Инерционная волна

Экваториальный импульс инерционной волны вызывал движение жидкости внутри равномерно вращающейся сферической камеры. Стрелки на этом поперечном сечении показывают направление и силу потока в экваториальной плоскости, поскольку сфера продолжает вращаться по часовой стрелке вокруг своей оси, показанной слева. Красный цвет указывает на выход потока из самолета; синий цвет указывает на поток в плоскость.

Инерционные волны , также известные как инерционные колебания , представляют собой тип механических волн , возможных во вращающихся жидкостях . В отличие от поверхностных гравитационных волн, которые обычно наблюдаются на пляже или в ванне, инерционные волны текут внутри жидкости, а не на поверхности. Как и любой другой вид волны, инерционная волна вызывается восстанавливающей силой и характеризуется длиной волны и частотой . Поскольку восстанавливающей силой для инерционных волн является сила Кориолиса , их длины волн и частоты связаны своеобразным образом. Инерционные волны поперечные . Чаще всего они наблюдаются в атмосферах, океанах, озерах и в лабораторных экспериментах. Волны Россби , геострофические течения и геострофические ветры являются примерами инерционных волн. Инерционные волны также могут существовать в расплавленном ядре вращающейся Земли .

Восстановление силы

Инерционные волны восстанавливаются в равновесие силой Кориолиса в результате вращения. Если быть точным, то сила Кориолиса возникает (наряду с центробежной силой ) во вращающейся системе отсчета, чтобы объяснить тот факт, что такая система всегда ускоряется. Поэтому инерционные волны не могут существовать без вращения. Более сложная, чем натяжение струны, сила Кориолиса действует под углом 90° к направлению движения, и ее сила зависит от скорости вращения жидкости. Эти два свойства приводят к своеобразным характеристикам инерционных волн.

Характеристики

Инерционные волны возможны только тогда, когда жидкость вращается, и существуют в объеме жидкости, а не на ее поверхности. Как и световые волны, инерционные волны поперечны , а это означает, что их колебания происходят перпендикулярно направлению движения волны. Одной из особенностей геометрической характеристики инерционных волн является то, что их фазовая скорость , которая описывает движение гребней и впадин волны , перпендикулярна их групповой скорости , которая является мерой распространения энергии.

Если возможна звуковая волна или электромагнитная волна любой частоты, то инерционные волны могут существовать только в диапазоне частот от нуля до удвоенной скорости вращения жидкости. Более того, частота волны определяется направлением ее движения. Волны, распространяющиеся перпендикулярно оси вращения, имеют нулевую частоту и иногда называются геострофическими модами. Волны, распространяющиеся параллельно оси, имеют максимальную частоту (в два раза превышающую скорость вращения), а волны под промежуточными углами имеют промежуточные частоты. В свободном пространстве инерционная волна может существовать на любой частоте от 0 до удвоенной скорости вращения. Однако закрытый контейнер может налагать ограничения на возможные частоты инерционных волн, как и для любого типа волн. Инерционные волны в закрытом сосуде часто называют инерционными модами . Например, в сфере инерционные моды вынуждены принимать дискретные частоты, оставляя промежутки, где не могут существовать никакие моды.

Примеры инерционных волн

Инерционные волны может поддерживать любая жидкость: вода, нефть, жидкие металлы, воздух и другие газы. Инерционные волны наблюдаются чаще всего в планетных атмосферах ( волны Россби , геострофические ветры ), а также в океанах и озерах ( геострофические течения ), где они ответственны за большую часть происходящего перемешивания. Инерционные волны, на которые воздействует наклон дна океана, часто называют волнами Россби . Инерционные волны можно наблюдать в лабораторных экспериментах или в промышленных потоках, где вращается жидкость. Инерционные волны также, вероятно, существуют в жидком внешнем ядре Земли, и по крайней мере одна группа [1] заявила о наличии доказательств их существования. Точно так же инерционные волны вероятны во вращающихся астрономических потоках, таких как звезды , аккреционные диски , планетарные кольца и галактики .

Математическое описание

Поток жидкости определяется уравнением Навье-Стокса для импульса. Скорость потока жидкости, обладающей вязкостью под давлением и вращающейся со скоростью, изменяется со временем по закону ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}P+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}-2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}.}$

Первый член справа учитывает давление, второй — вязкую диффузию, а третий (последний) член в правой части уравнения количества движения (выше) — это член Кориолиса.

Точнее, это скорость потока, наблюдаемая во вращающейся системе отсчета. Поскольку вращающаяся система отсчета является ускоряющейся (т.е. неинерциальная система отсчета), в результате этого преобразования координат возникают две дополнительные (псевдо) силы (как упоминалось выше): центробежная сила и сила Кориолиса. В приведенном выше уравнении центробежная сила включена как часть обобщенного давления , то есть связана с обычным давлением , в зависимости от расстояния от оси вращения , соотношением ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle P=p+{\frac {1}{2}}\rho r^{2}\Omega ^{2}.}$

В случае, когда скорость вращения велика, сила Кориолиса и центробежная сила становятся большими по сравнению с другими членами. Поскольку диффузия и «конвективная производная» (второй член слева) малы по сравнению с ними, их можно исключить. Взяв завиток обеих сторон и применив несколько векторных тождеств, результат:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}.}$

Одним из классов решений этого уравнения являются волны, удовлетворяющие двум условиям. Во-первых, если волновой вектор , ${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {k}}=0,}$

то есть волны должны быть поперечными, как говорилось выше. Во-вторых, решения должны иметь частоту , удовлетворяющую дисперсионному соотношению ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },}$

где – угол между осью вращения и направлением волны. Эти конкретные решения известны как инерционные волны. ${\displaystyle \theta }$

Дисперсионное соотношение очень похоже на член Кориолиса в уравнении количества движения — обратите внимание на скорость вращения и коэффициент два. Отсюда сразу следует диапазон возможных частот инерционных волн, а также зависимость их частоты от направления.

дальнейшее чтение

• Олдридж, К.Д.; И. Ламб (1987). «Инерционные волны, обнаруженные во внешнем жидком ядре Земли». Природа . 325 (6103): 421–423. Бибкод : 1987Natur.325..421A. дои : 10.1038/325421a0. S2CID  4312055.
• Гринспен, HP (1969). Теория вращающихся жидкостей . Издательство Кембриджского университета.
• Ландау, Л.Д.; Э. М. Лифшиц (1987). Механика жидкости, второе издание . Нью-Йорк: Эльзевир. ISBN 978-0-7506-2767-2.