Индикатриса Дюпена

Метод определения локальной формы поверхности

Индикатриса Дюпена для гиперболической точки. Вы можете использовать свое воображение для случаев параболических и эллиптических точек.

В дифференциальной геометрии индикатриса Дюпена — метод описания локальной формы поверхности . Нарисуйте плоскость, параллельную касательной плоскости и на небольшом расстоянии от нее. Рассмотрим пересечение поверхности с этой плоскостью. Форма пересечения связана с гауссовой кривизной . Индикатриса Дюпена является результатом предельного процесса при приближении плоскости к касательной плоскости. Индикатриса была введена Шарлем Дюпеном .

Эквивалентно, можно построить индикатрису Дюпена в точке p , сначала повернув и переместив поверхность так, чтобы p находилась в начале координат, а касательная плоскость была плоскостью xy . Теперь контурный график поверхности представляет собой индикатрисы Дюпена.

На этом рисунке мы видим 5 индикатрис Дюпена. Четыре из них имеют эллиптическую форму (две для вершин, две для котловин, но обе вершины и впадины представляют собой эллиптические точки), а одна - гиперболическая («горный перевал» в центре).

Классификация

Для эллиптических точек, где гауссова кривизна положительна, пересечение будет либо пустым, либо образует замкнутую кривую. В пределе эта кривая образует эллипс , совпадающий с главными направлениями . Линии кривизны составляют большую и малую оси эллипса.

В частности, индикатрисой точки пуповины является окружность.

Для гиперболических точек, где гауссова кривизна отрицательна, пересечение образует гиперболу . По обе стороны от касательной плоскости образуются две разные гиперболы. Эти гиперболы имеют одну и ту же ось и асимптоты. Направления асимптот совпадают с асимптотическими направлениями .

В частности, индикатриса каждой точки на минимальной поверхности представляет собой две линии, пересекающиеся под прямым углом, каждая из которых составляет угол 45 градусов с двумя линиями кривизны .

Для параболических точек, где гауссова кривизна равна нулю, пересечение образует две параллельные линии. Направление этих двух линий такое же, как и асимптотические направления .

В частности, индикатриса каждой точки развертывающейся поверхности представляет собой пару прямых, параллельных образующей .

Для более сложных случаев, когда все производные второй степени равны нулю, а производные более высокой степени не равны нулю, индикатриса Дюпена является более сложной. Например, седло обезьяны имеет индикатрису Дюпена в форме шестиконечной гиперболы.

Седло обезьяны имеет шестиконечную гиперболу в качестве индикатрисы Дюпена.

Еще один вид седла обезьяны, на этот раз показывающий пересечение плоскости с седлом и их пересечение — индикатрису Дюпена. Обратите внимание, что это седло обезьяны несколько нетрадиционно, так как оно имеет три «вершины», хотя оно сделало бы седло более удобным, но не меняет общую форму индикатрисы Дюпена.

Смотрите также

• Теорема Эйлера (дифференциальная геометрия)

Рекомендации

• Эйзенхарт, Лютер П. (2004), Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхностей , Дувр, ISBN 0486438201Полный текст 1909 года (права защищены авторскими правами)