Изотоксальная фигура

Многогранник или мозаика с одним типом ребра

В геометрии многогранник (например, многоугольник или многогранник ) или мозаика является изотоксальной (от греч. τόξον «  дуга») или рёберно-транзитивной , если его симметрии действуют транзитивно на его рёбрах . Неформально это означает, что у объекта есть только один тип рёбер: если даны два рёбра, то существует трансляция , вращение и/или отражение , которые переместят одно ребро к другому, оставляя область, занимаемую объектом, неизменной.

Изотоксальные полигоны

Изотоксальный многоугольник - это четный многоугольник, т.е. равносторонний многоугольник , но не все равносторонние многоугольники изотоксальны. Двойственные изотоксальным многоугольникам многоугольники - это изогональные многоугольники . Изотоксальные -гоны центрально симметричны , поэтому также являются зоногонами . ${\displaystyle 4n}$

В общем случае (неправильный) изотоксальный -угольник имеет двугранную симметрию . Например, (неквадратный) ромб является изотоксальным " × -угольником" (четырехугольником) с симметрией. Все правильные -угольники (также с нечетным ) являются изотоксальными, имея двойной минимальный порядок симметрии: правильный -угольник имеет двугранную симметрию. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{2},(^{*}22)}$ ${\displaystyle {\color {royalblue}n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$

Изотоксальный -угольник с внешним внутренним углом можно обозначить как Внутренний внутренний угол может быть меньше или больше, что делает многоугольники выпуклыми или вогнутыми соответственно. ${\displaystyle {\mathbf {2}}n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{n_{\alpha }\}.}$ ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle 180}$ ${\displaystyle {\color {royalblue}^{\mathsf {o}}},}$

Звездчатый треугольник ${\displaystyle {\color {royalblue}{\mathbf {2}}n}}$ также может быть изотоксальным, обозначаемым с и с наибольшим общим делителем, где - число поворотов или плотность . ^[1] Вогнутые внутренние вершины могут быть определены для Если то "сводится" к соединению повернутых копий ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\},}$ ${\displaystyle q\leq n-1}$ ${\displaystyle \gcd(n,q)=1,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q<n/2.}$ ${\displaystyle D=\gcd(n,q)\geq 2,}$ ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle D\{(m/p)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{(m/p)_{\alpha }\}.}$

Осторожность:

Вершины не всегда размещены так же, как вершины , тогда как вершины правильного многогранника размещены так же, как вершины правильного многогранника ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{n_{\alpha }\},}$ ${\displaystyle \{n/q\}}$ ${\displaystyle \{n\}.}$

Можно определить набор «однородных» мозаик , на самом деле изогональных мозаик, использующих изотоксальные многоугольники в качестве менее симметричных граней, чем правильные.

Изотоксальные многогранники и мозаики

Правильные многогранники бывают равногранными (гране-транзитивными), равноугольными (вершинно-транзитивными) и равноугольными (ребро-транзитивными).

Квазиправильные многогранники, такие как кубооктаэдр и икосододекаэдр , являются изогональными и изотоксальными, но не изоэдральными. Их двойственные, включая ромбододекаэдр и ромботриаконтаэдр , являются изоэдральными и изотоксальными, но не изогональными.

Не каждый многогранник или двумерная мозаика, построенная из правильных многоугольников, является изотоксальной. Например, усеченный икосаэдр (знакомый футбольный мяч) не является изотоксальной, поскольку имеет два типа ребер: шестиугольник-шестиугольник и шестиугольник-пятиугольник, и симметрия тела не может переместить ребро шестиугольник-шестиугольник на ребро шестиугольник-пятиугольник.

Изотоксальный многогранник имеет одинаковый двугранный угол для всех ребер.

Двойственный выпуклому многограннику многогранник также является выпуклым многогранником. ^[2]

Двойственный многогранник невыпуклого многогранника также является невыпуклым многогранником. ^[2] (По принципу противопоставления.)

Двойственный многогранник изотоксального многогранника также является изотоксальным многогранником. (См. статью Двойственный многогранник .)

Существует девять выпуклых изотоксальных многогранников: пять ( правильных ) Платоновых тел , два ( квазиправильных ) общих ядра двойственных Платоновых тел и два их двойственных.

Существует четырнадцать невыпуклых изотоксальных многогранников: четыре (правильных) многогранника Кеплера–Пуансо , два (квазиправильных) общих ядра двойственных многогранников Кеплера–Пуансо и два их двойственных, а также три квазиправильных дитригональных (3 | pq ) звездчатых многогранника и три их двойственных.

Существует по крайней мере пять изотоксальных полиэдрических соединений: пять правильных полиэдрических соединений ; их пять дуальных соединений также являются пятью правильными полиэдрическими соединениями (или одним хиральным близнецом).

Существует по крайней мере пять изотоксальных многоугольных мозаик евклидовой плоскости и бесконечно много изотоксальных многоугольных мозаик гиперболической плоскости, включая конструкции Витхоффа из правильных гиперболических мозаик { p , q } и неправильных ( pqr ) групп.

Смотрите также

• Таблица двугранных углов многогранника
• Вершинно-транзитивный
• Лицо-транзитивный
• Клеточно-транзитивный

Ссылки

1. Мозаики и узоры , Бранко Грюнбаум, GC Shephard, 1987, 2.5 Мозаики с использованием звездчатых многоугольников, стр. 82–85.
2. "двойственность". maths.ac-noumea.nc . Получено 2020-09-30 .

• Питер Р. Кромвель, Многогранники , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-55432-2 , Транзитивность, стр. 371 
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Tilings and Patterns . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(6.4 Изотоксальные мозаики, стр. 309–321)
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, М.С.; Миллер, JCP (1954), «Однородные многогранники», Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A. Математические и физические науки , 246 (916): 401–450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C, doi : 10.1098/rsta.1954.0003, ISSN  0080-4614, JSTOR  91532, MR  0062446, S2CID  202575183