Случайный процесс
В математической теории вероятностей мартингал Дуба (названный в честь Джозефа Л. Дуба [1] , также известный как мартингал Леви ) — это стохастический процесс , который аппроксимирует заданную случайную величину и имеет свойство мартингала относительно заданной фильтрации . Его можно рассматривать как развивающуюся последовательность наилучших приближений к случайной величине на основе информации, накопленной к определенному времени.
При анализе сумм, случайных блужданий или других аддитивных функций независимых случайных величин часто можно применять центральную предельную теорему , закон больших чисел , неравенство Чернова , неравенство Чебышева или аналогичные инструменты. При анализе подобных объектов, где разности не являются независимыми, основными инструментами являются мартингалы и неравенство Азумы . [ необходимо разъяснение ]
Определение
Пусть будет любой случайной величиной с . Предположим, что есть фильтрация , т.е. когда . Определим
то есть мартингал , [2] а именно мартингал Дуба , относительно фильтрации .
Чтобы увидеть это, обратите внимание, что
- ;
- как .
В частности, для любой последовательности случайных величин на вероятностном пространстве и функции такой, что , можно выбрать
и фильтрация такая, что
ie -алгебра, порожденная . Тогда, по определению мартингала Дуба, процесс , где
образует мартингал Дуба. Обратите внимание, что . Этот мартингал можно использовать для доказательства неравенства Мак-Диармида .
Неравенство Мак-Диармида
Мартингал Дуба был введен Джозефом Л. Дубом в 1940 году для установления неравенств концентрации , таких как неравенство Мак-Диармида, которое применяется к функциям, удовлетворяющим свойству ограниченной разности (определенному ниже), когда они оцениваются на случайных независимых аргументах функции.
Функция удовлетворяет свойству ограниченных разностей , если подстановка значения th-й координаты изменяет значение не более чем на . Более формально, если существуют константы такие, что для всех , и всех ,
Неравенство Мак-Диармида [1] — Пусть удовлетворяет свойству ограниченных разностей с границами .
Рассмотрим независимые случайные величины, где для всех . Тогда для любого ,
и как непосредственное следствие,
Смотрите также
Ссылки
- ^ ab Doob, JL (1940). "Свойства регулярности некоторых семейств случайных величин" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 47 (3): 455–486. doi : 10.2307/1989964 . JSTOR 1989964.
- ^ Дуб, Дж. Л. (1953). Стохастические процессы . Т. 101. Нью-Йорк: Wiley. С. 293.