Проблема Синьорини

Задача Синьорини — задача эластостатики в линейной упругости : она состоит в нахождении упруго- равновесной конфигурации анизотропного неоднородного упругого тела , покоящегося на твердой поверхности без трения и подверженного действию только его массовых сил . Название было придумано Гаэтано Фичерой в честь его учителя Антонио Синьорини : оригинальное название, придуманное им, — проблема с неоднозначными граничными условиями .

История

- «Il my discepolo Fichera mi ha dato una grande soddisfazione»
- «Ma Lei ne ha avute tante, Professore, durante la Sua vita» , rispose il Dottor Aprile, ma Signorini rispose di nuovo:
- «Ma questa è la più grande». E queste Furono le Sue Ultime Parole.^[1]
- Гаэтано Фичера (Fichera 1995, стр. 49)

Задача была поставлена Антонио Синьорини во время курса, читаемого в Национальном институте высшей математики в 1959 году, позже опубликована в виде статьи (Signorini 1959), расширяющей предыдущее краткое изложение, которое он дал в заметке, опубликованной в 1933 году. Signorini (1959, стр. 128) сам назвал ее задачей с неоднозначными граничными условиями , ^[2] поскольку существует два альтернативных набора граничных условий, которым решение должно удовлетворять в любой заданной точке контакта . В постановке задачи присутствуют не только равенства , но и неравенства , причем априори неизвестно , какой из двух наборов граничных условий выполняется в каждой точке . Синьорини попросил определить, корректна или нет проблема в физическом смысле, т.е. существует ли ее решение, единственно или нет: он прямо пригласил молодых аналитиков изучить проблему. ^[3]

Гаэтано Фичера и Мауро Пиконе посетили курс, и Фичера начал исследовать проблему: поскольку он не нашел упоминаний о подобных проблемах в теории краевых задач , ^[4] он решил подойти к ней, начиная с первых принципов , а именно с виртуальный принцип работы .

Во время исследования проблемы Фичерой у Синьорини начались серьезные проблемы со здоровьем: тем не менее, он желал узнать ответ на свой вопрос перед смертью. Пиконе, которого связывала крепкая дружба с Синьорини, стал преследовать Фичеру, чтобы найти решение: сам Фичера, связанный с Синьорини такими же чувствами, воспринимал последние месяцы 1962 года как тревожные дни. ^[5] Наконец, в первые дни января 1963 года Фичера смог дать полное доказательство существования единственного решения задачи с неоднозначным граничным условием, которую он назвал «проблемой Синьорини» в честь своего учителя. Предварительное объявление об исследовании, позже опубликованное как (Fichera 1963), было написано и отправлено Синьорини ровно за неделю до его смерти. Синьорини выразил большое удовлетворение, увидев решение своего вопроса.
Несколько дней спустя Синьорини имел со своим семейным доктором Дамиано Априле разговор, процитированный выше. ^[6]

Решение проблемы Синьорини совпадает с рождением области вариационных неравенств . ^[7]

Формальная постановка задачи

Содержание этого раздела и следующих подразделов близко соответствует рассмотрению Гаэтано Фичеры в Fichera 1963, Fichera 1964b, а также Fichera 1995: его вывод проблемы отличается от вывода Синьорини тем, что он не рассматривает только несжимаемые тела и плоская поверхность покоя , как это делает Синьорини. ^[8] Задача состоит в нахождении вектора смещения из естественной конфигурации анизотропного неоднородного упругого тела , лежащего в подмножестве трехмерного евклидова пространства, границей которого является и внутренней нормалью которого является вектор , покоящийся на жестком поверхность без трения , контактная поверхность которой (или, в более общем смысле, контактная совокупность ) подвержена только ее объемным силам и поверхностным силам , приложенным к свободной (т.е. не контактирующей с остальной поверхностью) поверхности : совокупность и контактная поверхность характеризуют естественную конфигурацию тела и известны априори. Следовательно, тело должно удовлетворять уравнениям общего равновесия. $\scriptstyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x} }),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ $А$ $\scriptstyle \partial A$ $п$ $\Сигма$ $\scriptstyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x} }),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ $\scriptstyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x} }),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ $\scriptstyle \partial A\setminus \Sigma$ $А$ $\Сигма$

(1)

\qquad {\frac {\partial \sigma _{ik}}{\partial x_{k}}}-f_{i}=0\qquad {\text{for }}i = 1,2,3

записаны с использованием обозначений Эйнштейна, как и все в дальнейшем развитии, обычные граничные условия на $\scriptstyle \partial A\setminus \Sigma$

(2)

\qquad \sigma _{ik}n_{k}-g_{i}=0\qquad {\text{for }}i = 1,2,3

и следующие два набора граничных условий на , где – тензор напряжений Коши . Очевидно, что объемные и поверхностные силы не могут быть заданы произвольным образом, но они должны удовлетворять условию, позволяющему телу достичь равновесной конфигурации: это условие будет выведено и проанализировано в последующих разработках. $\Сигма$ $\scriptstyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}})$

Неоднозначные граничные условия

Если – любой касательный вектор к контактному множеству , то неоднозначные граничные условия в каждой точке этого множества выражаются следующими двумя системами неравенств $\scriptstyle {\boldsymbol {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})$ $\Сигма$

(3) или (4)

\quad {\begin{cases}u_{i}n_{i}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k} &\geq 0\\\sigma _{ik} n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}

{\begin{cases}u_{i}n_{i}&>0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}

Разберем их значение:

Каждый набор условий состоит из трех отношений , равенств или неравенств , причем все вторые члены являются нулевой функцией .
Величины в первом члене каждого первого соотношения пропорциональны норме компоненты вектора смещения , направленной вдоль вектора нормали . $n$
Величины в первом члене каждого второго соотношения пропорциональны норме компоненты вектора напряженности, направленной вдоль вектора нормали , $n$
Величины в первом члене каждого третьего соотношения пропорциональны норме компоненты вектора натяжения вдоль любого вектора , касательного в данной точке к множеству контактов . $\tau$ $\Sigma$
Величины в первом члене каждого из трех отношений положительны, если они имеют один и тот же смысл вектора, которому они пропорциональны , и отрицательны, если нет, поэтому константы пропорциональности соответственно равны и . $\scriptstyle +1$ $\scriptstyle -1$

Зная эти факты, совокупность условий (3) применима к точкам границы тела, не выходящим из контактного множества в равновесной конфигурации , так как согласно первому соотношению вектор смещения не имеет компонент , направленных нормально вектор , а согласно второму соотношению вектор напряженности может иметь компоненту, направленную как вектор нормали и имеющую тот же смысл . Аналогичным образом набор условий (4) применяется к точкам границы тела, выходящим из этого множества в равновесной конфигурации, поскольку вектор смещения имеет компоненту, направленную как вектор нормали , а вектор растяжения не имеет компонент, направленных как нормальный вектор . Для обоих наборов условий вектор натяжения не имеет касательной к множеству контактов в соответствии с гипотезой о том, что тело покоится на жесткой поверхности без трения . $\Sigma$ $u$ $n$ $n$ $u$ $n$ $n$

Каждая система выражает односторонние ограничения в том смысле, что они выражают физическую невозможность упругого тела проникнуть в поверхность, на которой оно покоится: неоднозначность заключается не только в неизвестных значениях, которым ненулевые величины должны удовлетворять на множестве контактов , но и в в том, что априори неизвестно, удовлетворяет ли точка, принадлежащая этому множеству, системе граничных условий (3) или (4) . Совокупность точек, в которых выполняется (3) , называется площадью опоры упругого тела на , а ее дополнение по - областью отрыва . $\Sigma$ $\Sigma$

Приведенная выше формулировка является общей, поскольку тензор напряжений Коши , т. е. материальное уравнение упругого тела, не был явно выражен: она одинаково справедлива, предполагая гипотезу линейной упругости или гипотезу нелинейной упругости . Однако, как станет ясно из следующих событий, проблема по своей сути нелинейна , поэтому предположение о линейном тензоре напряжений не упрощает проблему .

Вид тензора напряжений в формулировке Синьорини и Фичеры

Форма, принятая Синьорини и Фичерой для упругой потенциальной энергии , следующая (как и в предыдущих разработках, приняты обозначения Эйнштейна ):

W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}

где

$\scriptstyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\right)$ тензор упругости
$\scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)$ – тензор бесконечно малых деформаций

Таким образом, тензор напряжений Коши имеет следующий вид

(5)

\sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad {\text{for }}i,k=1,2,3

и он линейен по отношению к компонентам тензора бесконечно малых деформаций; однако он не является ни однородным , ни изотропным .

Решение проблемы

Что касается раздела о формальной постановке проблемы Синьорини, то содержание этого раздела и включенных в него подразделов близко соответствует трактовке Гаэтано Фичеры в Fichera 1963, Fichera 1964b, Fichera 1972, а также Fichera 1995: очевидно, изложение сосредоточено на не технические подробности, а основные этапы доказательства существования и единственности решения задачи (1) , (2) , (3) , (4) и (5) .

Потенциальная энергия

Первым шагом анализа Фичеры, а также первым шагом анализа Антонио Синьорини в Signorini 1959 является анализ потенциальной энергии , то есть следующего функционала

(6)

I({\boldsymbol {u}})=\int _{A}W({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\varepsilon }})\mathrm {d} x-\int _{A}u_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }u_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma

где принадлежит множеству допустимых перемещений , т.е. множеству векторов перемещений, удовлетворяющих системе граничных условий (3) или (4) . Значение каждого из трех терминов следующее. $u$ $\scriptstyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }$

первый — полная упругая потенциальная энергия упругого тела
второй — это полная потенциальная энергия, обусловленная массовыми силами , например силой гравитации .
третий — это потенциальная энергия, обусловленная поверхностными силами , например силами , оказываемыми атмосферным давлением.

Синьорини (1959, стр. 129–133) смог доказать, что допустимое смещение , минимизирующее интеграл , является решением задачи с неоднозначными граничными условиями (1) , (2) , (3) , (4) и (5). ) , при условии, что это функция , поддерживаемая замыканием множества : однако Гаэтано Фичера привел класс контрпримеров в (Fichera 1964b, стр. 619–620), показывающих , что в общем случае допустимые перемещения не являются гладкими функциями этого класса. Поэтому Фичера пытается минимизировать функционал (6) в более широком функциональном пространстве : при этом он сначала вычисляет первую вариацию (или функциональную производную ) данного функционала в окрестности искомого минимизирующего допустимое смещение , а затем требует ее быть больше или равно нулю $u$ $I(u)$ $C^{1}$ $\scriptstyle {\bar {A}}$ $A$ $\scriptstyle {\boldsymbol {u}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }$

\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I({\boldsymbol {u}}+t{\boldsymbol {v}})\right\vert _{t=0}=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x-\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }

Определение следующих функционалов

B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x\qquad {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }

F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \qquad {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }

предыдущее неравенство можно записать как

(7)

B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})-F({\boldsymbol {v}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }

Это неравенство является вариационным неравенством для задачи Синьорини .

Смотрите также

Примечания

^
Бесплатный английский перевод:
- «Мой ученик Фичера доставил мне большое удовлетворение».
- «Но у вас их было много, профессор, в вашей жизни», — ответил доктор Априле, но затем Синьорини ответил снова:
- «Но это величайший». И это были его последние слова.
^ Итальянский : Проблема с неоднозначными условиями al contorno .
^ Как указано в (Синьорини, 1959, стр. 129).
^ См. (Fichera 1995, стр. 49).
↑ Эту драматическую ситуацию описывает сам Фичера (1995, стр. 51).
^ Фичера (1995, стр. 53) сообщает об эпизоде после воспоминаний Мауро Пиконе : дополнительные подробности см. в статье « Антонио Синьорини ».
^ По словам Антмана (1983, стр. 282).
^ См. Синьорини 1959, с. 127) за оригинальный подход.

Внешние ссылки

Барбу, В. (2001) [1994], «Проблема Синьорини», Математическая энциклопедия , EMS Press
Алессио Фигалли, О глобальных однородных решениях проблемы Синьорини,