Заметки об основаниях математики ( нем . Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik ) — книгазаметок Людвига Витгенштейна о философии математики . Она была переведена с немецкого на английский Г. Э. М. Анскомбом , отредактирована Г. Х. фон Райтом и Рашем Ризом [1] ивпервые опубликована в 1956 году. Текст был составлен из отрывков из различных источников путем отбора и редактирования. Заметки были написаны в 1937–1944 годах, и несколько отрывков включены в « Философские исследования» , которые были составлены позже.
Когда книга вышла, она получила множество негативных отзывов [2] , в основном от практикующих логиков и математиков, среди которых были Майкл Дамметт , Пол Бернайс и Георг Крайзель . [3] Уничтожительная рецензия Крайзеля привлекла особое внимание, хотя позже он дистанцировался от нее. [4]
Однако в последующие годы он получил более положительные отзывы. [5] [6] Сегодня «Заметки об основаниях математики» читают в основном философы, симпатизирующие Витгенштейну, и они, как правило, занимают более позитивную позицию. [7]
Философия математики Витгенштейна излагается в основном на простых примерах, по которым даются дальнейшие скептические комментарии. Текст предлагает развернутый анализ концепции математического доказательства и исследование утверждения Витгенштейна о том, что философские соображения вносят ложные проблемы в математику. В «Замечаниях» Витгенштейн занимает позицию сомнения в противовес многим ортодоксальным взглядам в философии математики.
Особенно спорным в «Замечаниях» был «печально известный параграф» Витгенштейна, который содержал необычный комментарий к теоремам Гёделя о неполноте . Многие комментаторы считали, что Витгенштейн неправильно понимает Гёделя. В 2000 году Джульет Флойд и Хилари Патнэм предположили, что большинство комментариев неправильно понимают Витгенштейна, но их интерпретация [8] не была встречена с одобрением. [9] [10]
Витгенштейн написал
Я представляю, как кто-то просит моего совета; он говорит: «Я сконструировал предложение (я буду использовать «P» для его обозначения) в символике Рассела, и посредством определенных определений и преобразований его можно интерпретировать так, что оно будет говорить: «P недоказуемо в системе Рассела». Разве я не должен сказать, что это предложение, с одной стороны, истинно, а с другой стороны, недоказуемо? Предположим, что оно ложно; тогда истинно, что оно доказуемо. А этого, конечно, не может быть! И если оно доказано, то доказано, что оно недоказуемо. Таким образом, оно может быть только истинным, но недоказуемым». Так же как мы можем спросить: ««Доказуемое» в какой системе?», мы должны спросить: ««Истинное» в какой системе?» «Истинно в системе Рассела» означает, как было сказано, доказано в системе Рассела, а «ложно» в системе Рассела означает, что противоположное доказано в системе Рассела. — Теперь, что означает ваше «предположим, что оно ложно»? В расселовском смысле это означает «предположим, что противоположное доказано в системе Рассела»; если это ваше предположение, вы теперь, по-видимому, откажетесь от интерпретации, что оно недоказуемо. И под «этой интерпретацией» я понимаю перевод на этот английский язык предложения. — Если вы предполагаете, что предложение доказуемо в системе Рассела, это означает, что оно истинно в расселовском смысле, и от интерпретации «P не доказуемо» снова следует отказаться. Если вы предполагаете, что предложение истинно в расселовском смысле, следует то же самое. Далее: если предложение предполагается ложным в каком-то ином смысле, чем расселовском, то это не противоречит тому, чтобы оно было доказано в системе Рассела. (То, что в шахматах называется «проигрышем», в другой игре может означать победу.) [11]
Дискуссия развернулась вокруг так называемого ключевого утверждения : если предположить, что P доказуемо в PM, то следует отказаться от «перевода» P посредством английского предложения «P не доказуемо».
Витгенштейн не упоминает имя Курта Гёделя , который был членом Венского кружка в период, когда ранняя философия идеального языка Витгенштейна и «Логико-философский трактат» доминировали в мышлении кружка; многочисленные сочинения Гёделя в его Nachlass содержат его собственную антипатию к Витгенштейну и убеждение, что Витгенштейн намеренно неверно истолковал теоремы. [12] Некоторые комментаторы, такие как Ребекка Гольдштейн , выдвинули гипотезу, что Гёдель разработал свои логические теоремы в противовес Витгенштейну. [12]