Швейцарский математик XVIII века Леонард Эйлер (1707–1783) является одним из самых плодовитых и успешных математиков в истории этой области . Его основополагающие работы оказали глубокое влияние на многочисленные области математики, и ему широко приписывают введение и популяризацию современных обозначений и терминологии.
Эйлер ввел большую часть математических обозначений, используемых сегодня, таких как обозначение f ( x ) для описания функции и современное обозначение для тригонометрических функций . Он был первым, кто использовал букву e для основания натурального логарифма , теперь также известного как число Эйлера . Использование греческой буквы для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером (хотя оно не было придумано им). [1] Ему также приписывают изобретение обозначения i для обозначения . [2]
Эйлер внес важный вклад в комплексный анализ . Он ввел научную нотацию. Он открыл то, что сейчас известно как формула Эйлера , что для любого действительного числа комплексная показательная функция удовлетворяет
Ричард Фейнман часто называл это «самой замечательной формулой в математике» . [3] Тождество Эйлера является частным случаем этого:
Это тождество особенно примечательно, поскольку оно включает в себя e , , i , 1 и 0, возможно, пять самых важных констант в математике, а также четыре основных арифметических оператора: сложение, умножение, возведение в степень и равенство.
Развитие исчисления было на переднем крае математических исследований 18-го века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть раннего прогресса в этой области. Понимание бесконечности было главным направлением исследований Эйлера. Хотя некоторые из доказательств Эйлера, возможно, были неприемлемы по современным стандартам строгости , его идеи были ответственны за многие великие достижения. Прежде всего, Эйлер ввел понятие функции и ввел использование показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах.
Эйлер часто использовал логарифмические функции в качестве инструмента в задачах анализа и открыл новые способы их использования. Он открыл способы выражения различных логарифмических функций в виде степенных рядов и успешно определил логарифмы для комплексных и отрицательных чисел, тем самым значительно расширив область применения логарифмов в математике. Большинство исследователей в этой области долго придерживались мнения, что для любого положительного действительного числа , поскольку с помощью свойства аддитивности логарифмов . В письме 1747 года Жану Лерону Д'Аламберу Эйлер определил натуральный логарифм числа −1 как , чисто мнимое . [4]
Эйлер хорошо известен в анализе своим частым использованием и разработкой степенных рядов : то есть выражения функций в виде сумм бесконечного числа членов, таких как
В частности, Эйлер открыл разложения в степенной ряд для e и функцию арктангенса
Использование им степенных рядов позволило ему решить знаменитую Базельскую задачу в 1735 году: [5]
Кроме того, Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций, введя гамма-функцию , и ввел новый метод решения уравнений четвертой степени . Он также нашел способ вычисления интегралов с комплексными пределами, предвосхитив развитие комплексного анализа . Эйлер изобрел вариационное исчисление, включая его наиболее известный результат — уравнение Эйлера–Лагранжа .
Эйлер также был пионером в использовании аналитических методов для решения задач теории чисел. Тем самым он объединил две разрозненные ветви математики и ввел новую область изучения — аналитическую теорию чисел . Прокладывая путь для этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию непрерывных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел, используя расходимость гармонического ряда, и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как распределены простые числа . Работа Эйлера в этой области привела к разработке теоремы о простых числах . [6]
Большой интерес Эйлера к теории чисел можно проследить под влиянием его друга по Санкт-Петербургской академии, Христиана Гольдбаха . Многие из его ранних работ по теории чисел были основаны на трудах Пьера де Ферма и развивали некоторые идеи Ферма.
Одним из направлений работы Эйлера было связывание природы распределения простых чисел с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных величин простых чисел расходится . При этом он открыл связь между дзета-функцией Римана и простыми числами, известную как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана .
Эйлер доказал тождества Ньютона , малую теорему Ферма , теорему Ферма о суммах двух квадратов и внес значительный вклад в теорему Лагранжа о четырех квадратах . Он также изобрел функцию тотиента φ(n), которая сопоставляет положительному целому числу n количество положительных целых чисел, меньших n и взаимно простых с n. Используя свойства этой функции, он смог обобщить малую теорему Ферма до того, что станет известно как теорема Эйлера . Он также внес значительный вклад в понимание совершенных чисел , которые увлекали математиков со времен Евклида . Эйлер продвинулся к теореме о простых числах и предположил закон квадратичной взаимности . Эти две концепции считаются фундаментальными теоремами теории чисел, и его идеи проложили путь для Карла Фридриха Гаусса . [7]
В 1736 году Эйлер решил, или, скорее, доказал неразрешимость, задачу, известную как семь мостов Кенигсберга. [8] Город Кенигсберг , Королевство Пруссия (ныне Калининград, Россия) расположен на реке Прегель и включает в себя два больших острова, которые были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Вопрос в том, возможно ли пройти по маршруту, который пересекает каждый мост ровно один раз, и вернуться в исходную точку. Решение Эйлером задачи о мостах Кенигсберга считается первой теоремой теории графов . Кроме того, его признание того, что ключевой информацией является количество мостов и список их конечных точек (а не их точное положение), предвещало развитие топологии . [8]
Эйлер также внес вклад в понимание планарных графов . Он ввел формулу, регулирующую соотношение между числом ребер, вершин и граней выпуклого многогранника. Для такого многогранника знакопеременная сумма вершин, ребер и граней равна константе: V − E + F = 2. Эта константа, χ, является эйлеровой характеристикой плоскости. Изучение и обобщение этого уравнения, в частности Коши [9] и Люлье [10] , лежит в основе топологии . Эйлерова характеристика, которая может быть обобщена на любое топологическое пространство как знакопеременная сумма чисел Бетти , естественным образом возникает из гомологии . В частности, она равна 2 − 2 g для замкнутой ориентированной поверхности с родом g и 2 − k для неориентируемой поверхности с k поперечными крышками. Это свойство привело к определению систем вращения в топологической теории графов .
Большинство величайших успехов Эйлера были в применении аналитических методов к проблемам реального мира, описании многочисленных приложений чисел Бернулли , рядов Фурье , диаграмм Венна , чисел Эйлера , констант e и π , непрерывных дробей и интегралов. Он интегрировал дифференциальное исчисление Лейбница с методом флюксий Ньютона и разработал инструменты, которые упростили применение исчисления к физическим проблемам. В частности, он добился больших успехов в улучшении численного приближения интегралов, изобретя то, что сейчас известно как приближения Эйлера . Наиболее заметными из этих приближений являются метод Эйлера и формула Эйлера–Маклорена . Он также способствовал использованию дифференциальных уравнений , в частности, введя постоянную Эйлера–Маскерони :
Одним из самых необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae , надеясь в конечном итоге интегрировать теорию музыки как часть математики. Эта часть его работы, однако, не получила широкого внимания и была однажды описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков. [11]
Работы, опубликованные Эйлером отдельно:
