном вблизи заданной точки с весовым коэффициентом , который уменьшает влияние точек, находящихся дальше от подгоняемой части кривой. В области байесовского анализа и подбора кривых его часто называют ядром .

Применение прямоугольных окон

Анализ переходных процессов

При анализе переходного сигнала в модальном анализе , такого как импульс, ударная реакция, синусоидальный импульс, чирп-пакет или шумовой пакет, где распределение энергии во времени крайне неравномерно, прямоугольное окно может быть наиболее подходящим. Например, когда большая часть энергии находится в начале записи, окно непрямоугольной формы ослабляет большую часть энергии, ухудшая соотношение сигнал/шум. ^[10]

Гармонический анализ

Кто-то может захотеть измерить гармонический состав музыкальной ноты конкретного инструмента или гармонические искажения усилителя на заданной частоте. Снова обращаясь к рисунку 2 , мы можем заметить, что утечка отсутствует на дискретном наборе гармонически связанных частот, выбранных с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ). (Спектральные нули на самом деле являются точками пересечения нуля, которые невозможно отобразить в таком логарифмическом масштабе.) Это свойство уникально для прямоугольного окна, и его необходимо соответствующим образом настроить для частоты сигнала, как описано выше.

Перекрывающиеся окна

Когда длина набора данных, подлежащего преобразованию, больше, чем необходимо для обеспечения желаемого разрешения по частоте, обычной практикой является разделение его на более мелкие наборы и индивидуальное оконное управление. Чтобы уменьшить «потери» по краям окна, отдельные наборы могут перекрываться во времени. См . метод Уэлча степенного спектрального анализа и модифицированное дискретное косинусное преобразование .

Двумерные окна

Двумерные окна обычно используются при обработке изображений для уменьшения нежелательных высоких частот в преобразовании Фурье изображения. ^[11] Они могут быть построены из одномерных окон в любой из двух форм. ^[12] Разделимую форму легко вычислить. Радиальная форма , включающая радиус , изотропна и не зависит от ориентации осей координат. Только функция Гаусса является одновременно сепарабельной и изотропной. ^[13] Сепарабельные формы всех остальных оконных функций имеют углы, которые зависят от выбора осей координат. Изотропия/ анизотропия двумерной оконной функции разделяется ее двумерным преобразованием Фурье. Разница между разделительной и радиальной формами подобна результату дифракции от прямоугольных и круглых отверстий, который можно визуализировать как произведение двух функций sinc и функции Эйри соответственно. ${\displaystyle W(m,n)=w(m)w(n)}$ ${\displaystyle W(m,n)=w(r)}$ ${\displaystyle r={\sqrt {(m-M/2)^{2}+(n-N/2)^{2}}}}$

Примеры оконных функций

Соглашения :

• ${\displaystyle w_{0}(x)}$– функция нулевой фазы (симметричная относительно ), ^[14] непрерывная для где – целое положительное число (четное или нечетное). ^[15] ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in [-N/2,N/2],}$ ${\displaystyle N}$
• Последовательность     симметрична , длины ${\displaystyle \{w[n]=w_{0}(n-N/2),\quad 0\leq n\leq N\}}$ ${\displaystyle N+1.}$
• ${\displaystyle \{w[n],\quad 0\leq n\leq N-1\}}$  является DFT-симметричным , длины ^[A] ${\displaystyle N.}$

• Параметр B , отображаемый на каждом спектральном графике, представляет собой показатель полосы пропускания, эквивалентный шуму функции , в единицах интервалов ДПФ . ^{[16] : стр. 56, уравнение (16)}
  • См. разделы «  Сигналы дискретного времени » и «Некоторые оконные метрики», посвященные утечке спектра , для понимания использования «элементов» для оси X на этих графиках.

Разреженная выборка дискретного преобразования Фурье (DTFT), такая как DFT на рис. 2, выявляет только утечку в элементы DFT из синусоиды, частота которой также является целочисленным элементом DFT. Невидимые боковые лепестки показывают утечку, которую можно ожидать от синусоид на других частотах. ^[a] Поэтому при выборе оконной функции обычно важно более плотно сэмплировать DTFT (как мы делаем в этом разделе) и выбирать окно, которое подавляет боковые лепестки до приемлемого уровня.

Прямоугольное окно

Прямоугольное окно

Прямоугольное окно (иногда называемое коробчатым окном или окном Дирихле ) — это самое простое окно, эквивалентное замене всех последовательных значений последовательности данных, кроме N , нулями, что приводит к внезапному включению и выключению сигнала:

${\displaystyle w[n]=1.}$

Другие окна предназначены для смягчения этих внезапных изменений, уменьшения зубчатых потерь и улучшения динамического диапазона (описано в § Спектральный анализ).

Прямоугольное окно представляет собой окно B -сплайна 1- ^го порядка , а также окно степени синуса 0- ^{й степени.}

Прямоугольное окно обеспечивает минимальную оценку среднеквадратической ошибки преобразования Фурье дискретного времени за счет других обсуждаемых проблем.

B -сплайновые окна

B -сплайновые окна могут быть получены как k -кратная свертка прямоугольного окна. К ним относятся само прямоугольное окно ( k  = 1), § треугольное окно ( k  = 2) и § окно Парзена ( k  = 4). ^[18] Альтернативные определения выбирают соответствующие нормализованные базисные функции B -сплайна вместо свертки окон дискретного времени. Базисная B -сплайновая функция k ^{-го порядка} представляет собой кусочно-полиномиальную функцию степени k -1, полученную k -кратной самосверткой прямоугольной функции .

Треугольное окно

Треугольное окно (при L  =  N  + 1)

Треугольные окна имеют:

${\displaystyle w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N}$

где L может быть N , ^[19] N  + 1, ^{[16] [20] [21]} или N  + 2. ^[22] Первое из них также известно как окно Бартлетта или окно Фейера . Все три определения сходятся при  больших N.

Треугольное окно представляет собой окно B -сплайна 2 ^-го порядка . Форму L  =  N можно рассматривать как свертку двух прямоугольных окон шириной N ⁄ 2 . Преобразование Фурье результата представляет собой квадрат значения преобразования прямоугольного окна половинной ширины.

Окно Парцена

Окно Парцена

При определении   L ≜ N + 1 окно Парцена, также известное как окно Валле Пуссена , ^{[16] представляет собой окно} B -сплайна 4 - ^го порядка, определяемое формулой:

${\displaystyle w_{0}(n)\triangleq \left\{{\begin{array}{ll}1-6\left({\frac {n}{L/2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right),&0\leq |n|\leq {\frac {L}{4}}\\2\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right)^{3}&{\frac {L}{4}}<|n|\leq {\frac {L}{2}}\\\end{array}}\right\}}$

${\displaystyle w[n]=\ w_{0}\left(n-{\tfrac {N}{2}}\right),\ 0\leq n\leq N}$

окно Уэлча

Другие полиномиальные окна

окно Уэлча

Окно Уэлча состоит из одной параболической секции:

${\displaystyle w[n]=1-\left({\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)^{2},\quad 0\leq n\leq N.}$^[22]

Определяющий квадратичный полином достигает нулевого значения в выборках сразу за пределами окна.

Синусоидальное окно

Синусоидальное окно

${\displaystyle w[n]=\sin \left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

Соответствующая функция представляет собой косинус без смещения фазы π /2. Поэтому окно синуса ^[23] иногда еще называют окном косинуса . ^[16] Поскольку оно представляет собой половину цикла синусоидальной функции, его также называют полусинусоидальным окном ^[24] или полукосинусоидальным окном . ^[25] ${\displaystyle w_{0}(n)\,}$

Автокорреляция синусоидального окна создает функцию, известную как окно Бомана . ^[26]

Окна мощности синуса/косинуса

Эти оконные функции имеют вид: ^[27]

${\displaystyle w[n]=\sin ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

Прямоугольное окно ( α  = 0 ), синусоидальное окно ( α  = 1 ) и окно Ханна ( α  = 2 ) являются членами этого семейства.

Для четных значений α эти функции также можно выразить в форме косинусной суммы:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right)-...}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|llll}\hline \alpha &a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\\hline 0&1\\2&0.5&0.5\\4&0.375&0.5&0.125\\6&0.3125&0.46875&0.1875&0.03125\\8&0.2734375&0.4375&0.21875&0.0625&7.8125\times 10^{-3}\\\hline \end{array}}}$

Окна косинусной суммы

Это семейство также известно как обобщенные косинусные окна .

В большинстве случаев, включая приведенные ниже примеры, все коэффициенты a _k  ≥ 0. Эти окна имеют только 2 K  + 1 ненулевой N -точечный коэффициент DFT.

Окна Ханна и Хэмминга

окно Ханна

Окно Хэмминга: 0 = _0,53836  и 1 = _0,46164  . Исходное окно Хэмминга имело бы ₀ = _0,54  и 1  = 0,46.

Обычные окна суммы косинусов для случая K  = 1 имеют вид:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-\underbrace {(1-a_{0})} _{a_{1}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

который легко (и часто) путают с его нулевой версией:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}(n)\ &=w\left[n+{\tfrac {N}{2}}\right]\\&=a_{0}+a_{1}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad -{\tfrac {N}{2}}\leq n\leq {\tfrac {N}{2}}.\end{aligned}}}$

Установка     создает окно Ханна: ${\displaystyle a_{0}=0.5}$

${\displaystyle w[n]=0.5\;\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right]=\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{N}}\right),}$^[28]

назван в честь Юлиуса фон Ханна , а иногда ошибочно упоминается как Ханнинг , предположительно из-за его лингвистического и шаблонного сходства с окном Хэмминга. Он также известен как повышенный косинус , потому что версия с нулевой фазой представляет собой одну долю функции повышенного косинуса. ${\displaystyle w_{0}(n),}$

Эта функция является членом семейств косинус-суммы и степени синуса. В отличие от окна Хэмминга, конечные точки окна Ханна просто касаются нуля. В результате боковые лепестки спадают примерно на 18 дБ на октаву. ^[29]

Установка     значения примерно 0,54, или, точнее, 25/46, создает окно Хэмминга, предложенное Ричардом В. Хэммингом . Этот выбор приводит к переходу через нуль на частоте 5 π /( N  - 1), что устраняет первый боковой лепесток окна Ханна, придавая ему высоту примерно в одну пятую высоты окна Ханна. ^{[16] [30] [31]} Окно Хэмминга часто называют « бликом Хэмминга» , когда оно используется для формирования импульса . ^{[32] [33] [34]} ${\displaystyle a_{0}}$

Приближение коэффициентов до двух десятичных знаков существенно снижает уровень боковых лепестков ^[16] до почти равноравномерного состояния. ^[31] В равновесном смысле оптимальные значения коэффициентов составляют a ₀  = 0,53836 и a ₁  = 0,46164. ^{[31] [35]}

Окно Блэкмана

окно Блэкмана; α  = 0,16

Окна Блэкмана определяются как:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}.}$

По общему соглашению, неквалифицированный термин « окно Блэкмана » относится к «не очень серьёзному предложению» Блэкмана α  = 0,16 ( a ₀  = 0,42, a ₁  = 0,5, a ₂ = 0,08) ,  которое близко аппроксимирует точное окно Блэкмана ^[36] с а ₀  = 7938/18608 ≈ 0,42659, а ₁  = 9240/18608 ≈ 0,49656 и а ₂  = 1430/18608 ≈ 0,076849. ^[37] Эти точные значения помещают нули в третий и четвертый боковые лепестки, ^[16] но приводят к разрыву на краях и спаду на 6 дБ/октаву. Усеченные коэффициенты также не обнуляют боковые лепестки, но имеют улучшенный спад 18 дБ/октаву. ^{[16] [38]}

Окно Наттолла, непрерывная первая производная

Окно Наттолла, непрерывная первая производная

Непрерывная форма окна Наттолла и его первая производная непрерывны всюду, как и функция Ханна . То есть функция обращается к 0 при x  = ± N /2, в отличие от окон Блэкмана-Наттолла, Блэкмана-Харриса и Хэмминга. Окно Блэкмана ( α  = 0,16 ) также является непрерывным с непрерывной производной на краю, но «точное окно Блэкмана» — нет. ${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.355768;\quad a_{1}=0.487396;\quad a_{2}=0.144232;\quad a_{3}=0.012604.}$

Окно Блэкмана – Наттолла

Окно Блэкмана – Наттолла

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.3635819;\quad a_{1}=0.4891775;\quad a_{2}=0.1365995;\quad a_{3}=0.0106411.}$

Окно Блэкмана – Харриса

Окно Блэкмана – Харриса

Обобщение семейства Хэмминга, полученное путем добавления большего количества смещенных функций sinc, предназначенное для минимизации уровней боковых лепестков ^{[39] [40]}

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.35875;\quad a_{1}=0.48829;\quad a_{2}=0.14128;\quad a_{3}=0.01168.}$

Окно с плоской верхушкой

Окно с плоской верхушкой

Окно с плоской вершиной — это окно с частичным отрицательным значением, которое имеет минимальные скаллопирующие потери в частотной области. Это свойство желательно для измерения амплитуд синусоидальных частотных составляющих. ^{[17] [41]} Однако его широкая полоса пропускания приводит к высокой полосе шума и более широкому выбору частот, что в зависимости от применения может быть недостатком.

Окна с плоской вершиной могут быть спроектированы с использованием методов проектирования фильтров нижних частот ^[41] или они могут иметь обычную разновидность косинусной суммы:

${\displaystyle {\begin{aligned}w[n]=a_{0}&{}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)\\&{}-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right).\end{aligned}}}$

Вариант Matlab имеет следующие коэффициенты:

${\displaystyle a_{0}=0.21557895;\quad a_{1}=0.41663158;\quad a_{2}=0.277263158;\quad a_{3}=0.083578947;\quad a_{4}=0.006947368.}$

Доступны и другие варианты, например, боковые лепестки, которые уменьшаются за счет более высоких значений вблизи главного лепестка. ^[17]

Окна Райфа – Винсента

Окна Райфа-Винсента ^[42] обычно масштабируются по среднему значению, равному единице, а не по пиковому значению, равному единице. Значения коэффициентов ниже, примененные к уравнению 1 , отражают этот обычай.

Класс I, порядок 1 ( K = 1):        функционально эквивалентен окну Ханна. ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1}$

Класс I, порядок 2 ( К = 2):  ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}={\tfrac {4}{3}};\quad a_{2}={\tfrac {1}{3}}}$

Класс I определяется минимизацией амплитуды боковых лепестков высокого порядка. Коэффициенты для заказов до К=4 сведены в таблицу. ^[43]

Класс II минимизирует ширину главного лепестка при заданном максимальном боковом лепестке.

Класс III представляет собой компромисс, для которого порядок K  = 2 напоминает § окно Блэкмана. ^{[43] [44]}

Регулируемые окна

Гауссово окно

Гауссово окно, σ  = 0,4

Преобразование Фурье гауссиана также является гауссианом. Поскольку поддержка функции Гаусса распространяется до бесконечности, ее необходимо либо обрезать на концах окна, либо объединить в другое окно с нулевым концом. ^[45]

Поскольку логарифм гауссовой функции дает параболу , ее можно использовать для почти точной квадратичной интерполяции при оценке частоты . ^{[46] [45] [47]}

${\displaystyle w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{2}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

${\displaystyle \sigma \leq \;0.5\,}$

Стандартное отклонение функции Гаусса составляет σ  ·  N /2 периода выборки.

Ограниченное гауссово окно, σ _t  = 0,1

Ограниченное гауссово окно

Ограниченное гауссово окно дает наименьшую возможную среднеквадратичную ширину частоты σ _ω для данной временной ширины   ( N + 1) σ _t . ^[48] ​​Эти окна оптимизируют среднеквадратичные значения частотно-временной полосы пропускания. Они вычисляются как минимальные собственные векторы матрицы, зависящей от параметра. Семейство ограниченных гауссовских окон содержит § синусоидальное окно и § гауссово окно в предельных случаях большого и малого σ _t соответственно.

Приблизительное ограниченное гауссово окно, σ _t  = 0,1

Приблизительное ограниченное гауссово окно

Определив   L ≜ N + 1 , ограниченное гауссово окно временной ширины   L × σ _t   хорошо аппроксимируется следующим образом: ^[48]

${\displaystyle w[n]=G(n)-{\frac {G(-{\tfrac {1}{2}})[G(n+L)+G(n-L)]}{G(-{\tfrac {1}{2}}+L)+G(-{\tfrac {1}{2}}-L)}}}$

где – функция Гаусса: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(x)=\exp \left(-\left({\cfrac {x-{\frac {N}{2}}}{2L\sigma _{t}}}\right)^{2}\right)}$

Стандартное отклонение аппроксимированного окна асимптотически равно (т.е. большие значения N )   L × σt   для   σt _{< 0,14} . ^[48]

Обобщенное нормальное окно

Более обобщенная версия гауссова окна — это обобщенное нормальное окно. ^[49] Сохраняя обозначения гауссовского окна выше, мы можем представить это окно как

${\displaystyle w[n,p]=\exp \left(-\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{p}\right)}$

для любого даже . При это окно Гаусса и по мере приближения оно приближается к прямоугольному окну. Преобразование Фурье этого окна не существует в закрытом виде для общего случая . Однако он демонстрирует и другие преимущества плавной регулируемой полосы пропускания. Как и окно § Тьюки, это окно, естественно, имеет «плоскую вершину» для управления затуханием амплитуды временного ряда (в отношении которого у нас нет контроля с помощью окна Гаусса). По сути, он предлагает хороший (контролируемый) компромисс с точки зрения утечки спектра, разрешения по частоте и ослабления амплитуды между окном Гаусса и прямоугольным окном. См. также ^[50] исследование частотно-временного представления этого окна (или функции). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p}$

Окно Тьюки

Окно Тьюки, α  = 0,5

Окно Тьюки, также известное как косинусное окно , можно рассматривать как косинусоидальную долю ширины Nα /2 (охватывающую Nα /2 + 1 наблюдений), которая свернута с прямоугольным окном ширины N (1 − α /2 ) .

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$  ^{[51] [Б] [С]}

При α  = 0 оно становится прямоугольным, а при α  = 1 — окном Ханна.

Планковское окно

Окно планковского конуса, ε  = 0,1

Так называемое окно «Планковского конуса» представляет собой выпуклую функцию , широко используемую ^[52] в теории разбиений единицы в многообразиях . Она гладкая ( функция) всюду, но равна нулю вне компактной области, ровно единице на интервале внутри этой области и плавно и монотонно меняется между этими пределами. Его использование в качестве оконной функции при обработке сигналов было впервые предложено в контексте гравитационно-волновой астрономии , вдохновленной распределением Планка . ^[53] Она определяется как кусочная функция : ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[0]=0,\\w[n]=\left(1+\exp \left({\frac {\varepsilon N}{n}}-{\frac {\varepsilon N}{\varepsilon N-n}}\right)\right)^{-1},\quad &1\leq n<\varepsilon N\\w[n]=1,\quad &\varepsilon N\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$

Величина сужения контролируется параметром ε : меньшие значения дают более резкие переходы.

DPSS или окно Слепиана

DPSS (дискретная вытянутая сфероидальная последовательность) или окно Слепиана максимизирует концентрацию энергии в главном лепестке ^[54] и используется в многоконусном спектральном анализе , который усредняет шум в спектре и уменьшает потери информации на краях окна.

Главный лепесток заканчивается в интервале частоты, заданном параметром α . ^[55]

Окна Кайзера, представленные ниже, созданы путем простой аппроксимации окон DPSS:

Окно Кайзера

Окно Кайзера, или Кайзера-Бесселя, представляет собой простую аппроксимацию окна DPSS с использованием функций Бесселя , открытого Джеймсом Кайзером . ^{[56] [57]}

${\displaystyle w[n]={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad 0\leq n\leq N}$    ^{[Д] [16] : с. 73}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad -N/2\leq n\leq N/2}$

где – модифицированная функция Бесселя 0- ^го порядка первого рода. Переменный параметр определяет компромисс между шириной основного лепестка и уровнями боковых лепестков диаграммы спектральной утечки. Ширина основного лепестка между нулями выражается   в единицах интервалов ДПФ ^[64] , а типичное значение равно 3. ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 2{\sqrt {1+\alpha ^{2}}},}$ ${\displaystyle \alpha }$

Окно Дольфа – Чебышева

Окно Дольфа – Чебышева, α  = 5

Минимизирует чебышевскую норму боковых лепестков для заданной ширины основного лепестка. ^[65]

Оконная функция Дольфа – Чебышева с нулевой фазой обычно определяется через ее вещественное дискретное преобразование Фурье , : ^[66] ${\displaystyle w_{0}[n]}$ ${\displaystyle W_{0}[k]}$

${\displaystyle W_{0}(k)={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{T_{N}(\beta )}}={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{10^{\alpha }}},\ 0\leq k\leq N.}$

T _n ( x ) — n -й полином Чебышева первого рода, оцененный по x , который можно вычислить с помощью

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \!{\big (}n\cos ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}-1\leq x\leq 1\\\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(-x){\big )}&{\text{if }}x\leq -1,\end{cases}}}$

и

${\displaystyle \beta =\cosh \!{\big (}{\tfrac {1}{N}}\cosh ^{-1}(10^{\alpha }){\big )}}$

является единственным положительным вещественным решением задачи , где параметр α устанавливает чебышевскую норму боковых лепестков на уровне −20 α  децибел. ^[65] ${\displaystyle T_{N}(\beta )=10^{\alpha }}$

Оконную функцию можно вычислить по W ₀ ( k ) с помощью обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ): ^[65]

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{i2\pi kn/(N+1)},\ -N/2\leq n\leq N/2.}$

Лагированную версию окна можно получить следующим образом :

${\displaystyle w[n]=w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

который для четных значений N необходимо вычислять следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{\frac {i2\pi k(n-N/2)}{N+1}}={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}\left[\left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k)\right]e^{\frac {i2\pi kn}{N+1}},\end{aligned}}}$

что является обратным ДПФ   ${\displaystyle \left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k).}$

Вариации:

• Из-за условия равной пульсации окно временной области имеет разрывы по краям. Приближение, которое позволяет избежать их, позволяя равномерным рябьм спадать по краям, - это окно Тейлора.
• Также доступна альтернатива определению обратного ДПФ.[1]

Ультрасферическое окно

Параметр µ ультрасферического окна определяет, уменьшаются ли амплитуды боковых лепестков преобразования Фурье, остаются на одном уровне или (показано здесь) увеличиваются с частотой.

Ультрасферическое окно было предложено в 1984 году Роем Стрейтом ^[67] и применяется при проектировании антенных решеток, ^[68] при проектировании нерекурсивных фильтров, ^[67] и спектральном анализе. ^[69]

Как и другие настраиваемые окна, ультрасферическое окно имеет параметры, которые можно использовать для управления шириной основного лепестка преобразования Фурье и относительной амплитудой боковых лепестков. В отличие от других окон, оно имеет дополнительный параметр, который можно использовать для установки скорости уменьшения (или увеличения) амплитуды боковых лепестков. ^{[69] [70] [71]}

Окно может быть выражено во временной области следующим образом: ^[69]

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{N+1}}\left[C_{N}^{\mu }(x_{0})+\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}C_{N}^{\mu }\left(x_{0}\cos {\frac {k\pi }{N+1}}\right)\cos {\frac {2n\pi k}{N+1}}\right]}$

где – ультрасферический полином степени N, и управляют диаграммами направленности боковых лепестков. ^[69] ${\displaystyle C_{N}^{\mu }}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$

Определенные конкретные значения дают другие известные окна: и дают окна Дольфа – Чебышева и Сарамяки соответственно. ^[67] См. здесь иллюстрацию ультрасферических окон с различной параметризацией. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1}$

Экспоненциальное окно или окно Пуассона

Экспоненциальное окно, τ  =  N /2

Экспоненциальное окно, τ  = ( N /2)/(60/8,69)

Окно Пуассона, или, в более общем смысле, экспоненциальное окно, экспоненциально увеличивается к центру окна и экспоненциально уменьшается во второй половине. Поскольку показательная функция никогда не достигает нуля, значения окна на ее границах отличны от нуля (это можно рассматривать как умножение показательной функции на прямоугольное окно ^[72] ). Это определяется

${\displaystyle w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},}$

где τ — постоянная времени функции. Экспоненциальная функция затухает как e  ≃ 2,71828 или примерно 8,69 дБ на постоянную времени. ^[73] Это означает, что для целевого затухания D  дБ на половине длины окна постоянная времени τ определяется выражением

${\displaystyle \tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.}$

Гибридные окна

Оконные функции также создавались как мультипликативные или аддитивные комбинации других окон.

Окно Бартлетта – Ханна

Окно Бартлетта – Ханна

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,}$

Окно Планка – Бесселя

Окно Планка–Бесселя, ε  = 0,1, α  = 4,45

§ Окно конуса Планка, умноженное на окно Кайзера , которое определяется в терминах модифицированной функции Бесселя . Эта гибридная оконная функция была введена для уменьшения пикового уровня боковых лепестков окна сужения Планка, сохраняя при этом его хорошее асимптотическое затухание. ^[74] Он имеет два настраиваемых параметра: ε из конуса Планка и α из окна Кайзера, поэтому его можно настроить в соответствии с требованиями данного сигнала.

Окно Ханна – Пуассона

Окно Ханна – Пуассона, α  = 2

Окно Ханна, умноженное на окно Пуассона. Поскольку у него нет боковых лепестков, поскольку его преобразование Фурье навсегда спадает за пределами главного лепестка без локальных минимумов. Таким образом, его можно использовать в алгоритмах восхождения на холм , таких как метод Ньютона . ^[75] Окно Ханна–Пуассона определяется следующим образом: ${\displaystyle \alpha \geqslant 2}$

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,}$

где α — параметр, контролирующий наклон экспоненты.

Другие окна

Окно GAP (окно Наттолла, оптимизированное для GAP)

Окно обобщенного адаптивного полинома (GAP)

Окно GAP — это семейство настраиваемых оконных функций, основанных на симметричном полиномиальном разложении порядка . Оно непрерывно с непрерывной производной всюду. При соответствующем наборе коэффициентов разложения и порядке разложения окно GAP может имитировать все известные оконные функции, точно воспроизводя их спектральные свойства. ${\displaystyle K}$

${\displaystyle w_{0}[n]=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{2k}\left({\frac {n}{\sigma }}\right)^{2k},\quad -{\frac {N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}},}$  ^[76]

где – стандартное отклонение последовательности . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{n\}}$

Кроме того, начиная с набора коэффициентов расширения , который имитирует определенную известную оконную функцию, окно GAP можно оптимизировать с помощью процедур минимизации, чтобы получить новый набор коэффициентов, которые улучшают одно или несколько спектральных свойств, таких как ширина основного лепестка, боковые лепестки. затухание и скорость спада боковых лепестков. ^[77] Таким образом, оконная функция GAP может быть разработана с заданными спектральными свойствами в зависимости от конкретного применения. ${\displaystyle a_{2k}}$

Окно Синка или Ланцоша

Окно Ланчош

$${\displaystyle w[n]=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}-1\right)}$$

• используется при повторной выборке Ланцоша
• для окна Ланцоша определяется как ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ ${\displaystyle \sin(\pi x)/\pi x}$
• также известное как окно sinc , потому что:
  $${\displaystyle w_{0}(n)=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}\right)\,}$$
  является основным лепестком нормализованной функции sinc

Асимметричные оконные функции

Форма , согласно приведенному выше соглашению, симметрична вокруг . Однако существуют оконные функции, которые являются асимметричными, например, распределение гаммы , используемое в КИХ-реализациях фильтров Gammatone . Эти асимметрии используются для уменьшения задержки при использовании больших размеров окна или для подчеркивания начального переходного процесса затухающего импульса. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle w_{0}(x)}$ ${\displaystyle x=0}$

В качестве оконной функции можно легко использовать любую ограниченную функцию с компактным носителем , в том числе асимметричную. Кроме того, существуют способы преобразования симметричных окон в асимметричные путем преобразования временной координаты, например, с помощью приведенной ниже формулы.

${\displaystyle x\leftarrow N\left({\frac {x}{N}}+{\frac {1}{2}}\right)^{\alpha }-{\frac {N}{2}}\,,}$

где окно имеет более высокий вес для самых ранних выборок, когда , и, наоборот, имеет более высокий вес для последних выборок, когда . ^[78] ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha <1}$

Смотрите также

• Аподизация
• Фильтр Колмогорова – Зурбенко
• Мультиконусность
• Кратковременное преобразование Фурье
• Спектральная утечка
• метод Уэлча
• Весовая функция
• Метод оформления окна

Примечания

1. Некоторые авторы ограничивают свое внимание этим важным подмножеством и четными значениями N. ^{[16] [17]} Но формулы оконных коэффициентов по-прежнему представлены здесь.
2. Эту формулу можно подтвердить, упростив функцию косинуса в MATLAB tukeywin и заменив r = α и x = n / N .
3. Harris 1978 (стр. 67, уравнение 38), похоже, содержит две ошибки: (1) Оператор вычитания в числителе функции косинуса должен быть сложением. (2) Знаменатель содержит ложный коэффициент 2. Кроме того, рис. 30 соответствует α = 0,25 по формуле Википедии и 0,75 по формуле Харриса. Рис. 32 помечен аналогичным образом.
4. Окно Кайзера часто параметризуется β , где β = π α . ^{[58] [59] [60] [61] [55] [62] [7] : с. 474}   Альтернативное использование только α облегчает сравнение с окнами DPSS. ^[63]

Цитаты страниц

1. Харрис 1978, стр. 57, рис. 10.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. (2003). CRC Краткая математическая энциклопедия. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-58488-347-0.
2. Дороги, Кертис (2002). Микрозвук . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-18215-7.
3. Каттани, Карло; Рущицкий, Иеремия (2007). Вейвлет- и волновой анализ применительно к материалам с микро- или наноструктурой. Всемирная научная. ISBN 978-981-270-784-0.
4. «Обработка STFT с перекрытием (OLA) | Обработка спектрального аудиосигнала» . www.dsprelated.com . Проверено 7 августа 2016 г. Окно применяется дважды: один раз перед БПФ («окно анализа») и второй раз после обратного БПФ перед реконструкцией путем перекрытия-сложения (так называемое «окно синтеза»). ... В более общем смысле, любое положительное окно COLA можно разделить на пару окон анализа и синтеза, извлекая из него квадратный корень.
5. Аджала, Р.; Персо, П. «Оценка движения грунта в гибридных моделях сейсмической скорости». pubs.geoscienceworld.org . Проверено 20 декабря 2023 г.
6. Аджала, Р.; Персо, П. «Влияние объединения многомасштабных моделей на прогнозы сейсмических волновых полей вблизи разлома Южный Сан-Андреас». Журнал геофизических исследований: Solid Earth . 126 (10). дои : 10.1029/2021JB021915. ISSN  2169-9313.
7. Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). «7,2». Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 465–478. ISBN 0-13-754920-2.
8. «FIR-фильтры с помощью окон - Страницы лабораторной книги» . www.labbookpages.co.uk . Проверено 13 апреля 2016 г.
9. «Освоение Windows» (PDF) . www.cg.tuwien.ac.at . Проверено 12 февраля 2020 г.
10. «Основы анализа сигналов, примечание по применению 243» (PDF) . hpmemoryproject.org . Проверено 10 апреля 2018 г.
11. Р. Ховден, Ю. Цзян, Х. Синь, Л. Ф. Куркутис (2015). «Периодическое уменьшение артефактов при преобразовании Фурье изображений с полным полем атомного разрешения». Микроскопия и микроанализ . 21 (2): 436–441. arXiv : 2210.09024 . Бибкод : 2015MiMic..21..436H. дои : 10.1017/S1431927614014639. PMID  25597865. S2CID  22435248.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. Бернштейн, Мэтт А.; Кинг, Кевин Франклин; Чжоу, Сяохун Джо (2004). Справочник по импульсным последовательностям МРТ. Лондон: Elsevier Academic Press. стр. 495–499. ISBN 0-12-092861-2.
13. Авад, А.И.; Баба, К. (2011). «Приложение для определения местоположения особой точки в классификации отпечатков пальцев». Цифровая обработка информации и связь . Коммуникации в компьютерной и информатике. Том. 188. с. 262. дои : 10.1007/978-3-642-22389-1_24. ISBN 978-3-642-22388-4.
14. «Фильтры нулевой фазы». ccrma.stanford.edu . Проверено 12 февраля 2020 г.
15. Рорабо, К. Бриттон (октябрь 1998 г.). Праймер ДСП . Праймерная серия. МакГроу-Хилл Профессионал. п. 196. ИСБН 978-0-07-054004-0.
16. Харрис, Фредрик Дж. (январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF) . Труды IEEE . 66 (1): 51–83. Бибкод : 1978IEEP..66...51H. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . дои : 10.1109/PROC.1978.10837. S2CID  426548.  Фундаментальная статья Харриса 1978 года об окнах БПФ, в которой указано множество окон и представлены ключевые показатели, используемые для их сравнения.
17. Хайнцель, Г.; Рюдигер, А.; Шиллинг, Р. (2002). Оценка спектра и спектральной плотности с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ), включая полный список оконных функций и некоторые новые окна с плоской вершиной (технический отчет). Институт Макса Планка (MPI) по гравитационной физике / лазерной интерферометрии и гравитационно-волновой астрономии. 395068.0 . Проверено 10 февраля 2013 г.Также доступно по адресу https://pure.mpg.de/rest/items/item_152164_1/comComponent/file_152163/content.
18. Тораичи, К.; Камада, М.; Итахаси, С.; Мори, Р. (1989). «Оконные функции, представленные B-сплайн-функциями». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 37 : 145–147. дои : 10.1109/29.17517.
19. "Окно Бартлетта". ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
20. Тьюки, JW (1967). «Введение в расчеты численного спектрального анализа». Спектральный анализ временных рядов : 25–46.
21. «Треугольное окно – трианг MATLAB». www.mathworks.com . Проверено 13 апреля 2016 г.
22. Уэлч, П. (1967). «Использование быстрого преобразования Фурье для оценки спектров мощности: метод, основанный на усреднении по времени по коротким модифицированным периодограммам». Транзакции IEEE по аудио и электроакустике . 15 (2): 70–73. Бибкод : 1967ITAE...15...70W. дои : 10.1109/ТАУ.1967.1161901. S2CID  13900622.
23. Боси, Марина; Голдберг, Ричард Э. (2003). «Сопоставление времени и частоты, часть II: MDCT». Введение в кодирование цифрового звука и стандарты . Международная серия Springer по инженерным наукам и информатике. Том. 721. Бостон, Массачусетс: Springer US. п. 106. дои : 10.1007/978-1-4615-0327-9. ISBN 978-1-4615-0327-9.
24. Кидо, Кенити; Сузуки, Хидео; Оно, Такахико; Фукусима, Манабу (1998 г.). «Деформация оценок импульсного отклика по временному окну в кросс-спектральном методе». Журнал Акустического общества Японии (E) . 19 (5): 349–361. дои : 10.1250/ast.19.349 .
25. Ландисман, М.; Дзевонски А.; Сато, Ю. (1 мая 1969 г.). «Последние улучшения в анализе наблюдений поверхностных волн». Международный геофизический журнал . 17 (4): 369–403. Бибкод : 1969GeoJ...17..369L. дои : 10.1111/j.1365-246X.1969.tb00246.x .
26. "Окно Бомана - R2019B" . www.mathworks.com . Проверено 12 февраля 2020 г.
27. "Семейство окон степени косинуса" . ccrma.stanford.edu . Проверено 10 апреля 2018 г.
28. "Окно Ханна (Хеннинга) - MATLAB Ханн" . www.mathworks.com . Проверено 12 февраля 2020 г.
29. «Ханн, или Хэннинг, или повышенный косинус». ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
30. Енохсон, Лорен Д.; Отнес, Роберт К. (1968). Программирование и анализ данных цифровых временных рядов. Министерство обороны США, информация о ударах и вибрации. Центр. п. 142.
31. "Окно Хэмминга". ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
32. «Радио с цифровой квадратурной амплитудной модуляцией (QAM): создание лучшего радио» (PDF) . пользователи.wpi.edu . п. 28 . Проверено 12 февраля 2020 г.
33. «Биты, символы, сигналы и обратно» (PDF) . пользователи.wpi.edu . п. 7 . Проверено 12 февраля 2020 г.
34. Джонсон, К.Ричард-младший; Сетарес, Уильям А.; Кляйн, Эндрю Г. (18 августа 2011 г.). «11». Проектирование приемника программного обеспечения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-50145-3.  Также https://cnx.org/contents/[email protected]:6R_ztzDY@4/Pulse-Shaping-and-Receive-Filtering.
35. Наттолл, Альберт Х. (февраль 1981 г.). «Некоторые окна с очень хорошим поведением боковых лепестков». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (1): 84–91. дои :10.1109/ТАССП.1981.1163506. Расширяет статью Харриса, охватывая все оконные функции, известные на тот момент, а также сравнение ключевых показателей.
36. Вайсштейн, Эрик В. «Функция Блэкмана». mathworld.wolfram.com . Проверено 13 апреля 2016 г.
37. «Характеристики различных окон сглаживания - Справка NI LabVIEW 8.6» . Zone.ni.com . Проверено 13 февраля 2020 г.
38. Блэкман, РБ; Тьюки, JW (1 января 1959 г.). Измерение спектров мощности с точки зрения техники связи. Дуврские публикации. п. 99. ИСБН 978-0-486-60507-4.
39. "Семья Блэкмана-Харриса Окна" . ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
40. "Окно Блэкмана-Харриса на три срока" . ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
41. Смит, Стивен В. (2011). Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов. Сан-Диего, Калифорния, США: Техническое издательство Калифорнии . Проверено 14 февраля 2013 г.
42. Райф, Дэвид С.; Винсент, Джорджия (1970), «Использование дискретного преобразования Фурье при измерении частот и уровней тонов», Bell Syst. Тех. J. , 49 (2): 197–228, doi :10.1002/j.1538-7305.1970.tb01766.x
43. Андрия, Грегорио; Савино, Марио; Тротта, Америго (1989), «Окна и алгоритмы интерполяции для повышения точности электрических измерений», IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement , 38 (4): 856–863, Bibcode : 1989ITIM...38..856A, doi : 10.1109/ 19.31004
44. Шукенс, Джоаннес; Пинтелон, Рик; Ван Хамм, Хьюго (1992), «Интерполированное быстрое преобразование Фурье: сравнительное исследование», IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement , 41 (2): 226–232, Bibcode : 1992ITIM...41..226S, doi : 10.1109 /19.137352
45. «Matlab для окна Гаусса». ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г. Обратите внимание, что по шкале дБ гауссианы квадратичны. Это означает, что параболическая интерполяция выборочного преобразования Гаусса является точной. ... квадратичная интерполяция спектральных пиков может быть более точной в логарифмическом масштабе (например, дБ), чем в линейном масштабе.
46. «Гауссово окно и преобразование». ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
47. «Квадратичная интерполяция спектральных пиков». ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
48. Староселец, С.; Хегеле, Д. (2014). «Окна дискретного времени с минимальной среднеквадратичной пропускной способностью для заданной среднеквадратичной временной ширины». Обработка сигнала . 102 : 240–246. doi :10.1016/j.sigpro.2014.03.033.
49. Чакраборти, Дебеджо; Коввали, Нараян (2013). «Обобщенное нормальное окно для цифровой обработки сигналов». Международная конференция IEEE 2013 по акустике, речи и обработке сигналов . стр. 6083–6087. дои : 10.1109/ICASSP.2013.6638833. ISBN 978-1-4799-0356-6. S2CID  11779529.
50. Диторн, EJ (1994). «Обобщенное экспоненциальное частотно-временное распределение». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 42 (5): 1028–1037. Бибкод : 1994ITSP...42.1028D. дои : 10.1109/78.295214.
51. Блумфилд, П. (2000). Фурье-анализ временных рядов: введение . Нью-Йорк: Wiley-Interscience.
52. Ту, Лоринг В. (2008). «Выпуклые функции и разбиения Unity». Введение в многообразия . Университеттекст. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 127–134. дои : 10.1007/978-0-387-48101-2_13. ISBN 978-0-387-48098-5.
53. Маккечан, DJA; Робинсон, К.; Сатьяпракаш, бакалавр наук (21 апреля 2010 г.). «Сужающееся окно для шаблонов во временной области и смоделированных сигналов при обнаружении гравитационных волн от сливающихся компактных двойных систем». Классическая и квантовая гравитация . 27 (8): 084020. arXiv : 1003.2939 . Бибкод :2010CQGra..27х4020M. дои : 10.1088/0264-9381/27/8/084020. S2CID  21488253.
54. "Окно Слепяна или DPSS" . ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
55. Смит, Джо (2011). «Сравнение Windows Kaiser и DPSS». ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
56. Кайзер, Джеймс Ф.; Куо, Франклин Ф. (1966). Системный анализ с помощью цифрового компьютера . Джон Уайли и сыновья. стр. 232–235. Это семейство оконных функций было «открыто» Кайзером в 1962 году после обсуждения с Б. Ф. Логаном из Bell Telephone Laboratories. ... Еще одним ценным свойством этого семейства ... является то, что они также близко аппроксимируют вытянутые сфероидальные волновые функции нулевого порядка.
57. Кайзер, Джеймс Ф. (ноябрь 1964 г.). «Семейство оконных функций, имеющих почти идеальные свойства». Неопубликованный меморандум .
58. Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). «3.11» . Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 94. ИСБН 0-13-914101-4.
59. Крошер, RE; Рабинер, Л.Р. (1983). «4.3.1». Многоскоростная цифровая обработка сигналов. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 144. ИСБН 0-13-605162-6.
60. Линь, Юань-Пей; Вайдьянатан, П.П. (июнь 1998 г.). «Подход Кайзера к проектированию прототипов фильтров с косинусно-модулированными наборами фильтров» (PDF) . Письма об обработке сигналов IEEE . 5 (6): 132–134. Бибкод : 1998ISPL....5..132L. дои : 10.1109/97.681427. S2CID  18159105 . Проверено 16 марта 2017 г.
61. Смит, Джо (2011). «Кайзеровское окно». ccrma.stanford.edu . Проверено 20 марта 2019 г. Иногда окно Кайзера параметризуется α , где  β  =  π α .
62. "Окно Кайзера, R2020a" . www.mathworks.com . Математические работы . Проверено 9 апреля 2020 г.
63. "Окно Кайзера". www.dsprelated.com . Проверено 8 апреля 2020 г. Следующее сравнение Matlab окон DPSS и Кайзера иллюстрирует интерпретацию α как номера интервала края главного лепестка критически выбранного окна.
64. Кайзер, Джеймс Ф.; Шафер, Рональд В. (1980). «Об использовании окна I ₀ -sinh для спектрального анализа». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 28 : 105–107. дои :10.1109/ТАССП.1980.1163349.
65. "Окно Дольфа-Чебышева". ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
66. "Определение окна Дольфа-Чебышева" . ccrma.stanford.edu . Проверено 5 марта 2019 г.
67. Кабал, Питер (2009). «Временные окна для линейного прогнозирования речи» (PDF) . Технический отчет, Отдел электротехники. & Комп. англ., Университет Макгилла (2а): 31 . Проверено 2 февраля 2014 г.
68. Стрейт, Рой (1984). «Двухпараметрическое семейство весов для нерекурсивных цифровых фильтров и антенн». Сделки АССП . 32 : 108–118. дои : 10.1109/tassp.1984.1164275.
69. Deczky, Эндрю (2001). «Унисферические окна». ISCAS 2001. Международный симпозиум IEEE по схемам и системам 2001 г. (кат. № 01CH37196) . Том. 2. С. 85–88. дои : 10.1109/iscas.2001.921012. ISBN 978-0-7803-6685-5. S2CID  38275201.
70. Берген, SWA; Антониу, А. (2004). «Проектирование ультрасферических оконных функций с заданными спектральными характеристиками». Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов . 2004 (13): 2053–2065. Бибкод : 2004EJASP2004...63B. дои : 10.1155/S1110865704403114 .
71. Берген, Стюарт Вашингтон (2005). «Проектирование ультрасферической оконной функции и ее применение» (PDF) .Диссертация, Университет Виктории.
72. Смит, Юлиус О. III (23 апреля 2011 г.). «Окно Пуассона». ccrma.stanford.edu . Проверено 12 февраля 2020 г.
73. Гаде, Свенд; Херлуфсен, Хенрик (1987). «Технический обзор № 3-1987: Анализ Windows для БПФ (Часть I)» (PDF) . Брюль и Кьер . Проверено 22 ноября 2011 г.
74. Берри, CPL; Гейр, младший (12 декабря 2012 г.). «Наблюдение массивной черной дыры Галактики со вспышками гравитационных волн». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 429 (1): 589–612. arXiv : 1210.2778 . Бибкод : 2013MNRAS.429..589B. дои : 10.1093/mnras/sts360. S2CID  118944979.
75. "Окно Ханна-Пуассона". ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
76. Уэсли Беккаро (31 октября 2020 г.), «Обобщенная адаптивная полиномиальная оконная функция», mathworks.com , получено 2 ноября 2020 г.
77. «Обобщенная адаптивная полиномиальная оконная функция» . www.mathworks.com . Проверено 12 декабря 2020 г.
78. Луо, Цзюфель; Се, Чжицзян; Ли, Синьи (2 марта 2015 г.). «Асимметричные окна и их применение в оценке частоты». Чунцинский университет . 9 (Алгоритмы и вычислительные технологии): 389–412. дои : 10.1260/1748-3018.9.4.389 . S2CID  124464194.

дальнейшее чтение

• Харрис, Фредерик Дж. (сентябрь 1976 г.). «Окна, гармонический анализ и дискретное преобразование Фурье» (PDF) . apps.dtic.mil . Подводный военно-морской центр, Сан-Диего. Архивировано (PDF) из оригинала 8 апреля 2019 г. Проверено 08 апреля 2019 г.
• Альбрехт, Ханс-Хельге (2012). Настроенные окна суммы косинусов с минимальным боковым лепестком и минимальным боковым лепестком. Версия 1.0 . Том. ISBN 978-3-86918-281-0). редактор: Physikalisch-Technische Bundesanstalt. Физико-технический федеральный институт. дои : 10.7795/110.20121022aa. ISBN 978-3-86918-281-0.
• Берген, ЮВА; Антониу, А. (2005). «Проектирование нерекурсивных цифровых фильтров с использованием функции ультрасферического окна». Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов . 2005 (12): 1910–1922. Бибкод : 2005EJASP2005...44B. дои : 10.1155/ASP.2005.1910 .
• Прабху, КММ (2014). Оконные функции и их применение в обработке сигналов . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4665-1583-3.
• Патент США 7065150, Пак, Ён-Со, «Система и способ генерации модуляции корневого косинусного мультиплексирования с ортогональным частотным разделением (RRC OFDM)», опубликован в 2003 г., выдан в 2006 г. 

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с функцией окна, на Викискладе?
• Справка LabView, Характеристики сглаживающих фильтров, http://zone.ni.com/reference/en-XX/help/371361B-01/lvanlsconcepts/char_smoothing_windows/
• Создание и свойства оконных функций косинусной суммы, http://electronicsart.weebly.com/fftwindows.html
• Онлайн-интерактивное БПФ, моделирование Windows, разрешения и утечек | РИТЭК | Библиотека и инструменты