Проблема с номером класса

Нахождение полного списка мнимых квадратичных полей, имеющих заданный номер класса

В математике проблема числа классов Гаусса ( для мнимых квадратичных полей ), как обычно понимается, заключается в том, чтобы предоставить для каждого n  ≥ 1 полный список мнимых квадратичных полей (для отрицательных целых чисел d ), имеющих число классов n . Она названа в честь Карла Фридриха Гаусса . Ее также можно сформулировать в терминах дискриминантов . Существуют связанные вопросы для действительных квадратичных полей и для поведения как . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d\to -\infty }$

Трудность заключается в эффективном вычислении границ: для заданного дискриминанта легко вычислить число классов, и существует несколько неэффективных нижних границ числа классов (имеется в виду, что они включают константу, которая не вычисляется), но эффективные границы (и явные доказательства полноты списков) сложнее.

Первоначальные предположения Гаусса

Задачи поставлены в «Арифметических исследованиях» Гаусса 1801 года (раздел V, статьи 303 и 304). ^[1]

Гаусс обсуждает мнимые квадратичные поля в статье 303, формулируя первые две гипотезы, а действительные квадратичные поля обсуждает в статье 304, формулируя третью гипотезу.

Гипотеза Гаусса (число классов стремится к бесконечности)

${\displaystyle h(d)\to \infty {\text{ as }}d\to -\infty .}$

Задача Гаусса о числах классов (списки чисел низкого класса)

Для заданного низкого номера класса (например, 1, 2 и 3) Гаусс дает списки мнимых квадратичных полей с заданным номером класса и считает их полными.

Бесконечное множество действительных квадратичных полей с классом номер один

Гаусс предполагает, что существует бесконечно много действительных квадратичных полей с классом номер один.

Первоначальная задача Гаусса о числе классов для мнимых квадратичных полей существенно отличается и проще современной формулировки: он ограничился четными дискриминантами и допустил нефундаментальные дискриминанты.

Статус

гипотеза Гаусса

решено, Хайльбронн, 1934.

Списки номеров низкого класса

класс номер 1: решено, Бейкер (1966), Старк (1967), Хегнер (1952).

Класс номер 2: решено, Бейкер (1971), Старк (1971) ^[2]

Класс номер 3: решено, Эстерле (1985) ^[2]

Число классов h до 100: решено, Уоткинс 2004 ^[3]

Бесконечное множество действительных квадратичных полей с классом номер один

Открыть.

Списки дискриминантов класса № 1

Для мнимых квадратичных числовых полей (фундаментальные) дискриминанты класса номер 1 равны:

${\displaystyle d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163.}$

Нефундаментальные дискриминанты класса номер 1:

${\displaystyle d=-12,-16,-27,-28.}$

Таким образом, четные дискриминанты класса номер 1, фундаментальные и нефундаментальные (исходный вопрос Гаусса), равны:

${\displaystyle d=-4,-8,-12,-16,-28.}$

Современные разработки

В 1934 году Ганс Хайльбронн доказал гипотезу Гаусса. Эквивалентно, для любого заданного числа классов существует лишь конечное число мнимых квадратичных числовых полей с этим числом классов.

Также в 1934 году Хайльбронн и Эдвард Линфут показали, что существует не более 10 мнимых квадратичных числовых полей с классом номер 1 (9 известных и не более одного). Результат оказался неэффективным (см. эффективные результаты в теории чисел ): он не давал границ размера оставшегося поля.

В более поздних разработках случай n = 1 впервые обсуждался Куртом Хегнером , который использовал модулярные формы и модулярные уравнения , чтобы показать, что больше такого поля существовать не может. Эта работа изначально не была принята; только с более поздними работами Гарольда Старка и Брайана Бирча (например, по теореме Штарка–Хегнера и числу Хегнера ) позиция была прояснена, а работа Хегнера понята. Практически одновременно Алан Бейкер доказал то, что мы теперь знаем как теорему Бейкера о линейных формах в логарифмах алгебраических чисел , что решило проблему совершенно другим методом. Случай n = 2 был рассмотрен вскоре после этого, по крайней мере в принципе, как приложение работы Бейкера. ^[4]

Полный список мнимых квадратичных полей с классом номер 1 выглядит так, где d — одно из ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle -1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.}$

Общий случай ждал открытия Дориана Голдфельда в 1976 году, что проблема числа классов может быть связана с L -функциями эллиптических кривых . ^[5] Это фактически свело вопрос эффективного определения к вопросу об установлении существования кратного нуля такой L -функции. ^[5] С доказательством теоремы Гросса-Загира в 1986 году полный список мнимых квадратичных полей с заданным числом классов мог быть указан конечным вычислением. Все случаи до n = 100 были вычислены Уоткинсом в 2004 году. ^[3] Число классов для d = 1, 2, 3, ... равно ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})}$

${\displaystyle 1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,1,2,4,2,1,4,1,1,2,4,2,3,2,1,6,1,1,6,4,3,1,...}$(последовательность A202084 в OEIS ).

Действительные квадратичные поля

Контрастный случай действительных квадратичных полей сильно отличается, и о нем известно гораздо меньше. Это потому, что в аналитическую формулу для числа классов входит не h , число классов, само по себе, а h  log  ε , где ε — фундаментальная единица . Этот дополнительный фактор трудно контролировать. Вполне возможно, что число классов 1 для действительных квадратичных полей встречается бесконечно часто.

Эвристики Коэна–Ленстры ^[6] представляют собой набор более точных предположений о структуре групп классов квадратичных полей. Для действительных полей они предсказывают, что около 75,45% полей, полученных присоединением квадратного корня простого числа, будут иметь номер класса 1, что согласуется с вычислениями. ^[7]

Смотрите также

• Список числовых полей с классом номер один

Примечания

1. Stark, HM (2007). "Проблемы с числами классов Гаусса". В Duke, William ; Tschinkel, Yuri (ред.). Аналитическая теория чисел: дань уважения Гауссу и Дирихле (pdf) . Clay Mathematics Proceedings. Том 7. AMS & Clay Mathematics Institute . стр. 247–256. ISBN 978-0-8218-4307-9. Получено 19 декабря 2023 г. .
2. Ireland, K.; Rosen, M. (1993), Классическое введение в современную теорию чисел , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 358–361, ISBN 978-0-387-97329-6
3. Watkins, M. (2004), Числа классов мнимых квадратичных полей, Математика вычислений, т. 73, стр. 907–938, doi : 10.1090/S0025-5718-03-01517-5
4. Бейкер (1990)
5. Goldfeld (1985)
6. Коэн 1993, гл. 5.10.
7. te Riele, Herman; Williams, Hugh (2003). «Новые вычисления, касающиеся эвристики Коэна-Ленстры» (PDF) . Experimental Mathematics . 12 (1): 99–113. doi :10.1080/10586458.2003.10504715. S2CID  10221100.

Ссылки

• Голдфельд, Дориан (июль 1985 г.), «Проблема Гаусса о числе классов для мнимых квадратичных полей» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 13 (1): 23–37, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15352-2
• Хегнер, Курт (1952), «Диофантический анализ и модульные функции», Mathematische Zeitschrift , 56 (3): 227–253, doi : 10.1007/BF01174749, MR  0053135, S2CID  120109035
• Коэн, Анри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел , Берлин: Springer , ISBN 978-3-540-55640-4
• Бейкер, Алан (1990), Трансцендентная теория чисел, Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9, МР  0422171

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Проблема Гаусса с числами классов». MathWorld .