Иерархия BBGKY

Набор уравнений, описывающих динамику системы многих взаимодействующих частиц.

В статистической физике иерархия BBGKY ( иерархия Боголюбова–Борна–Грина–Кирквуда–Ивона , иногда называемая иерархией Боголюбова ) представляет собой набор уравнений, описывающих динамику системы большого числа взаимодействующих частиц. Уравнение для функции распределения s -частиц (функции плотности вероятности) в иерархии BBGKY включает в себя функцию распределения ( s  + 1)-частиц, образуя таким образом связанную цепочку уравнений. Этот формальный теоретический результат назван в честь Николая Боголюбова , Макса Борна , Герберта С. Грина , Джона Гэмбла Кирквуда и Жака Ивона  [фр] .

Формулировка

Эволюция системы из N частиц в отсутствие квантовых флуктуаций задается уравнением Лиувилля для функции плотности вероятности в 6 N -мерном фазовом пространстве (3 пространственных и 3 импульсных координаты на частицу) ${\displaystyle f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0,}$

где — положение и импульс для -й частицы с массой , а результирующая сила, действующая на -ю частицу, равна ${\displaystyle \mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-{\frac {\partial \Phi _{i}^{\text{ext}}}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$

где - парный потенциал взаимодействия между частицами, а - потенциал внешнего поля. Интегрированием по части переменных уравнение Лиувилля можно преобразовать в цепочку уравнений, где первое уравнение связывает эволюцию одночастичной функции плотности вероятности с двухчастичной функцией плотности вероятности, второе уравнение связывает двухчастичную функцию плотности вероятности с трехчастичной функцией плотности вероятности, и в общем случае s - е уравнение связывает s -частичную функцию плотности вероятности ${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})}$ ${\displaystyle \Phi ^{\text{ext}}(\mathbf {q} _{i})}$

${\displaystyle f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)=\int f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)\,d\mathbf {q} _{s+1}\dots d\mathbf {q} _{N}\,d\mathbf {p} _{s+1}\dots d\mathbf {p} _{N}}$

с функцией плотности вероятности ( s  + 1)-частицы:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {\frac {\partial \Phi _{i\,s+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}{\frac {\partial f_{s+1}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\,d\mathbf {q} _{s+1}\,d\mathbf {p} _{s+1}.}$

Уравнение выше для функции распределения s -частиц получено путем интегрирования уравнения Лиувилля по переменным . Проблема с уравнением выше заключается в том, что оно не замкнуто. Чтобы решить , нужно знать , что в свою очередь требует решения и всего пути назад к полному уравнению Лиувилля. Однако можно решить , если можно было бы смоделировать. Одним из таких случаев является уравнение Больцмана для , где моделируется на основе гипотезы молекулярного хаоса ( Stosszahlansatz ). Фактически, в уравнении Больцмана есть интеграл столкновений. Этот предельный процесс получения уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля известен как предел Больцмана–Града. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {q} _{s+1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{s+1}\dots \mathbf {p} _{N}}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f_{s+1}}$ ${\displaystyle f_{s+2}}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f_{s+1}}$ ${\displaystyle f_{1}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1},t)}$ ${\displaystyle f_{2}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},t)}$ ${\displaystyle f_{2}=f_{2}(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p_{2}} ,t)}$

Физическая интерпретация и приложения

Схематически уравнение Лиувилля дает нам временную эволюцию для всей системы -частиц в форме , которая выражает несжимаемый поток плотности вероятности в фазовом пространстве. Затем мы определяем редуцированные функции распределения пошагово, интегрируя степени свободы другой частицы . Уравнение в иерархии BBGKY говорит нам, что временная эволюция для такой , следовательно, задается уравнением типа Лиувилля, но с поправочным членом, который представляет собой влияние силы подавленных частиц ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Df_{N}=0}$ ${\textstyle f_{s}\sim \int f_{s+1}}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle N-s}$

${\displaystyle Df_{s}\propto {\text{div}}_{\mathbf {p} }\langle {\text{grad}}_{\mathbf {q} }\Phi _{i,s+1}\rangle _{f_{s+1}}.}$

Проблема решения иерархии уравнений BBGKY так же сложна, как и решение исходного уравнения Лиувилля, но приближения для иерархии BBGKY (которые позволяют усечение цепочки в конечную систему уравнений) могут быть легко сделаны. Достоинство этих уравнений в том, что высшие функции распределения влияют на временную эволюцию только неявно через Усечение цепочки BBGKY является общей отправной точкой для многих приложений кинетической теории, которые могут быть использованы для вывода классических ^{[2] [3]} или квантовых ^[4] кинетических уравнений. В частности, усечение в первом уравнении или первых двух уравнениях может быть использовано для вывода классических и квантовых уравнений Больцмана и поправок первого порядка к уравнениям Больцмана. Другие приближения, такие как предположение о том, что функция вероятности плотности зависит только от относительного расстояния между частицами, или предположение о гидродинамическом режиме, также могут сделать цепочку BBGKY доступной для решения. ^[5] ${\displaystyle f_{s+2},f_{s+3},\dots }$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f_{s+1}.}$

Библиография

Функции распределения s -частиц были введены в классическую статистическую механику Ж. Ивоном в 1935 г. ^[6] Иерархия уравнений Боголюбова для функций распределения s -частиц была выписана и применена к выводу кинетических уравнений Боголюбовым в статье, полученной в июле 1945 г. и опубликованной в 1946 г. на русском языке ^[2] и на английском языке. ^[3] Кинетическая теория переноса была рассмотрена Кирквудом в статье ^[7], полученной в октябре 1945 г. и опубликованной в марте 1946 г., и в последующих статьях. ^[8] Первая статья Борна и Грина рассматривала общую кинетическую теорию жидкостей и была получена в феврале 1946 г. и опубликована 31 декабря 1946 г. ^[9]

Смотрите также

• Уравнение Фоккера–Планка
• Уравнение Власова
• Подход к расширению кластера

Ссылки

1. Гарольд Град (1949). О кинетической теории разреженных газов. Сообщения по чистой и прикладной математике, 2(4), 331–407.
2. НН Боголюбов (1946). «Кинетические уравнения». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 16 (8): 691–702.
3. НН Боголюбов (1946). «Кинетические уравнения». Физический журнал СССР . 10 (3): 265–274.
4. Н. Н. Боголюбов , К. П. Гуров (1947). «Кинетические уравнения в квантовой механике». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 17 (7): 614–628.
5. Харрис, С. (2004). Введение в теорию уравнения Больцмана. Courier Corporation.
6. Дж. Ивон (1935): La théorie statistique des Fluides et l'équation d'état (на французском языке), Actual. наук. & Промышленность. № 203 (Париж, Герман).
7. Джон Г. Кирквуд (март 1946 г.). «Статистическая механическая теория процессов переноса I. Общая теория». Журнал химической физики . 14 (3): 180–201. Bibcode : 1946JChPh..14..180K. doi : 10.1063/1.1724117.
8. Джон Г. Кирквуд (январь 1947 г.). «Статистическая механическая теория процессов переноса II. Перенос в газах». Журнал химической физики . 15 (1): 72–76. Bibcode : 1947JChPh..15...72K. doi : 10.1063/1.1746292.
9. M. Born и HS Green (31 декабря 1946 г.). «Общая кинетическая теория жидкостей I. Молекулярные функции распределения». Proc. R. Soc. A. 188 ( 1012): 10–18. Bibcode : 1946RSPSA.188...10B. doi : 10.1098/rspa.1946.0093 . PMID  20282515.