Проблема Синьорини

Задача эластостатики в линейной упругости

Задача Синьорини — это задача эластостатики в линейной упругости : она состоит в нахождении упругой равновесной конфигурации анизотропного неоднородного упругого тела , покоящегося на жесткой поверхности без трения и подверженного только его массовым силам . Название было придумано Гаэтано Фикера в честь его учителя Антонио Синьорини : первоначальное название , придуманное им, — задача с неоднозначными граничными условиями .

История

Классическая задача Синьорини: какова будет равновесная конфигурация оранжевого сферического упругого тела, покоящегося на синей жесткой плоскости без трения ?

• - «Il my discepolo Fichera mi ha dato una grande soddisfazione»
• - «Ma Lei ne ha avute tante, Professore, durante la Sua vita» , rispose il Dottor Aprile, ma Signorini rispose di nuovo:
• - «Ma questa è la più grande». E queste Furono le Sue Ultime Parole. ^[1]

-  Гаэтано Фичера (Fichera 1995, стр. 49)

Проблема была поставлена ​​Антонио Синьорини во время курса, преподаваемого в Istituto Nazionale di Alta Matematica в 1959 году, позже опубликована в виде статьи (Signorini 1959), расширяющей предыдущее краткое изложение, которое он дал в заметке, опубликованной в 1933 году. Синьорини (1959, стр. 128) сам называл ее проблемой с неоднозначными граничными условиями , ^[2] поскольку существуют два альтернативных набора граничных условий, которым решение должно удовлетворять в любой заданной точке контакта . Постановка задачи включает в себя не только равенства, но и неравенства , и априори неизвестно , какой из двух наборов граничных условий удовлетворяется в каждой точке . Синьорини попросил определить, является ли задача корректно поставленной или нет в физическом смысле, т. е. существует ли ее решение и является ли оно единственным или нет: он явно пригласил молодых аналитиков изучить проблему. ^[3]

Гаэтано Фикера и Мауро Пиконе посетили курс, и Фикера начал исследовать проблему: поскольку он не нашел ссылок на подобные проблемы в теории краевых задач ^[4] , он решил подойти к ней, начав с первых принципов , а именно с принципа виртуальной работы .

Во время исследований Фикеры по этой проблеме у Синьорини начались серьезные проблемы со здоровьем: тем не менее, он желал узнать ответ на свой вопрос перед смертью. Пиконе, будучи связанным крепкой дружбой с Синьорини, начал преследовать Фикеру, чтобы найти решение: сам Фикеры, будучи также связанным с Синьорини схожими чувствами, воспринимал последние месяцы 1962 года как тревожные дни. ^[5] Наконец, в первые дни января 1963 года Фикере удалось дать полное доказательство существования единственного решения для проблемы с неоднозначным граничным условием, которую он назвал «проблемой Синьорини» в честь своего учителя. Предварительное исследовательское объявление, позже опубликованное как (Fichera 1963), было написано и отправлено Синьорини ровно за неделю до его смерти. Синьорини выразил большое удовлетворение, увидев решение своего вопроса.
Несколько дней спустя Синьорини имел со своим семейным доктором , Дамиано Априле, разговор, процитированный выше. ^[6]

Решение проблемы Синьорини совпадает с рождением области вариационных неравенств . ^[7]

Формальная постановка проблемы

Содержание этого раздела и следующих подразделов тесно связано с трактовкой Гаэтано Фикеры в работах Фикеры 1963, Фикеры 1964b и Фикеры 1995: его вывод проблемы отличается от вывода Синьорини тем, что он не рассматривает только несжимаемые тела и плоскую поверхность покоя , как это делает Синьорини. ^[8] Задача состоит в нахождении вектора смещения из естественной конфигурации анизотропного неоднородного упругого тела , которое лежит в подмножестве трехмерного евклидова пространства , граница которого есть , а внутренняя нормаль — вектор , покоящегося на жесткой поверхности без трения , контактная поверхность которой (или, в более общем смысле, контактное множество ) есть и подвержена только ее объемным силам , и поверхностным силам, приложенным к свободной (т.е. не контактирующей с поверхностью покоя) поверхности : множество и контактная поверхность характеризуют естественную конфигурацию тела и известны априори. Следовательно, тело должно удовлетворять уравнениям общего равновесия ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial A\setminus \Sigma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma }$

(1)      ${\displaystyle \qquad {\frac {\partial \sigma _{ik}}{\partial x_{k}}}-f_{i}=0\qquad {\text{for }}i=1,2,3}$

записано с использованием обозначений Эйнштейна , как и все в следующем развитии, обычные граничные условия на ${\displaystyle \scriptstyle \partial A\setminus \Sigma }$

(2)      ${\displaystyle \qquad \sigma _{ik}n_{k}-g_{i}=0\qquad {\text{for }}i=1,2,3}$

и следующие два набора граничных условий на , где — тензор напряжений Коши . Очевидно, что объемные силы и поверхностные силы не могут быть заданы произвольным образом, но они должны удовлетворять условию, чтобы тело достигло равновесной конфигурации: это условие будет выведено и проанализировано в следующем развитии. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}})}$

Неоднозначные граничные условия

Если — любой касательный вектор к контактному множеству , то неоднозначные граничные условия в каждой точке этого множества выражаются следующими двумя системами неравенств ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})}$ ${\displaystyle \Sigma }$

(3)      или (4) ${\displaystyle \quad {\begin{cases}u_{i}n_{i}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&\geq 0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$                ${\displaystyle {\begin{cases}u_{i}n_{i}&>0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$

Давайте проанализируем их значение:

• Каждый набор условий состоит из трех отношений , равенств или неравенств , а все вторые члены являются нулевой функцией .
• Величины в первом члене каждого первого соотношения пропорциональны норме составляющей вектора смещения , направленной вдоль нормали . ${\displaystyle n}$
• Величины в первом члене каждого второго соотношения пропорциональны норме составляющей вектора напряженности, направленной вдоль нормального вектора , ${\displaystyle n}$
• Величины в первом члене каждого третьего соотношения пропорциональны норме составляющей вектора напряженности вдоль любого вектора, касательного в данной точке к контактному множеству . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Sigma }$
• Величины в первом члене каждого из трех соотношений положительны , если они имеют тот же смысл , что и вектор, которому они пропорциональны , и отрицательны в противном случае, поэтому константы пропорциональности равны соответственно и . ${\displaystyle \scriptstyle +1}$ ${\displaystyle \scriptstyle -1}$

Зная эти факты, набор условий (3) применим к точкам границы тела, которые не выходят из контактного множества в равновесной конфигурации , так как, согласно первому соотношению , вектор смещения не имеет компонент, направленных как нормальный вектор , в то время как, согласно второму соотношению, вектор напряжений может иметь компоненту, направленную как нормальный вектор и имеющую тот же смысл . Аналогичным образом набор условий ( 4 ) применим к точкам границы тела , которые выходят из этого множества в равновесной конфигурации , так как вектор смещения имеет компоненту, направленную как нормальный вектор , в то время как вектор напряжений не имеет компонент, направленных как нормальный вектор . Для обоих наборов условий вектор напряжений не имеет касательной компоненты к контактному множеству, согласно гипотезе , что тело покоится на жесткой поверхности без трения . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Каждая система выражает одностороннее ограничение , в том смысле, что они выражают физическую невозможность упругого тела проникнуть в поверхность, на которой оно покоится: неоднозначность заключается не только в неизвестных значениях, которым ненулевые величины должны удовлетворять на контактном множестве, но и в том факте, что априори неизвестно, удовлетворяет ли точка, принадлежащая этому множеству, системе граничных условий (3) или (4) . Множество точек, где выполняется (3) , называется областью опоры упругого тела на , в то время как его дополнение относительно называется областью раздела . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Вышеприведенная формулировка является общей , поскольку тензор напряжений Коши , т.е. основное уравнение упругого тела, не было сделано явным: оно одинаково справедливо, предполагая гипотезу линейной упругости или гипотезу нелинейной упругости . Однако, как будет ясно из последующих разработок, проблема по своей сути нелинейна , поэтому предположение о линейном тензоре напряжений не упрощает задачу .

Вид тензора напряжений в формулировке Синьорини и Фикеры

Форма, принятая Синьорини и Фикерой для упругой потенциальной энергии , следующая (как и в предыдущих разработках, приняты обозначения Эйнштейна ):

${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$

где

• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\right)}$это тензор упругости
• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$это тензор бесконечно малой деформации

Тензор напряжений Коши имеет, таким образом, следующий вид:

(5)      ${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad {\text{for }}i,k=1,2,3}$

и он линеен относительно компонентов тензора бесконечно малой деформации; однако он не является ни однородным , ни изотропным .

Решение проблемы

Что касается раздела о формальной постановке проблемы Синьорини, то содержание этого раздела и включенных в него подразделов тесно связано с трактовкой Гаэтано Фикеры в работах Fichera 1963, Fichera 1964b, Fichera 1972, а также Fichera 1995: очевидно, что изложение сосредоточено на основных этапах доказательства существования и единственности решения задачи (1) , (2) , (3) , (4) и (5) , а не на технических деталях.

Потенциальная энергия

Первым шагом анализа Фикеры, а также первым шагом анализа Антонио Синьорини в Signorini 1959 является анализ потенциальной энергии , т.е. следующего функционала

(6)       ${\displaystyle I({\boldsymbol {u}})=\int _{A}W({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\varepsilon }})\mathrm {d} x-\int _{A}u_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }u_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma }$

где принадлежит множеству допустимых перемещений , т.е. множеству векторов перемещений, удовлетворяющих системе граничных условий (3) или (4) . Значение каждого из трех терминов следующее ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

• первая — полная упругая потенциальная энергия упругого тела
• вторая - это полная потенциальная энергия , обусловленная силами тела , например, силой тяготения
• третья - потенциальная энергия, обусловленная поверхностными силами , например, силами, создаваемыми атмосферным давлением

Signorini (1959, стр. 129–133) удалось доказать, что допустимое смещение, минимизирующее интеграл , является решением задачи с неоднозначными граничными условиями (1) , (2) , (3) , (4) и (5) , при условии, что это функция, поддерживаемая на замыкании множества : однако Гаэтано Фикера привел класс контрпримеров в (Fichera 1964b, стр. 619–620), показывающих, что в общем случае допустимые смещения не являются гладкими функциями этого класса. Поэтому Фикера пытается минимизировать функционал (6) в более широком функциональном пространстве : при этом он сначала вычисляет первую вариацию (или функциональную производную ) данного функционала в окрестности искомого минимизирующего допустимого смещения , а затем требует, чтобы она была больше или равна нулю ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle I(u)}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I({\boldsymbol {u}}+t{\boldsymbol {v}})\right\vert _{t=0}=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x-\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

Определение следующих функционалов

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x\qquad {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

и

${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \qquad {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

предыдущее неравенство можно записать как

(7)       ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})-F({\boldsymbol {v}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

Это неравенство является вариационным неравенством для задачи Синьорини .

Смотрите также

• Линейная эластичность
• Вариационное неравенство

Примечания

1. Бесплатный перевод на английский язык:
   • «Мой ученик Фикера доставил мне огромное удовлетворение».
   • «Но у вас их было много, профессор, в течение вашей жизни», — ответил доктор Априле, но затем Синьорини снова ответил:
   • «Но это — величайшее». И это были его последние слова.
2. Итальянский : Проблема с неоднозначными условиями al contorno .
3. Как указано в (Синьорини 1959, стр. 129).
4. См. (Фикера 1995, стр. 49).
5. Эту драматическую ситуацию описывает сам Фикера (1995, стр. 51).
6. Фикера (1995, стр. 53) сообщает об эпизоде, последовавшем за воспоминаниями Мауро Пиконе : см. статью « Антонио Синьорини » для получения дополнительных подробностей.
7. Согласно Антману (1983, стр. 282)
8. Оригинальный подход см. в работе Signorini 1959, стр. 127.

Ссылки

Исторические справки

• Антман, Стюарт (1983), «Влияние эластичности в анализе: современные разработки», Бюллетень Американского математического общества , 9 (3): 267–291, doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15185-6 , MR  0714990, Zbl  0533.73001.
• Дюво, Жорж (1971), «Унилатеральные проблемы в механике непрерывной среды» (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens, 1970, ICM Proceedings , vol. Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Том 3, Париж : Готье-Виллар, стр. 71–78.. Краткий обзор исследований, описывающих область вариационных неравенств.
• Фичера, Гаэтано (1972), «Краевые задачи упругости с односторонними ограничениями», во Флюгге, Зигфрид ; Трусделл, Клиффорд А. (ред.), Festkörpermechanik/Mechanics of Solids , Handbuch der Physik (Энциклопедия физики), vol. VIa/2 (изд. в мягкой обложке, 1984 г.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 391–424, ISBN 0-387-13161-2, ЗБЛ  0277.73001Энциклопедическую статью о задачах с односторонними ограничениями (класс краевых задач, к которому относится задача Синьорини) он написал для Handbuch der Physik по приглашению Клиффорда Трусделла .
• Фичера, Гаэтано (1995), «La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni», Incontro Scientifico Italo-Spagnolo. Рома, 21 октября 1993 г., Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), vol. 114, Рим : Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 47–53.Рождение теории вариационных неравенств, воспоминаемое тридцать лет спустя ( английский перевод названия статьи) — историческая статья, описывающая начало теории вариационных неравенств с точки зрения ее основателя.
• Фичера, Гаэтано (2002), Opere storiche biografiche, divulgative [ Исторические, биографические, разглашенные произведения ] (на итальянском языке), Неаполь : Джаннини, стр. 491. Том, в котором собраны почти все работы Гаэтано Фикеры в области истории математики и научного раскрытия.
• Фичера, Гаэтано (2004), Opere scelte [ Избранные произведения ], Firenze : Edizioni Cremonese (распространяется Unione Matematica Italiana ), стр. XXIX+432 (том 1), стр. VI+570 (том 2), стр. VI + 583 (том 3), заархивировано из оригинала 28 декабря 2009 г., ISBN 88-7083-811-0 (т. 1), ISBN 88-7083-812-9 (т. 2), ISBN 88-7083-813-7 (т. 3). Три тома, в которых собраны важнейшие математические работы Гаэтано Фикеры, с биографическим очерком Ольги А. Олейник .   
• Синьорини, Антонио (1991), Opere scelte [ Избранные произведения ], Firenze : Edizioni Cremonese (распространяется Unione Matematica Italiana ), стр. XXXI + 695, заархивировано из оригинала 28 декабря 2009 г.. Том, в котором собраны наиболее важные работы Антонио Синьорини с введением и комментариями Джузеппе Гриоли.

Научно-исследовательские работы

• Андерссон, Джон (2016), «Оптимальная регулярность для задачи Синьорини и ее свободной границы», Inventiones Mathematicae , 1 (1): 1–82, arXiv : 1310.2511 , Bibcode : 2016InMat.204....1A, doi : 10.1007/s00222-015-0608-6, MR  3480553, S2CID  118934322, Zbl  1339.35345.
• Фичера, Гаэтано (1963), «Sul Issuea elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno» [Об упругостатической задаче Синьорини с неоднозначными граничными условиями], Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 ( на итальянском языке), 34 (2): 138–142, МР  0176661, Збл  0128.18305. Краткая исследовательская заметка, анонсирующая и описывающая (без доказательств) решение проблемы Синьорини.
• Фичера, Гаэтано (1964a), «Проблемы эластостатики с односторонними винколи: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno» [Эластостатические задачи с односторонними ограничениями: проблема Синьорини с неоднозначными граничными условиями], Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (на итальянском языке), 7 (2): 91–140, Збл  0146.21204. Первая работа, в которой доказана теорема существования и единственности для задачи Синьорини.
• Фичера, Гаэтано (1964b), «Эластостатические задачи с односторонними ограничениями: проблема Синьорини с неоднозначными граничными условиями», Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Рим : Edizioni Cremonese, стр. 613–679. Английский перевод предыдущей статьи.
• Петросян, Аршак; Шахголян, Генрик; Уральцева, Нина (2012), Регулярность свободных границ в задачах типа препятствий , Graduate Studies in Mathematics, т. 136, Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , стр. x+221, ISBN 978-0-8218-8794-3, MR  2962060, Zbl  1254.35001.
• Синьорини, Антонио (1959), «Вопросы нелинейной и полулинейной упругости», Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni , 5 (на итальянском языке), 18 : 95–139, Zbl  0091.38006.

Внешние ссылки

• Барбу, В. (2001) [1994], «Проблема Синьорини», Энциклопедия математики , EMS Press
• Алессио Фигалли, О глобальных однородных решениях проблемы Синьорини,