Запутанность формации

Определение в квантовой теории информации

Запутанность образования — это величина, которая измеряет запутанность двухчастичного квантового состояния . [ ^{1] [2]}

Определение

Для чистого двухчастичного квантового состояния , используя разложение Шмидта , мы видим, что приведенные матрицы плотности систем A и B, и , имеют тот же спектр. Энтропия фон Неймана приведенной матрицы плотности может быть использована для измерения запутанности состояния . Мы обозначаем этот вид меры как , и называем ее энтропией запутанности . Это также известно как запутанность образования чистого состояния. ${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle \rho _{B}}$ ${\displaystyle S(\rho _{A})=S(\rho _{B})}$ ${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}$ ${\displaystyle E_{f}(|\psi \rangle _{AB})=S(\rho _{A})=S(\rho _{B})}$

Для смешанного двудольного состояния естественным обобщением является рассмотрение всех ансамблевых реализаций смешанного состояния. Мы определяем запутанность формирования для смешанных состояний путем минимизации по всем этим ансамблевым реализациям, ${\displaystyle \rho _{AB}}$

${\displaystyle E_{f}(\rho _{AB})=\inf \left\{\sum _{i}p_{i}E_{f}(|\psi _{i}\rangle _{AB})\right\}}$, где инфимум берется по всем возможным способам разложения на чистые состояния . ${\displaystyle \rho _{AB}}$ ${\displaystyle \rho _{AB}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|_{AB}}$

Такого рода расширение величины, определенной на некотором множестве (здесь — чистые состояния), на ее выпуклую оболочку (здесь — смешанные состояния) называется конструкцией выпуклой крыши.

Характеристики

Запутанность формирования количественно определяет, сколько запутанности (измеряемой в эбитах) необходимо в среднем для подготовки состояния. Мера явно совпадает с энтропией запутанности для чистых состояний. Она равна нулю для всех разделимых состояний и ненулевая для всех запутанных состояний. По построению является выпуклой . ${\displaystyle E_{f}}$

Известно, что запутанность формирования является неаддитивной мерой запутанности. ^[3] То есть существуют двусоставные квантовые состояния, такие, что запутанность формирования совместного состояния меньше суммы запутанностей отдельных состояний, т. е. . Обратите внимание, что для других состояний (например, чистых или разделимых состояний) равенство имеет место. ${\displaystyle \rho _{AB},\sigma _{AB}}$ ${\displaystyle \rho _{AB}\otimes \sigma _{AB}}$ ${\displaystyle E_{f}(\rho _{AB}\otimes \sigma _{AB})<E_{f}(\rho _{AB})+E_{f}(\sigma _{AB})}$

Кроме того, было показано, что регуляризованная запутанность формирования равна стоимости запутывания . То есть, для больших запутанность формирования копий состояния, деленная на сходится к стоимости запутывания ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E_{f}(\rho ^{\otimes n})/n=E_{c}(\rho )}$

Неаддитивность, таким образом, подразумевает, что существуют квантовые состояния, для которых существует «оптовая скидка» при их приготовлении из чистых состояний локальными операциями: в среднем дешевле приготовить много состояний вместе, чем каждое из них по отдельности. ${\displaystyle E_{f}}$

Отношение с согласием

Для состояний двух кубитов запутанность формирования тесно связана с согласованностью . Для данного состояния его запутанность формирования связана с его согласованностью : ${\displaystyle \rho _{AB}}$ ${\displaystyle E_{f}(\rho _{AB})}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle E_{f}=h\left({\frac {1+{\sqrt {1-C^{2}}}}{2}}\right)}$

где — функция энтропии Шеннона , ${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle h(x)=-x\log _{2}x-(1-x)\log _{2}(1-x).}$

Ссылки

1. Хилл, Скотт; Вуттерс, Уильям К. (1997-06-30). «Запутывание пары квантовых битов». Physical Review Letters . 78 (26). Американское физическое общество (APS): 5022–5025. arXiv : quant-ph/9703041 . doi : 10.1103/physrevlett.78.5022. ISSN  0031-9007.
2. Wootters, William K. (1998-03-09). «Запутывание формирования произвольного состояния двух кубитов». Physical Review Letters . 80 (10). Американское физическое общество (APS): 2245–2248. arXiv : quant-ph/9709029 . doi : 10.1103/physrevlett.80.2245. ISSN  0031-9007.
3. Городецкий, Рышард; Городецкий, Павел; Городецкий, Михал; Городецкий, Кароль (2009). «Квантовая запутанность». Преподобный Мод. Физ . 81 : 907–908. arXiv : Quant-ph/0702225 . doi : 10.1103/RevModPhys.81.865.
4. Хейден, Патрик М.; Городецки, Михал; Терхал, Барбара М. (200). «Асимптотическая стоимость запутывания при подготовке квантового состояния». J. Phys. A: Math. Gen. 34 ( 35): 6891–6898. arXiv : quant-ph/0008134 . doi :10.1088/0305-4470/34/35/314.