В математике открытый единичный круг (или диск ) вокруг точки P (где P — заданная точка на плоскости ) — это множество точек, расстояние которых от точки P меньше 1:
Замкнутый единичный круг вокруг точки P — это множество точек, расстояние от которых до точки P меньше или равно единице:
Единичные круги являются частными случаями дисков и единичных шаров ; как таковые, они содержат внутреннюю часть единичного круга , а в случае замкнутого единичного круга — сам единичный круг.
Без дополнительных уточнений термин единичный круг используется для открытого единичного круга вокруг начала координат , , относительно стандартной евклидовой метрики . Это внутренняя часть круга радиусом 1 с центром в начале координат. Это множество можно отождествить с множеством всех комплексных чисел с абсолютным значением меньше единицы. При рассмотрении как подмножества комплексной плоскости ( C ) единичный круг часто обозначается .
Функция
является примером действительной аналитической и биективной функции из открытого единичного круга в плоскость; ее обратная функция также является аналитической. Рассматриваемый как действительное 2-мерное аналитическое многообразие , открытый единичный круг, следовательно, изоморфен всей плоскости. В частности, открытый единичный круг гомеоморфен всей плоскости .
Однако нет конформного биективного отображения между открытым единичным кругом и плоскостью. Рассматриваемый как риманова поверхность , открытый единичный круг, таким образом, отличается от комплексной плоскости .
Существуют конформные биективные отображения между открытым единичным кругом и открытой верхней полуплоскостью . Таким образом, рассматриваемый как риманова поверхность, открытый единичный круг изоморфен («биголоморфен» или «конформно эквивалентен») верхней полуплоскости, и эти два понятия часто используются взаимозаменяемо.
В более общем смысле теорема Римана об отображении утверждает, что каждое простосвязное открытое подмножество комплексной плоскости, отличное от самой комплексной плоскости, допускает конформное и биективное отображение на открытый единичный круг.
Одним из биективных конформных отображений из открытого единичного круга в открытую верхнюю полуплоскость является преобразование Мёбиуса
Геометрически можно представить себе, что действительная ось изгибается и сжимается так, что верхняя полуплоскость становится внутренней частью диска, а действительная ось образует окружность диска, за исключением одной точки наверху, «точки на бесконечности». Биективное конформное отображение из открытого единичного диска в открытую верхнюю полуплоскость также может быть построено как композиция двух стереографических проекций : сначала единичный диск стереографически проецируется вверх на единичную верхнюю полусферу, принимая «южный полюс» единичной сферы за центр проекции, а затем эта полусфера проецируется вбок на вертикальную полуплоскость, касающуюся сферы, принимая точку на полусфере, противоположную точке касания, за центр проекции.
Единичный круг и верхняя полуплоскость не являются взаимозаменяемыми как области для пространств Харди . Это различие обусловлено тем фактом, что единичный круг имеет конечную (одномерную) меру Лебега, а вещественная прямая — нет.
Открытый единичный круг образует множество точек для модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости. Окружности, перпендикулярные единичной окружности, образуют «линии» в этой модели. Единичная окружность является абсолютом Кэли , который определяет метрику на диске с помощью двойного отношения в стиле метрики Кэли–Клейна . На языке дифференциальной геометрии окружности, перпендикулярные единичной окружности, являются геодезическими, которые показывают кратчайшее расстояние между точками в модели. Модель включает движения , которые выражаются специальной унитарной группой SU(1,1) . Модель диска может быть преобразована в модель полуплоскости Пуанкаре с помощью отображения g, указанного выше.
И диск Пуанкаре, и полуплоскость Пуанкаре являются конформными моделями гиперболической плоскости, то есть углы между пересекающимися кривыми сохраняются при движениях их групп изометрий.
Другая модель гиперболического пространства также построена на открытом единичном круге: модель Бельтрами-Клейна . Она не является конформной , но обладает тем свойством, что геодезические являются прямыми линиями.
Также рассматриваются единичные диски относительно других метрик . Например, с метрикой такси и метрикой Чебышева диски выглядят как квадраты (хотя базовые топологии такие же, как у евклидовой).
Площадь единичного круга Евклида равна π , а его периметр равен 2π. Напротив, периметр (относительно метрики такси) единичного круга в геометрии такси равен 8. В 1932 году Станислав Голомб доказал, что в метриках, вытекающих из нормы , периметр единичного круга может принимать любое значение между 6 и 8, и что эти экстремальные значения получаются тогда и только тогда, когда единичный круг является правильным шестиугольником или параллелограммом соответственно.
