двойственность Исбелла

Двойственность — это присоединение между категорией co/presheaf в рамках вложения co/Yoneda.

Сопряжённость Исбелла (также известная как двойственность Исбелла или присоединение Исбелла ) (названная в честь Джона Р. Исбелла ^{[1] [2]} ) является фундаментальной конструкцией обогащённой теории категорий, формально представленной Уильямом Ловером в 1986 году. ^{[3] [4]} Это двойственность между ковариантными и контравариантными представимыми предпучками , связанными с объектами категорий при вложении Йонеды. ^{[5] [6]} Кроме того, Ловер ^[7] утверждает следующее: «Тогда сопряжённость является первым шагом к выражению двойственности между пространством и количеством, фундаментальной для математики». ^[8]

Определение

Встраивание Йонеды

(Ковариантное) вложение Йонеды является ковариантным функтором из малой категории в категорию предпучков на , переводящим в контравариантный представимый функтор : ^{[1] [9] [10] [11]} ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle Y\;(h^{\bullet }):{\mathcal {A}}\rightarrow \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]}$

${\displaystyle X\mapsto \mathrm {hom} (-,X).}$

и ко-вложение Йонеды ^{[1] [12] [9] [13]} (также известное как контравариантное вложение Йонеды ^{[14] [примечание 1]} или двойственное вложение Йонеды ^[21] ) является контравариантным функтором (ковариантным функтором из противоположной категории) из малой категории в категорию ко-предпучков на , переводя в ковариантный представимый функтор: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle Z\;({h_{\bullet }}^{op}):{\mathcal {A}}\rightarrow \left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}}$

${\displaystyle X\mapsto \mathrm {hom} (X,-).}$

Каждый функтор имеет сопряжение Исбелла ^[1] , заданное формулой ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle F^{\ast }\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle F^{\ast }(X)=\mathrm {hom} (F,y(X)).}$

Напротив, каждый функтор имеет сопряжение Исбелла ^[1], заданное формулой ${\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle G^{\ast }\colon {\mathcal {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle G^{\ast }(X)=\mathrm {hom} (z(X),G).}$

двойственность Исбелла

Происхождение символов и : Ловер (1986, стр. 169) говорит, что: « » сопоставляет каждому общему пространству алгебру функций на нем, тогда как « » сопоставляет каждой алгебре ее «спектр», который является общим пространством. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} }$

Примечание: Для того чтобы эта коммутативная диаграмма сохранялась, требуется, чтобы E было ко-полным. ^{[22] [23] [24] [25]}

Двойственность Исбелла — это связь между вложением Йонеды и ко-вложением Йонеды.

Пусть будет симметричной моноидальной замкнутой категорией , и пусть будет малой категорией, обогащенной в . ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Двойственность Исбелла является дополнением между категориями; . ^{[3] [1] [26] [27] [12] [28]} ${\displaystyle \left({\mathcal {O}}\dashv \mathrm {Spec} \right)\colon \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]{\underset {\mathrm {Spec} }{\overset {\mathcal {O}}{\rightleftarrows }}}\left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}}$

Функторы двойственности Исбелла таковы, что и . ^{[26] [29] [примечание 2]} ${\displaystyle {\mathcal {O}}\dashv \mathrm {Spec} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\cong \mathrm {Lan_{Y}Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} \cong \mathrm {Lan_{Z}Y} }$

Смотрите также

• Расширение Кан
• Предел (теория категорий)
• завершение Исбелла

Ссылки

1. (Баез 2022)
2. (Ди Либерти 2020, 2. Двойственность Исбелла)
3. (Lawvere 1986, стр. 169)
4. (Руттен 1998)
5. (Мельес и Зейльбергер, 2018)
6. (Виллертон 2013)
7. (Ловер 1986, стр. 169)
8. (Пространство и количество в nlab)
9. (встраивание Йонеды в nlab)
10. (Валентность, 2017, следствие 2)
11. (Awodey 2006, Определение 8.1.)
12. (дуальность Исбелла в nlab)
13. (Валентность, 2017, Определение 67)
14. (Ди Либерти и Лорегиан, 2019, Определение 5.12)
15. (Риль 2016, теорема 3.4.11.)
16. (Лейнстер 2004, (c) и (c').)
17. (Рил 2016, Определение 1.3.11.)
18. (Старр 2020, Пример 4.7.)
19. (Противоположные функторы в nlab)
20. (Pratt 1996, §.4 Симметризация вложения Йонеды)
21. (Day & Lack 2007, §9. Спряжение Исбелла)
22. (Di Liberti 2020, Замечание 2.3 (Строительство (ко)нерва).)
23. (Келли 1982, Предложение 4.33)
24. (Риль 2016, Примечание 6.5.9.)
25. (Имамура 2022, Теорема 2.4)
26. (Di Liberti 2020, примечание 2.4)
27. (Фоско 2021)
28. (Валентность, 2017, Определение 68)
29. (Ди Либерти и Лорегиан 2019, Лемма 5.13.)

Библиография

• Эвери, Том; Лейнстер, Том (2021), «Сопряженность Исбелла и рефлексивное завершение» (PDF) , Теория и применение категорий , 36 : 306–347, arXiv : 2102.08290
• Аводей, Стив (2006), Теория категорий , doi :10.1093/acprof:oso/9780198568612.001.0001, ISBN 978-0-19-856861-2
• Баез, Джон К. (2022), «Двойственность Исбелла» (PDF) , Notices Amer. Math. Soc. , 70 : 140–141, arXiv : 2212.11079
• Дей, Брайан Дж.; Лэк, Стивен (2007), «Пределы малых функторов», Журнал чистой и прикладной алгебры , 210 (3): 651–663, arXiv : math/0610439 , doi : 10.1016/j.jpaa.2006.10.019, MR  2324597, S2CID  15424936.
• Ди Либерти, Иван (2020), «Коденситность: двойственность Исбелла, про-объекты, компактность и доступность», Журнал чистой и прикладной алгебры , 224 (10), arXiv : 1910.01014 , doi : 10.1016/j.jpaa.2020.106379, S2CID  203626566
• Fosco, Loregian (22 июля 2021 г.), (Co)end Calculus, Cambridge University Press, arXiv : 1501.02503 , doi : 10.1017/9781108778657, ISBN 9781108746120, S2CID  237839003
• Гутьеррес, Гонсало; Хофманн, Дирк (2013), «Приближение метрических областей», Прикладные категориальные структуры , 21 (6): 617–650, arXiv : 1103.4744 , doi : 10.1007/s10485-011-9274-z, S2CID  254225188
• Шен, Лили; Чжан, Дексю (2013), «Категории, обогащенные кванталоидом: присоединения Исбелла и присоединения Кана» (PDF) , Теория и применение категорий , 28 (20): 577–615, arXiv : 1307.5625
• Isbell, JR (1960), «Адекватные подкатегории», Illinois Journal of Mathematics , 4 (4), doi : 10.1215/ijm/1255456274
• Исбелл, Джон Р. (1966), «Структура категорий», Бюллетень Американского математического общества , 72 (4): 619–656, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11541-0 , S2CID  40822693
• Имамура, Юки (2022), «Обогащенные категории Гротендика», Прикладные категориальные структуры , 30 (5): 1017–1041, arXiv : 2105.05108 , doi : 10.1007/s10485-022-09681-1
• Келли, Грегори Максвелл (1982), Основные понятия обогащенной теории категорий (PDF) , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 64, Cambridge University Press, Кембридж-Нью-Йорк, ISBN 0-521-28702-2, МР  0651714. ^{[ нужна страница ]}
• Ловере, Ф.В. (1986), «Серьезное отношение к категориям», Revista Colombiana de Matematicas , 20 (3–4): 147–178, MR  0948965
  • Ловер, Ф. В. (2005), «Серьёзное отношение к категориям» (PDF) , Переиздания в Theory and Applications of Categories (8): 1–24, MR  0948965
• Ловер, Ф. Уильям (февраль 2016 г.), «Теорема Биркгофа с геометрической точки зрения: простой пример», Категории и общие алгебраические структуры с приложениями , 4 (1): 1–8
• Мельес, Поль-Андре; Зейлбергер, Ноам (2018), «Теорема двойственности Исбелла для систем уточнения типов», Математические структуры в информатике , 28 (6): 736–774, arXiv : 1501.05115 , doi : 10.1017/S0960129517000068, S2CID  2716529
• Пратт, Воган (1996), «Расширение денотационной семантики линейной логики», Electronic Notes in Theoretical Computer Science , 3 : 155–166, doi : 10.1016/S1571-0661(05)80415-3
• Риль, Эмили (2016), Теория категорий в контексте, Dover Publications, Inc. Минеола, Нью-Йорк, ISBN 9780486809038
• Раттен, Дж. Дж. М. М. (1998), «Взвешенные копределы и формальные шары в обобщенных метрических пространствах», Топология и ее приложения , 89 (1–2): 179–202, doi : 10.1016/S0166-8641(97)00224-1
• Sturtz, Kirk (2018), «Факторизация монады Жири», Advances in Mathematics , 340 : 76–105, arXiv : 1707.00488 , doi : 10.1016/j.aim.2018.10.007
  • Sturtz, K. (2019). «Erratum and Addendum: Факторизация монады Жири». arXiv : 1907.00372 [math.CT].
• Вуд, Р. Дж. (1982), «Некоторые замечания о полных категориях», Журнал алгебры , 75 (2): 538–545, doi : 10.1016/0021-8693(82)90055-2
• Виллертон, Саймон (2013), «Тесные пролеты, завершения Исбелла и полутропические модули» (PDF) , Теория и применение категорий , 28 (22): 696–732, arXiv : 1302.4370

Сноска

1. Обратите внимание, что: контравариантное вложение Йонеды, описанное в статье, заменено противоположной категорией как для домена, так и для кодомена из того, что описано в учебнике. ^{[15] [16]} См. дисперсию функтора , пре/пост-композицию , ^[17] и противоположный функтор . ^{[18] [19]} Кроме того, эта пара вложений Йонеды совместно называется двумя вложениями Йонеды. ^[20]
2. Для символа Lan см. левое расширение Kan .

Внешние ссылки

• Ди Либерти, Иван; Лорегиан, Фоско (2019). «О единственности формальных теорий категорий». arXiv : 1901.01594 [math.CT].
• Лейнстер, Том (2004), «Азбука теории категорий, глава 4. Представимость» (PDF) , maths.ed.ac.uk
• Лорегиан, Фоско (2018), «Расширения Кана» (PDF) , tetrapharmakon.github.io
• Сорокин, Алекс (2022), Производные профункторы , Бостон, Массачусетс: Северо-Восточный университет, doi : 10.17760/D20467288, hdl : 2047/D20467288
• Старр, Джейсон (2020), «Некоторые заметки о теории категорий в алгебраической геометрии MAT 589» (PDF) , math.stonybrook.edu
• Валанс, Арно (2017), Esquisse d'une Dualité geométrico-algébrique multidisciplinaire: la Dualité d'Isbell, Thèse en cotutelle en Philosophie – Étude des Systèmes, от 30 мая 2017 г. (PDF)
• «Двойственность Исбелла», ncatlab.org
• "пространство и количество", ncatlab.org
• «Внедрение Йонеды», ncatlab.org
• «Лемма Ко-Йонеды», ncatlab.org
• "copresheaf", ncatlab.org
• «Естественные преобразования и предпучки: Замечание 1.28. (предпучки как обобщенные пространства)», ncatlab.org
• «Противоположные функторы», ncatlab.org