Интегральная формула Шварца

В комплексном анализе , разделе математики, интегральная формула Шварца , названная в честь Германа Шварца , позволяет восстановить голоморфную функцию с точностью до мнимой константы по граничным значениям ее действительной части.

Диск блока

Пусть f — функция, голоморфная на замкнутом единичном круге { z  ∈  C  | | z | ≤ 1}. Тогда

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|\zeta |=1}{\frac {\zeta +z}{\zeta -z}}\operatorname {Re} (f(\zeta ))\,{\frac {d\zeta }{\zeta }}+i\operatorname {Im} (f(0))}$

для всех | z | < 1.

Верхняя полуплоскость

Пусть f — функция, голоморфная на замкнутой верхней полуплоскости { z  ∈  C  | Im( z ) ≥ 0}, такая, что для некоторого α  > 0, | z ^α  f ( z )| ограничена на замкнутой верхней полуплоскости. Тогда

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\zeta ,0)}{\zeta -z}}\,d\zeta ={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\operatorname {Re} (f)(\zeta +0i)}{\zeta -z}}\,d\zeta }$

для всех Im( z ) > 0.

Обратите внимание, что по сравнению с версией на единичном круге эта формула не имеет произвольной константы, добавленной к интегралу; это связано с тем, что дополнительное условие затухания делает условия для этой формулы более строгими.

Следствие интегральной формулы Пуассона

Формула следует из интегральной формулы Пуассона, примененной к  u : ^{[1] [2]}

${\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(e^{i\psi })\operatorname {Re} {e^{i\psi }+z \over e^{i\psi }-z}\,d\psi \qquad {\text{for }}|z|<1.}$

С помощью конформных отображений формулу можно обобщить на любое односвязное открытое множество.

Примечания и ссылки

1. Лекции по целым функциям , стр. 9, в Google Books
2. Вывод без обращения к формуле Пуассона можно найти по адресу: https://planetmath.org/schwarzandpoissonformulas Архивировано 24.12.2021 на Wayback Machine

• Альфорс, Ларс В. (1979), Комплексный анализ , третье издание, McGraw-Hill, ISBN  0-07-085008-9
• Реммерт, Рейнхольд (1990), Теория комплексных функций , второе издание, Springer, ISBN 0-387-97195-5 
• Сафф, Э.Б. и А.Д. Снайдер (1993), Основы комплексного анализа для математики, науки и техники , второе издание, Prentice Hall, ISBN 0-13-327461-6