Задача двух тел

Задача движения в классической механике

Слева: Два тела с одинаковой массой, вращающиеся вокруг общего барицентра, внешнего по отношению к обоим телам, с эллиптическими орбитами . Эта модель типична для двойных звезд .
Справа: Два тела с «небольшой» разницей в массе, вращающиеся вокруг общего барицентра. Их размеры и этот тип орбиты аналогичны системе Плутон–Харон (в которой барицентр является внешним по отношению к обоим телам), а также системе Земля – Луна (в которой барицентр является внутренним по отношению к большему телу).

В классической механике задача двух тел заключается в расчете и прогнозировании движения двух массивных тел, вращающихся вокруг друг друга в пространстве. Задача предполагает, что два тела являются точечными частицами , которые взаимодействуют только друг с другом; единственная сила, действующая на каждый объект, исходит от другого, а все остальные объекты игнорируются.

Наиболее ярким примером классической задачи двух тел является гравитационный случай (см. также задачу Кеплера ), возникающий в астрономии для предсказания орбит (или выхода с орбиты) таких объектов, как спутники , планеты и звезды . Двухточечная модель такой системы почти всегда описывает ее поведение достаточно хорошо, чтобы обеспечить полезные идеи и предсказания.

Более простая модель «одного тела», « проблема центральной силы », рассматривает один объект как неподвижный источник силы, действующей на другой. Затем пытаются предсказать движение единственного оставшегося подвижного объекта. Такое приближение может дать полезные результаты, когда один объект намного массивнее другого (как в случае с легкой планетой, вращающейся вокруг тяжелой звезды, где звезда может рассматриваться как по существу неподвижная).

Однако приближение одного тела обычно не нужно, за исключением случая, когда оно является ступенькой. Для многих сил, включая гравитационные, общая версия задачи двух тел может быть сведена к паре задач одного тела, что позволяет решить ее полностью и дает решение, достаточно простое для эффективного использования.

Напротив, задача трех тел (и, в более общем смысле, задача n тел при n  ≥ 3) не может быть решена в терминах первых интегралов, за исключением особых случаев.

Результаты по известным случаям

Гравитация и другие примеры обратных квадратов

Задача двух тел интересна в астрономии, поскольку пары астрономических объектов часто быстро движутся в произвольных направлениях (поэтому их движения становятся интересными), находятся на большом расстоянии друг от друга (поэтому они не столкнутся) и еще дальше от других объектов (поэтому внешние воздействия будут достаточно малы, чтобы их можно было спокойно игнорировать).

Под действием силы тяжести каждый член пары таких объектов будет вращаться вокруг своего общего центра масс по эллиптической траектории, если только они не движутся достаточно быстро, чтобы полностью избежать друг друга, в этом случае их пути будут расходиться по другим плоским коническим сечениям . Если один объект намного тяжелее другого, он будет двигаться гораздо меньше другого относительно общего центра масс. Общий центр масс может даже находиться внутри большего объекта.

Для вывода решений задачи см. Классическая задача центральной силы или Задача Кеплера .

В принципе, те же самые решения применимы к макроскопическим проблемам, включающим объекты, взаимодействующие не только через гравитацию, но и через любое другое притягивающее скалярное силовое поле , подчиняющееся закону обратных квадратов , причем очевидным физическим примером является электростатическое притяжение . На практике такие проблемы возникают редко. За исключением, возможно, экспериментальных приборов или другого специализированного оборудования, мы редко сталкиваемся с электростатически взаимодействующими объектами, которые движутся достаточно быстро и в таком направлении, чтобы избежать столкновения, и/или которые достаточно изолированы от своего окружения.

Динамическая система двухчастичной системы под действием крутящего момента оказывается уравнением Штурма-Лиувилля . ^[1]

Неприменимость к атомам и субатомным частицам

Хотя модель двух тел рассматривает объекты как точечные частицы, классическая механика применима только к системам макроскопического масштаба. Большинство поведений субатомных частиц невозможно предсказать в рамках классических предположений, лежащих в основе этой статьи, или с использованием приведенной здесь математики.

Электроны в атоме иногда описываются как «вращающиеся» вокруг ядра , следуя ранней гипотезе Нильса Бора (отсюда и термин « орбитальный »). Однако электроны на самом деле не вращаются вокруг ядра в каком-либо осмысленном смысле, и квантовая механика необходима для любого полезного понимания реального поведения электрона. Решение классической задачи двух тел для электрона, вращающегося вокруг атомного ядра, вводит в заблуждение и не дает много полезных идей.

Сведение к двум независимым задачам одного тела

Полную задачу двух тел можно решить, переформулировав ее как две задачи одного тела: тривиальную и ту, которая включает в себя решение для движения одной частицы во внешнем потенциале . Поскольку многие задачи одного тела могут быть решены точно, соответствующая задача двух тел также может быть решена.

Координаты Якоби для задачи двух тел; координаты Якоби равны и с . ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}$ ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\ }$

Пусть x ₁ и x ₂ будут векторными позициями двух тел, а m ₁ и m ₂ будут их массами. Цель состоит в том, чтобы определить траектории x ₁ ( t ) и x ₂ ( t ) для всех моментов времени t , учитывая начальные позиции x ₁ ( t = 0) и x ₂ ( t = 0) и начальные скорости v ₁ ( t = 0) и v ₂ ( t = 0) .

Применительно к двум массам второй закон Ньютона гласит, что

где F ₁₂ — сила, действующая на массу 1 из-за ее взаимодействия с массой 2, а F ₂₁ — сила, действующая на массу 2 из-за ее взаимодействия с массой 1. Две точки над векторами положения x обозначают их вторые производные по времени или векторы ускорения.

Сложение и вычитание этих двух уравнений разделяет их на две однотельные задачи, которые можно решить независимо. Сложение уравнений (1) и ( 2 ) приводит к уравнению, описывающему движение центра масс ( барицентра ). Напротив, вычитание уравнения (2) из ​​уравнения (1) приводит к уравнению, описывающему, как вектор r = x ₁ − x ₂ между массами изменяется со временем. Решения этих независимых однотельных задач можно объединить, чтобы получить решения для траекторий x ₁ ( t ) и x ₂ ( t ) .

Движение центра масс (первая задача одного тела)

Пусть — положение центра масс ( барицентра ) системы. Сложение уравнений сил (1) и (2) дает где мы использовали третий закон Ньютона F ₁₂ = − F ₂₁ и где ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0}$$ $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

Полученное уравнение: показывает, что скорость центра масс постоянна, из чего следует, что полный импульс m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂ также постоянен ( закон сохранения импульса ). Следовательно, положение R ( t ) центра масс может быть определено в любой момент времени из начальных положений и скоростей. $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}=0}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}}$

Движение вектора смещения (вторая задача одного тела)

Разделив оба уравнения сил на соответствующие массы, вычтя второе уравнение из первого и переставив, получаем уравнение, в котором мы снова использовали третий закон Ньютона F ₁₂ = − F ₂₁ и где r — вектор смещения от массы 2 к массе 1, как определено выше. $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}}$$

Сила между двумя объектами, которая возникает в двух объектах, должна быть функцией только их разделения r , а не их абсолютных положений x ₁ и x ₂ ; в противном случае не было бы трансляционной симметрии , и законы физики должны были бы меняться от места к месту. Вычитаемое уравнение, таким образом, можно записать: где - приведенная масса $${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

Решение уравнения для r ( t ) является ключом к задаче двух тел. Решение зависит от удельной силы между телами, которая определяется как . Для случая, когда следует закону обратных квадратов , см. задачу Кеплера . ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$

После определения R ( t ) и r ( t ) можно получить исходные траектории , что можно проверить, подставив определения R и r в правые части этих двух уравнений. $${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {R} (t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {R} (t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$$

Движение двух тел является плоским

Движение двух тел относительно друг друга всегда происходит в плоскости (в системе центра масс ).

Доказательство: Определим импульс p и момент импульса L системы относительно центра масс с помощью уравнений $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \mu {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},}$$

где μ — приведенная масса , а r — относительное положение r ₂ − r ₁ (при этом центр масс записан как начало координат, и, таким образом, оба параллельны r ), скорость изменения момента импульса L равна чистому крутящему моменту N и, используя свойство векторного произведения , что v × w = 0 для любых векторов v и w, указывающих в одном направлении, $${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}\ ,}$$

$${\displaystyle \mathbf {N} \ =\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$$с F = μ  d ² r / dt ² .

Вводя предположение (справедливое для большинства физических сил, поскольку они подчиняются сильному третьему закону движения Ньютона ), что сила между двумя частицами действует вдоль линии между их положениями, следует, что r × F = 0 , а вектор момента импульса L постоянен (сохраняется). Следовательно, вектор смещения r и его скорость v всегда находятся в плоскости, перпендикулярной постоянному вектору L.

Энергия системы двух тел

Если сила F ( r ) консервативна , то система имеет потенциальную энергию U ( r ) , поэтому полную энергию можно записать как $${\displaystyle E_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{1 \over 2}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$

В системе центра масс кинетическая энергия наименьшая, а полная энергия становится Координаты x ₁ и x ₂ можно выразить как и аналогичным образом энергия E связана с энергиями E ₁ и E ₂ , которые по отдельности содержат кинетическую энергию каждого тела: $${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{1}={\frac {\mu }{m_{1}}}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=-{\frac {\mu }{m_{2}}}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}&={\frac {\mu }{m_{1}}}E={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {\mu }{m_{1}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{2}&={\frac {\mu }{m_{2}}}E={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+{\frac {\mu }{m_{2}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{\text{tot}}&=E_{1}+E_{2}\end{aligned}}}$$

Центральные силы

Для многих физических задач сила F ( r ) является центральной силой , т. е. имеет вид где r = | r | и r̂ = r / r — соответствующий единичный вектор . Теперь имеем: где F ( r ) отрицательна в случае силы притяжения. $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$ $${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

Смотрите также

• Энергетический дрейф
• Уравнение центра
• Задача трех тел Эйлера
• орбита Кеплера
• проблема Кеплера
• n- проблема тела
• Задача трех тел
• Теорема вириала

Ссылки

1. Луо, Сивэй (22 июня 2020 г.). «Проблема Штурма-Лиувилля для системы двух тел». Journal of Physics Communications . 4 (6): 061001. Bibcode : 2020JPhCo...4f1001L. doi : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
2. Дэвид Бетунес (2001). Дифференциальные уравнения . Спрингер. п. 58; Рисунок 2.15. ISBN 0-387-95140-7.

Библиография

• Ландау Л.Д .; Лифшиц Э.М. (1976). Механика (3-е изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press . ISBN 0-08-029141-4.
• Goldstein H (1980). Классическая механика (2-е изд.). Нью-Йорк: Addison-Wesley . ISBN 0-201-02918-9.

Внешние ссылки

• Задача двух тел в Мире физики Эрика Вайсштейна