Критерий текучести Друкера-Прагера

Рисунок 1: Вид поверхности текучести Друкера–Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений для ${\displaystyle c=2,\phi =-20^{\circ }}$

Критерий текучести Друкера –Прагера ^[1] — это модель, зависящая от давления, для определения того, разрушился ли материал или подвергся пластической деформации. Критерий был введен для решения проблемы пластической деформации грунтов. Он и его многочисленные варианты применялись к камню, бетону, полимерам, пенам и другим материалам, зависящим от давления.

Критерий доходности Друкера - Прагера имеет вид

${\displaystyle {\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}}$

где — первый инвариант напряжения Коши , — второй инвариант девиаторной части напряжения Коши . Константы определяются из экспериментов . ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle A,B}$

В терминах эквивалентного напряжения (или напряжения фон Мизеса ) и гидростатического (или среднего) напряжения критерий Друкера–Прагера можно выразить как

${\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m}}$

где - эквивалентное напряжение, - гидростатическое напряжение, а - материальные константы. Критерий текучести Друкера-Прагера, выраженный в координатах Хейга-Вестергаарда, равен ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle \sigma _{m}}$ ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A}$

Поверхность текучести Друкера –Прагера представляет собой гладкую версию поверхности текучести Мора–Кулона .

Выражения для A и B

Модель Друкера–Прагера можно записать в терминах главных напряжений как

${\displaystyle {\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})~.}$

Если — предел текучести при одноосном растяжении, то критерий Друкера–Прагера подразумевает ${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.}$

Если — предел текучести при одноосном сжатии, то критерий Друкера–Прагера подразумевает ${\displaystyle \sigma _{c}}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=A-B~\sigma _{c}~.}$

Решение этих двух уравнений дает

${\displaystyle A={\cfrac {2}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.}$

Коэффициент одноосной асимметрии

Различные одноосные предельные напряжения текучести при растяжении и сжатии предсказываются моделью Друкера–Прагера. Коэффициент одноосной асимметрии для модели Друкера–Прагера равен

${\displaystyle \beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B}{1+{\sqrt {3}}~B}}~.}$

Выражения в терминах сцепления и угла трения

Поскольку поверхность текучести Друкера–Прагера является гладкой версией поверхности текучести Мора–Кулона , ее часто выражают через сцепление ( ) и угол внутреннего трения ( ), которые используются для описания поверхности текучести Мора–Кулона . ^[2] Если предположить, что поверхность текучести Друкера–Прагера описывает поверхность текучести Мора–Кулона, то выражения для и будут ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}}$

Если середина поверхности текучести Друкера–Прагера описывает поверхность текучести Мора–Кулона, то

${\displaystyle A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}}$

Если поверхность текучести Друкера–Прагера вписывается в поверхность текучести Мора–Кулона, то

${\displaystyle A={\cfrac {3~c~\cos \phi }{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi }}}~;~~B={\cfrac {\sin \phi }{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi }}}}$

Модель Друкера–Прагера для полимеров

Модель Друкера–Прагера использовалась для моделирования полимеров, таких как полиоксиметилен и полипропилен ^{[ требуется ссылка ]} . ^[3] Для полиоксиметилена предел текучести является линейной функцией давления. Однако полипропилен показывает квадратичную зависимость предела текучести от давления.

Модель Друкера–Прагера для пен

Для пен модель GAZT ^[4] использует

${\displaystyle A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s}}}\right)}$

где — критическое напряжение разрушения при растяжении или сжатии, — плотность пены, — плотность основного материала. ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho _{s}}$

Расширения изотропной модели Друкера–Прагера

Критерий Друкера–Прагера можно также выразить в альтернативной форме

${\displaystyle J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.}$

Критерий текучести Дешпанде-Флека или критерий текучести изотропной пены

Критерий текучести Дешпанде–Флека ^[5] для пен имеет форму, приведенную в уравнении выше. Параметры критерия Дешпанде–Флека следующие: ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a=(1+\beta ^{2})~\sigma _{y}^{2}~,~~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2}}{3}}}$

где — параметр ^[6] , определяющий форму поверхности текучести, — предел текучести при растяжении или сжатии. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Анизотропный критерий текучести Друкера-Прагера

Анизотропной формой критерия текучести Друкера–Прагера является критерий текучести Лю–Хуанга–Стаута. ^[7] Этот критерий текучести является расширением обобщенного критерия текучести Хилла и имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\end{aligned}}}$

Коэффициенты : ${\displaystyle F,G,H,L,M,N,I,J,K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _{1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2}-\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2}^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{12}^{y})^{2}}}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3}:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}}$

и — одноосные напряжения текучести при сжатии в трех главных направлениях анизотропии, — одноосные напряжения текучести при растяжении , и — напряжения текучести при чистом сдвиге. Выше предполагалось, что величины положительны, а отрицательны. ${\displaystyle \sigma _{ic},i=1,2,3}$ ${\displaystyle \sigma _{it},i=1,2,3}$ ${\displaystyle \sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c}}$ ${\displaystyle \sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t}}$

Критерий доходности Друкера

Критерий Друкера–Прагера не следует путать с более ранним критерием Друкера ^[8], который не зависит от давления ( ). Критерий текучести Друкера имеет вид ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0}$

где — второй инвариант девиаторного напряжения, — третий инвариант девиаторного напряжения, — константа, которая лежит в пределах от -27/8 до 9/4 (чтобы поверхность текучести была выпуклой), — константа, которая изменяется в зависимости от значения . Для , где — предел текучести при одноосном растяжении. ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Анизотропный критерий Друкера

Анизотропной версией критерия текучести Друкера является критерий текучести Казаку–Барлата (CZ) ^[9], который имеет вид

${\displaystyle f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0}$

где — обобщенные формы девиаторного напряжения и определяются как ${\displaystyle J_{2}^{0},J_{3}^{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\}\sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{(b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _{33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_{10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2}\right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{22}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}}$

Критерий текучести Казаку-Барлата для плоского напряжения

Для тонких листовых металлов напряженное состояние можно аппроксимировать как плоское напряжение . В этом случае критерий текучести Казаку-Барлата сводится к его двумерной версии с

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}^{0}=&{\cfrac {1}{6}}\left[(a_{2}+a_{3})\sigma _{11}^{2}+(a_{1}+a_{3})\sigma _{22}^{2}-2a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\right]+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\right]-{\cfrac {1}{9}}\left[b_{1}\sigma _{11}+b_{4}\sigma _{22}\right]\sigma _{11}\sigma _{22}+{\cfrac {1}{3}}\left[b_{5}\sigma _{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\right]\sigma _{12}^{2}\end{aligned}}}$

Для тонких листов металлов и сплавов параметры критерия текучести Казаку–Барлата равны

Смотрите также

• Поверхность текучести
• Выход (инжиниринг)
• Пластичность (физика)
• Теория разрушения материалов
• Дэниел С. Друкер
• Уильям Прагер

Ссылки

1. Друкер, Д. К. и Прагер, В. (1952). Механика грунтов и пластический анализ для предельного проектирования . Quarterly of Applied Mathematics, т. 10, № 2, стр. 157–165.
2. Маклин, М. Р.; Аддис, М. А. (1990). «Устойчивость ствола скважины: влияние критериев прочности на рекомендации по весу бурового раствора». Все дни . doi :10.2118/20405-MS.
3. Абрат, С. (2008). Критерии текучести или разрушения ячеистых материалов . Журнал сэндвич-структур и материалов, т. 10. стр. 5–51.
4. Гибсон, Л. Дж., Эшби, М. Ф. , Чжан, Дж. и Триантафиллиу, ТС (1989). Поверхности разрушения ячеистых материалов при многоосных нагрузках. I. Моделирование . Международный журнал механических наук, т. 31, № 9, стр. 635–665.
5. VS Deshpande, и Fleck, NA (2001). Многоосное поведение текучести полимерных пен. Acta Materialia, т. 49, № 10, стр. 1859–1866.
6. где — величина, используемая Дешпанде–Флеком ${\displaystyle \beta =\alpha /3}$ ${\displaystyle \alpha }$
7. Лю, Ч., Хуан, И. и Стаут, М. Г. (1997). Об асимметричной поверхности текучести пластически ортотропных материалов: феноменологическое исследование. Acta Materialia, т. 45, № 6, стр. 2397–2406
8. Друкер, Д.К. (1949) Связь экспериментов с математическими теориями пластичности , Журнал прикладной механики, т. 16, стр. 349–357.
9. Казаку, О.; Барлат, Ф. (2001), «Обобщение критерия текучести Друкера на ортотропию», Математика и механика твердого тела , 6 (6): 613–630, doi :10.1177/108128650100600603, S2CID  121817612.