Жесткость (К-теория)

В математике жесткость K -теории охватывает результаты, связывающие алгебраическую K -теорию различных колец.

жесткость по Суслину

Жесткость Суслина , названная в честь Андрея Суслина , относится к инвариантности mod -n алгебраической K -теории относительно замены базы между двумя алгебраически замкнутыми полями : Суслин (1983) показал, что для расширения

${\displaystyle E/F}$

алгебраически замкнутых полей и алгебраического многообразия X / F существует изоморфизм

${\displaystyle K_{*}(X,\mathbf {Z} /n)\cong K_{*}(X\times _{F}E,\mathbf {Z} /n),\ i\geq 0}$

между mod -n K -теорией когерентных пучков на X , соответственно, ее базовым изменением на E. Учебное изложение этого факта в случае X  =  F , включая результирующее вычисление K -теории алгебраически замкнутых полей в характеристике p , содержится в Weibel (2013).

Этот результат стимулировал различные другие работы. Например, Röndigs & Østvær (2008) показывают, что функтор замены базы для mod -n стабильной A ¹ -гомотопической категории

${\displaystyle \mathrm {SH} (F,\mathbf {Z} /n)\to \mathrm {SH} (E,\mathbf {Z} /n)}$

является полностью верным. Аналогичное утверждение для некоммутативных мотивов было установлено Табуадой (2018).

жесткость Габбера

Другой тип жесткости связывает модернизированную K -теорию гензелева кольца A с теорией его поля вычетов A / m . Этот результат жесткости называется жесткостью Габбера , ввиду работы Габбера (1992), который показал, что существует изоморфизм

${\displaystyle K_{*}(A,\mathbf {Z} /n)=K_{*}(A/m,\mathbf {Z} /n)}$

при условии , что n ≥1 — целое число, обратимое в A.

Если n необратимо в A , результат, как указано выше, все еще имеет место, при условии, что K-теория заменяется слоем отображения следа между K-теорией и топологической циклической гомологией . Это было показано Clausen, Mathew & Morrow (2021).

Приложения

Жардин (1993) использовал результат Габбера и Суслина о жесткости, чтобы опровергнуть вычисления Квиллена в области K-теории конечных полей .

Ссылки

• Клаузен, Дастин; Мэтью, Ахил; Морроу, Мэтью (2021), «K-теория и топологическая циклическая гомология гензелевых пар», J. Amer. Math. Soc. , 34 : 411–473, arXiv : 1803.10897

• Габбер, Офер (1992), " K -теория гензелевых локальных колец и гензелевых пар", Алгебраическая K -теория, коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия (Санта-Маргерита-Лигуре, 1989) , Contemp. Math., т. 126, стр. 59–70, doi :10.1090/conm/126/00509, MR  1156502
• Jardine, JF (1993), «K-теория конечных полей, пересмотр», K-Theory , 7 (6): 579–595, doi :10.1007/BF00961219, MR  1268594
• Рёндигс, Оливер; Оствер, Пауль Арне (2008), «Жесткость в мотивной гомотопической теории», Mathematische Annalen , 341 (3): 651–675, doi : 10.1007/s00208-008-0208-5, MR  2399164

• Суслин, Андрей (1983), «О K -теории алгебраически замкнутых полей», Inventiones Mathematicae , 73 (2): 241–245, doi :10.1007/BF01394024, MR  0714090

• Табуада, Гонсало (2018), «Некоммутативная жесткость», Mathematische Zeitschrift , 289 (3–4): 1281–1298, arXiv : 1703.10599 , doi : 10.1007/s00209-017-1998-5, MR  3830249

• Вайбель, Чарльз А. (2013), K-book, Graduate Studies in Mathematics, т. 145, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-0-8218-9132-2, МР  3076731