Десятичное представление

Выражение чисел в виде последовательностей цифр

Десятичным представлением неотрицательного действительного числа r является его выражение в виде последовательности символов, состоящей из десятичных цифр, традиционно записываемых с одним разделителем: Здесь . — десятичный разделитель , k — неотрицательное целое число , а — цифры , которые являются символами, представляющими целые числа в диапазоне 0, ..., 9. $${\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots }$$ ${\displaystyle b_{0},\cdots ,b_{k},a_{1},a_{2},\cdots }$

Обычно, если Последовательность —цифр после точки—обычно бесконечна . Если она конечна, недостающие цифры считаются равными 0. Если все равны 0 , разделитель также опускается, что приводит к конечной последовательности цифр, которая представляет собой натуральное число . ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k\geq 1.}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Десятичное представление представляет собой бесконечную сумму : $${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.}$$

Каждое неотрицательное действительное число имеет по крайней мере одно такое представление; оно имеет два таких представления (с if ) тогда и только тогда, когда одно из них имеет конечную бесконечную последовательность 0 , а другое имеет конечную бесконечную последовательность 9 . Для того чтобы между неотрицательными действительными числами и десятичными представлениями было взаимно однозначное соответствие, десятичные представления с конечной бесконечной последовательностью 9 иногда исключаются. ^[1] ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k>0}$

Целые и дробные части

Натуральное число , называется целой частью r , и обозначается как 0 в оставшейся части этой статьи. Последовательность представляет число _, которое принадлежит интервалу и называется дробной частью r (за исключением случая, когда все равны 9 ) . ${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ $${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}$$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Конечные десятичные приближения

Любое действительное число можно с любой желаемой степенью точности аппроксимировать рациональными числами с конечными десятичными представлениями.

Предположим . Тогда для каждого целого числа существует конечная десятичная дробь такая, что: ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

$${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

Доказательство : Пусть , где . Тогда , и результат следует из деления всех сторон на . (Тот факт, что имеет конечное десятичное представление, легко устанавливается.) ${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$ ${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$ ${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle r_{n}}$

Неединственность десятичного представления и условные обозначения

Некоторые действительные числа имеют два бесконечных десятичных представления. Например, число 1 может быть одинаково представлено как 1,000..., так и 0,999... (где бесконечные последовательности конечных нулей или девяток соответственно представлены как "..."). Традиционно предпочтительным является десятичное представление без конечных девяток. Более того, в стандартном десятичном представлении бесконечная последовательность конечных нулей, появляющаяся после десятичной точки , опускается вместе с самой десятичной точкой, если является целым числом. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Определенные процедуры построения десятичного расширения позволят избежать проблемы с конечными девятками. Например, следующая алгоритмическая процедура даст стандартное десятичное представление: Учитывая , мы сначала определяем ( целую часть ) как наибольшее целое число, такое что (т.е. ). Если процедура завершается. В противном случае, для уже найденного мы определяем индуктивно как наибольшее целое число, такое что: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{0}\leq x}$ ${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle x=a_{0}}$ ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ ${\displaystyle a_{k}}$

Процедура завершается всякий раз, когда находится такое, что равенство выполняется в ( * ); в противном случае она продолжается бесконечно, давая бесконечную последовательность десятичных цифр. Можно показать, что ^[2] (обычно записывается как ), где и неотрицательное целое число представлено в десятичной записи . Эта конструкция расширяется до путем применения вышеприведенной процедуры к и обозначения полученного десятичного расширения как . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$ ${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

Типы

Конечный

Десятичное разложение неотрицательного действительного числа x будет заканчиваться нулями (или девятками) тогда и только тогда, когда x — рациональное число, знаменатель которого имеет вид 2 ⁿ 5 ^m , где m и n — неотрицательные целые числа.

Доказательство :

Если десятичная дробь x заканчивается нулями или для некоторого n , то знаменатель x имеет вид 10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿ . ${\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}}$

Наоборот, если знаменатель x имеет вид 2 ⁿ 5 ^m , для некоторого p . В то время как x имеет вид , для некоторого n . По , x будет заканчиваться нулями. ${\displaystyle x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {p}{10^{k}}}}$ ${\displaystyle p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}}$ ${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}}$

Бесконечный

Повторяющиеся десятичные представления

Некоторые действительные числа имеют десятичные разложения, которые в конечном итоге зацикливаются, бесконечно повторяя последовательность из одной или нескольких цифр:

1 ⁄ 3 = 0,33333...

1 ⁄ 7 = 0,142857142857...

1318/185 = 7,1243243243 ...

Каждый раз, когда это происходит, число все еще является рациональным числом (т.е. может быть альтернативно представлено как отношение целого числа к положительному целому числу). Также верно и обратное: десятичное разложение рационального числа либо конечно, либо бесконечно повторяется.

Конечные десятичные представления также можно рассматривать как частный случай бесконечно повторяющихся десятичных представлений. Например, 36 ⁄ 25 = 1,44 = 1,4400000...; бесконечно повторяющаяся последовательность — это однозначная последовательность «0».

Неповторяющиеся десятичные представления

Другие действительные числа имеют десятичные разложения, которые никогда не повторяются. Это как раз иррациональные числа , числа, которые не могут быть представлены в виде отношения целых чисел. Вот некоторые известные примеры:

√ 2 = 1,41421356237309504880...

  е   = 2,71828182845904523536...

  π   = 3,14159265358979323846...

Преобразование в дробь

Каждое десятичное представление рационального числа можно преобразовать в дробь, преобразовав его в сумму целой, неповторяющейся и повторяющейся частей, а затем преобразовав эту сумму в одну дробь с общим знаменателем.

Например, чтобы преобразовать в дробь, следует обратить внимание на лемму: ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}}$$

Таким образом, преобразование происходит следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

Если повторяющихся цифр нет, можно предположить, что существует вечно повторяющийся 0, например , , хотя, поскольку это делает повторяющийся член нулевым, сумма упрощается до двух членов и более простого преобразования. ${\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}$

Например: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Десятичная дробь
• Серия (математика)
• IEEE 754
• Саймон Стевин

Ссылки

1. Кнут, Дональд Эрвин (1973). Искусство программирования . Том 1: Фундаментальные алгоритмы. Эддисон-Уэсли . С. 21.
2. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: McGraw-Hill . стр. 11. ISBN 0-07-054235-X.

Дальнейшее чтение

• Апостол, Том (1974). Математический анализ (Второе изд.). Эддисон-Уэсли .
• Savard, John JG (2018) [2006]. "Decimal Representations". quadibloc . Архивировано из оригинала 2018-07-16 . Получено 2018-07-16 .