Распределение Ирвина – Холла

Распределение вероятностей

В теории вероятности и статистике распределение Ирвина -Холла , названное в честь Джозефа Оскара Ирвина и Филипа Холла , представляет собой распределение вероятностей для случайной величины , определяемой как сумма ряда независимых случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение . ^[1] По этой причине его также называют равномерным распределением суммы .

Генерация псевдослучайных чисел , имеющих приблизительно нормальное распределение , иногда осуществляется путем вычисления суммы ряда псевдослучайных чисел, имеющих равномерное распределение; обычно ради простоты программирования. Изменение масштаба распределения Ирвина – Холла обеспечивает точное распределение генерируемых случайных величин.

Это распределение иногда путают с распределением Бейтса , которое представляет собой среднее значение (не сумму ) n независимых случайных величин, равномерно распределенных от 0 до 1.

Определение

Распределение Ирвина – Холла представляет собой непрерывное распределение вероятностей для суммы n независимых и одинаково распределенных U (0, 1) случайных величин:

${\displaystyle X=\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}$

Функция плотности вероятности (pdf) для определяется выражением ${\displaystyle 0\leq x\leq n}$

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)_{+}^{n-1}}$

где обозначает положительную часть выражения: ${\displaystyle (x-k)_{+}}$

${\displaystyle (x-k)_{+}={\begin{cases}x-k&x-k\geq 0\\0&x-k<0.\end{cases}}}$

Таким образом, PDF представляет собой сплайн (кусочно-полиномиальную функцию) степени n  - 1 по узлам 0, 1,..., n . Фактически, для x между узлами, расположенными в точках k и k + 1, PDF равен

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n)x^{j}}$

где коэффициенты a _j ( k , n ) могут быть найдены из рекуррентного соотношения над k

${\displaystyle a_{j}(k,n)={\begin{cases}1&k=0,j=n-1\\0&k=0,j<n-1\\a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{n \choose k}{{n-1} \choose j}k^{n-j-1}&k>0\end{cases}}}$

Коэффициенты также A188816 в OEIS . Коэффициенты кумулятивного распределения: A188668.

Среднее значение и дисперсия равны n /2 и n /12 соответственно.

Особые случаи

• Для n = 1 X следует равномерному распределению :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}1&0\leq x\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

• Для n = 2 X следует треугольному распределению :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}x&0\leq x\leq 1\\2-x&1\leq x\leq 2\end{cases}}}$

• Для n = 3,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{2}}(-2x^{2}+6x-3)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{2}}(3-x)^{2}&2\leq x\leq 3\end{cases}}}$

• Для n = 4,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x^{3}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{6}}(-3x^{3}+12x^{2}-12x+4)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{6}}(3x^{3}-24x^{2}+60x-44)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{6}}(4-x)^{3}&3\leq x\leq 4\end{cases}}}$

• Для n = 5,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}x^{4}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+20x^{3}-30x^{2}+20x-5)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{24}}(6x^{4}-60x^{3}+210x^{2}-300x+155)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+60x^{3}-330x^{2}+780x-655)&3\leq x\leq 4\\{\frac {1}{24}}(5-x)^{4}&4\leq x\leq 5\end{cases}}}$

Аппроксимация нормального распределения

Согласно Центральной предельной теореме , по мере увеличения n распределение Ирвина-Холла все более и более сильно приближается к нормальному распределению со средним значением и дисперсией . Чтобы аппроксимировать стандартное нормальное распределение , распределение Ирвина-Холла можно центрировать, сместив его на среднее значение n/2 и масштабируя результат на квадратный корень его дисперсии: ${\displaystyle \mu =n/2}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=n/12}$ ${\displaystyle \phi (x)={\mathcal {N}}(\mu =0,\sigma ^{2}=1)}$

${\displaystyle \phi (x){\overset {n\gg 0}{\approx }}{\sqrt {\frac {n}{12}}}f_{X}\left(x{\sqrt {\frac {n}{12}}}+{\frac {n}{2}};n\right)}$

Этот вывод приводит к простой в вычислительном отношении эвристике, которая удаляет квадратный корень, в результате чего стандартное нормальное распределение может быть аппроксимировано суммой 12 равномерных рисунков U(0,1) следующим образом:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{12}U_{k}-6\sim f_{X}(x+6;12)\mathrel {\dot {\sim }} \phi (x)}$

Похожие и родственные дистрибутивы

Распределение Ирвина-Холла похоже на распределение Бейтса , но в качестве параметра по-прежнему используются только целые числа. Расширение до вещественнозначных параметров возможно путем добавления также случайной однородной переменной с шириной N - trunc( N ).

Расширения распределения Ирвина – Холла

При использовании метода Ирвина-Холла для подбора данных одна проблема заключается в том, что IH не очень гибок, поскольку параметр n должен быть целым числом. Однако вместо суммирования n равных равномерных распределений мы могли бы также добавить, например, U + 0,5 U , чтобы рассмотреть также случай n = 1,5 (давая трапециевидное распределение ).

Распределение Ирвина-Холла имеет применение для формирования диаграммы направленности и синтеза диаграммы направленности, как показано на рисунке 1 из ссылки ^{[2] [3].}

Смотрите также

• Распределение Бейтса
• Нормальное распределение
• Центральная предельная теорема
• Равномерное распределение (непрерывное)
• Треугольное распределение

Примечания

1. Джонсон, Нидерланды; Коц, С.; Балакришнан, Н. (1995) Непрерывные одномерные распределения , Том 2, 2-е издание, Wiley ISBN  0-471-58494-0 (раздел 26.9)
2. «Поведение боковых лепестков и характеристики полосы пропускания распределенных антенных решеток». Январь 2018 г. стр. 1–2.
3. https://www.usnc-ursi-archive.org/nrsm/2018/papers/B15-9.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}

Рекомендации

• Холл, Филип . (1927) «Распределение средних значений для выборок размера N, взятых из совокупности, в которой переменная принимает значения от 0 до 1, причем все такие значения равновероятны». Биометрика , Том. 19, № 3/4., стр. 240–245. doi : 10.1093/biomet/19.3-4.240 JSTOR  2331961
• Ирвин, Дж. О. (1927) «О частотном распределении средних выборок из популяции, имеющей любой закон частоты с конечными моментами, с особым упором на тип II Пирсона». Биометрика , Том. 19, № 3/4., стр. 225–239. doi : 10.1093/biomet/19.3-4.225 JSTOR  2331960