Изотропная линия

В геометрии квадратичных форм изотропная линия или нулевая линия — это линия , для которой квадратичная форма, примененная к вектору смещения между любой парой ее точек, равна нулю. Изотропная линия встречается только при изотропной квадратичной форме и никогда при определенной квадратичной форме .

Используя сложную геометрию , Эдмон Лагерр первым предположил существование двух изотропных линий, проходящих через точку ( α , β ) , которые зависят от мнимой единицы $i$ : ^[1]

Первая система:

(y-\beta)=(x-\alpha)i,

Вторая система:

(y-\beta) = -i (x-\alpha).

Лагер затем интерпретировал эти линии как геодезические :

Существенным свойством изотропных линий, которое можно использовать для их определения, является следующее: расстояние между любыми двумя точками изотропной линии, расположенными на конечном расстоянии в плоскости, равно нулю. Другими словами, эти линии удовлетворяют дифференциальному уравнению d s ² = 0 . На произвольной поверхности можно изучать кривые, удовлетворяющие этому дифференциальному уравнению; эти кривые являются геодезическими линиями поверхности, и мы также называем их изотропными линиями . ^[1]^{: 90}

На комплексной проективной плоскости точки изображаются однородными координатами , а линии — однородными координатами . Изотропная линия в комплексной проективной плоскости удовлетворяет уравнению: ^[2] $(x_{1},x_{2},x_{3})$ $(a_{1},a_{2},a_{3})$

a_{3}(x_{2}\pm ix_{1})=(a_{2}\pm ia_{1})x_{2}.

В терминах аффинного подпространства x ₃ = 1 изотропная линия, проходящая через начало координат, равна

x_{2}=\pm ix_{1}.

В проективной геометрии изотропные линии — это линии, проходящие через круговые точки на бесконечности .

В реальной ортогональной геометрии Эмиля Артина изотропные линии встречаются парами:

Неособая плоскость, содержащая изотропный вектор, называется гиперболической плоскостью . Его всегда можно натянуть парой N, M векторов, удовлетворяющих условиям

N^{2}\ =\ M^{2}\ =\ 0,\quad NM\ =\ 1\ .

Любую такую упорядоченную пару N, M будем называть гиперболической парой. Если V — неособая плоскость с ортогональной геометрией и N ≠ 0 — изотропный вектор V , то существует ровно один M в V такой, что N, M — гиперболическая пара. Тогда векторы x N и y M являются единственными изотропными векторами V . ^[3]

относительность

Изотропные линии использовались в космологической письменности для переноса света. Например, в математической энциклопедии свет состоит из фотонов : « Мировая линия нулевой массы покоя (типа неквантовой модели фотона и других элементарных частиц с нулевой массой) является изотропной линией». ^[4] Для изотропных линий, проходящих через начало координат, конкретная точка является нулевым вектором , а совокупность всех таких изотропных линий образует световой конус в начале координат.

Эли Картан расширил концепцию изотропных линий до мультивекторов в своей книге о спинорах в трех измерениях . ^[5]

Изотропная линия

относительность

Рекомендации