Закон рациональной взаимности

Концепция теории чисел

В теории чисел рациональный закон взаимности — это закон взаимности, включающий символы остатков, которые связаны множителем +1 или –1, а не общим корнем из единицы.

Например, существуют рациональные биквадратичные и октичные законы взаимности . Определим символ ( x | p ) _k как +1, если x является k -й степенью по модулю простого числа p, и -1 в противном случае.

Пусть p и q — различные простые числа, сравнимые с 1 по модулю 4, такие, что ( p | q ) ₂ = ( q | p ) ₂ = +1. Пусть p = a ² + b ² и q = A ² + B ² , где aA нечетно. Тогда

${\displaystyle (p|q)_{4}(q|p)_{4}=(-1)^{(q-1)/4}(aB-bA|q)_{2}\ .}$

Если, кроме того, p и q сравнимы с 1 по модулю 8, пусть p = c ² + 2 d ² и q = C ² + 2 D ² . Тогда

${\displaystyle (p|q)_{8}=(q|p)_{8}=(aB-bA|q)_{4}(cD-dC|q)_{2}\ .}$

Ссылки

• Бурде, К. (1969), «Эйн рациональное биквадратише Reziprozitätsgesetz», Дж. Рейне Ангью. Математика. (на немецком языке), 235 : 175–184, Збл  0169.36902
• Лемер, Эмма (1978), «Рациональные законы взаимности», The American Mathematical Monthly , 85 (6): 467–472, doi :10.2307/2320065, ISSN  0002-9890, JSTOR  2320065, MR  0498352, Zbl  0383.10003
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна, Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag , стр. 153–183, ISBN 3-540-66957-4, MR  1761696, Zbl  0949.11002
• Уильямс, Кеннет С. (1976), «Рациональный восьмеричный закон взаимности», Pacific Journal of Mathematics , 63 (2): 563–570, doi : 10.2140/pjm.1976.63.563 , ISSN  0030-8730, MR  0414467, Zbl  0311.10004