История математики посвящена происхождению открытий в математике , а также математическим методам и обозначениям прошлого . До наступления современной эпохи и всемирного распространения знаний письменные примеры новых математических разработок появлялись лишь в нескольких местах. С 3000 г. до н. э. месопотамские государства Шумер , Аккад и Ассирия , за которыми следовали Древний Египет и левантийское государство Эбла, начали использовать арифметику , алгебру и геометрию для целей налогообложения , торговли , а также в области астрономии для записи времени и составления календарей .
Самые ранние доступные математические тексты находятся в Месопотамии и Египте – Plimpton 322 ( Вавилонский ок. 2000 – 1900 до н. э.), [2] Математический папирус Райнда ( Египетский ок. 1800 до н. э.) [3] и Московский математический папирус (Египетский ок. 1890 до н. э.). Во всех этих текстах упоминаются так называемые пифагорейские тройки , поэтому, по заключению, теорема Пифагора, по-видимому, является наиболее древним и распространенным математическим развитием после базовой арифметики и геометрии.
Изучение математики как «демонстративной дисциплины» началось в VI веке до нашей эры с пифагорейцев , которые ввели термин «математика» от древнегреческого μάθημα ( mathema ) , что означает «предмет обучения». [4] Греческая математика значительно усовершенствовала методы (особенно за счет введения дедуктивного рассуждения и математической строгости в доказательствах ) и расширила предмет математики. [5] Древние римляне использовали прикладную математику в геодезии , строительной инженерии , машиностроении , бухгалтерском учете , создании лунных и солнечных календарей и даже в искусстве и ремеслах . Китайская математика внесла ранний вклад, включая систему позиционных значений и первое использование отрицательных чисел . [6] [7] Индо -арабская система счисления и правила использования ее операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западный мир через исламскую математику через труды Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми . [8] [9] Исламская математика, в свою очередь, развила и расширила математику, известную этим цивилизациям. [10] Современной, но независимой от этих традиций, была математика, разработанная цивилизацией майя в Мексике и Центральной Америке , где концепция нуля получила стандартный символ в цифрах майя .
Многие греческие и арабские тексты по математике были переведены на латынь с 12-го века, что привело к дальнейшему развитию математики в средневековой Европе . С древних времен и до Средних веков периоды математических открытий часто сменялись столетиями застоя. [11] Начиная с эпохи Возрождения в Италии в 15-м веке, новые математические разработки, взаимодействующие с новыми научными открытиями, делались все более быстрыми темпами , которые продолжаются и по сей день. Это включает в себя новаторскую работу как Исаака Ньютона , так и Готфрида Вильгельма Лейбница по развитию исчисления бесконечно малых в течение 17-го века.
Истоки математической мысли лежат в концепциях числа , закономерностей в природе , величины и формы . [12] Современные исследования познания животных показали, что эти концепции не являются уникальными для людей. Такие концепции были бы частью повседневной жизни в обществах охотников-собирателей . Идея о том, что концепция «числа» постепенно развивалась с течением времени, подтверждается существованием языков, которые сохраняют различие между «один», «два» и «много», но не чисел больше двух. [12]
Кость Ишанго , найденная около истоков реки Нил (северо-восточное Конго ), может иметь возраст более 20 000 лет и состоит из серии отметок, вырезанных в трех столбцах, идущих по всей длине кости. Распространенные толкования таковы, что кость Ишанго показывает либо подсчет самой ранней известной демонстрации последовательностей простых чисел [13] [ неудачная проверка ] или шестимесячный лунный календарь. [14] Питер Рудман утверждает, что развитие концепции простых чисел могло произойти только после концепции деления, которую он датирует периодом после 10 000 г. до н. э., при этом простые числа, вероятно, не были поняты до примерно 500 г. до н. э. Он также пишет, что «не было предпринято никаких попыток объяснить, почему подсчет чего-либо должен показывать кратные двум, простые числа от 10 до 20 и некоторые числа, которые почти кратны 10». [15] По мнению ученого Александра Маршака , кость Ишанго могла повлиять на последующее развитие математики в Египте, поскольку, как и некоторые записи на кости Ишанго, египетская арифметика также использовала умножение на 2; однако это оспаривается. [16]
Додинастические египтяне 5-го тысячелетия до н. э. изобразили геометрические узоры. Утверждается, что мегалитические памятники в Англии и Шотландии , датируемые 3-м тысячелетием до н. э., включают в свой дизайн геометрические идеи, такие как круги , эллипсы и пифагорейские тройки . [17] Однако все вышеперечисленное оспаривается, и в настоящее время старейшие бесспорные математические документы происходят из вавилонских и династических египетских источников. [18]
Вавилонская математика относится к любой математике народов Месопотамии (современный Ирак ) со времен ранних шумеров через эллинистический период почти до рассвета христианства . [19] Большая часть вавилонских математических работ относится к двум широко разнесенным периодам: первые несколько сотен лет второго тысячелетия до нашей эры (древневавилонский период) и последние несколько столетий первого тысячелетия до нашей эры ( период Селевкидов ). [20] Она называется вавилонской математикой из-за центральной роли Вавилона как места обучения. Позже, во времена Арабской империи , Месопотамия, особенно Багдад , снова стала важным центром обучения исламской математике .
В отличие от скудности источников по египетской математике , знания по вавилонской математике получены из более чем 400 глиняных табличек, найденных с 1850-х годов. [21] Написанные клинописью , таблички были написаны, пока глина была влажной, и затвердевали в печи или под воздействием солнечного тепла. Некоторые из них, по-видимому, были оцененными домашними заданиями. [22]
Самые ранние свидетельства письменной математики относятся к древним шумерам , которые построили самую раннюю цивилизацию в Месопотамии. Они разработали сложную систему метрологии с 3000 г. до н. э., которая была в основном связана с административным/финансовым подсчетом, таким как распределение зерна, рабочие, вес серебра или даже жидкостей, среди прочего. [23] Примерно с 2500 г. до н. э. шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках и решали геометрические упражнения и задачи на деление . Самые ранние следы вавилонских цифр также относятся к этому периоду. [24]
Вавилонская математика была записана с использованием шестидесятеричной (основание 60) системы счисления . [21] Из этого вытекает современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 (60 × 6) градусов в окружности, а также использование секунд и минут дуги для обозначения долей градуса. Считается, что шестидесятеричная система изначально использовалась шумерскими писцами, потому что 60 можно разделить на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30, [21] и для писцов (раздающих вышеупомянутые зерновые наделы, записывающих вес серебра и т. д.) возможность легко вычислять вручную была необходима, и поэтому шестидесятеричная система прагматически проще для вычислений вручную; Однако существует вероятность, что использование шестидесятеричной системы было этнолингвистическим явлением (которое, возможно, никогда не станет известным), а не математическим/практическим решением. [25] Кроме того, в отличие от египтян, греков и римлян, у вавилонян была позиционная система счисления, в которой цифры, записанные в левом столбце, представляли большие значения, как и в десятичной системе. Сила вавилонской системы счисления заключалась в том, что ее можно было использовать для представления дробей так же легко, как и целых чисел; таким образом, умножение двух чисел, содержащих дроби, ничем не отличалось от умножения целых чисел, аналогично современной системе счисления. Система счисления вавилонян была лучшей из всех цивилизаций до эпохи Возрождения , и ее мощь позволяла ей достигать замечательной точности вычислений; например, вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение √ 2 с точностью до пяти знаков после запятой. [26] Однако у вавилонян не было эквивалента десятичной точки, и поэтому позиционное значение символа часто приходилось выводить из контекста. [20] К периоду Селевкидов вавилоняне разработали символ нуля в качестве заполнителя для пустых позиций; однако он использовался только для промежуточных позиций. [20] Этот знак нуля не появляется в конечных позициях, поэтому вавилоняне были близки, но не разработали настоящую систему разрядных значений. [20]
Другие темы, охватываемые вавилонской математикой, включают дроби, алгебру, квадратные и кубические уравнения, а также вычисление обычных чисел и их обратных пар . [27] Таблички также включают таблицы умножения и методы решения линейных , квадратных и кубических уравнений , что было выдающимся достижением для того времени. [28] Таблички из древневавилонского периода также содержат самое раннее известное утверждение теоремы Пифагора . [29] Однако, как и в случае с египетской математикой, вавилонская математика не демонстрирует никакого понимания разницы между точными и приближенными решениями или разрешимости проблемы, и, что наиболее важно, никакого явного утверждения о необходимости доказательств или логических принципов. [22]
Египетская математика относится к математике, написанной на египетском языке . С эллинистического периода греческий язык заменил египетский в качестве письменного языка египетских ученых. Математическое изучение в Египте позже продолжилось в Арабской империи как часть исламской математики , когда арабский язык стал письменным языком египетских ученых. Археологические данные свидетельствуют о том, что древнеегипетская система счета берет свое начало в странах Африки к югу от Сахары. [30] Кроме того, конструкции фрактальной геометрии, которые широко распространены среди культур Африки к югу от Сахары, также встречаются в египетской архитектуре и космологических знаках. [31]
Самый обширный египетский математический текст — папирус Райнда (иногда также называемый папирусом Ахмеса по имени его автора), датируемый примерно 1650 г. до н. э., но, вероятно, являющийся копией более старого документа из Среднего царства около 2000–1800 гг. до н. э. [32] Это учебное пособие для студентов по арифметике и геометрии. Помимо формул площади и методов умножения, деления и работы с единичными дробями, он также содержит свидетельства других математических знаний, [33] включая составные и простые числа ; арифметические , геометрические и гармонические средние ; и упрощенное понимание как решета Эратосфена , так и теории совершенных чисел (а именно, числа 6). [34] Он также показывает, как решать линейные уравнения первого порядка [35], а также арифметические и геометрические ряды . [36]
Другой важный египетский математический текст — Московский папирус , также относящийся к периоду Среднего царства , датируемый примерно 1890 г. до н. э. [37] Он состоит из того, что сегодня называется текстовыми задачами или задачами на истории , которые, по-видимому, были предназначены для развлечения. Одна задача считается особенно важной, поскольку она дает метод нахождения объема усеченной пирамиды .
Наконец, Берлинский папирус 6619 (ок. 1800 г. до н.э.) показывает, что древние египтяне могли решать алгебраические уравнения второго порядка . [38]
Греческая математика относится к математике, написанной на греческом языке со времен Фалеса Милетского (~600 г. до н. э.) до закрытия Афинской академии в 529 г. н. э. [39] Греческие математики жили в городах, разбросанных по всему Восточному Средиземноморью, от Италии до Северной Африки, но были объединены культурой и языком. Греческую математику периода после Александра Македонского иногда называют эллинистической математикой. [40]
Греческая математика была намного более сложной, чем математика, которая была развита более ранними культурами. Все сохранившиеся записи догреческой математики показывают использование индуктивного рассуждения , то есть повторных наблюдений, используемых для установления правил большого пальца. Греческие математики, напротив, использовали дедуктивное рассуждение . Греки использовали логику, чтобы выводить выводы из определений и аксиом, и использовали математическую строгость , чтобы доказать их. [41]
Считается, что греческая математика началась с Фалеса Милетского (ок. 624–ок. 546 до н. э.) и Пифагора Самосского (ок. 582–ок. 507 до н. э.). Хотя степень влияния оспаривается, они, вероятно, были вдохновлены египетской и вавилонской математикой . Согласно легенде, Пифагор отправился в Египет, чтобы изучать математику, геометрию и астрономию у египетских жрецов.
Фалес использовал геометрию для решения таких задач, как вычисление высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое использование дедуктивного рассуждения в применении к геометрии, выведя четыре следствия из теоремы Фалеса . В результате его провозгласили первым истинным математиком и первым известным человеком, которому приписали математическое открытие. [42] Пифагор основал пифагорейскую школу , чьей доктриной было то, что математика правит вселенной, и чьим девизом было «Все есть число». [43] Именно пифагорейцы ввели термин «математика», и с них начинается изучение математики ради нее самой. Пифагорейцам приписывают первое доказательство теоремы Пифагора , [44] хотя формулировка теоремы имеет долгую историю, и доказательство существования иррациональных чисел . [45] [46] Хотя ему предшествовали вавилоняне , индийцы и китайцы , [ 47] математик - неопифагорейец Никомах (60–120 гг. н. э.) предоставил одну из самых ранних греко-римских таблиц умножения , тогда как самая старая сохранившаяся греческая таблица умножения найдена на восковой табличке, датируемой 1-м веком н. э. (ныне находится в Британском музее ). [48] Связь неопифагорейцев с западным изобретением таблицы умножения очевидна в ее более позднем средневековом названии: mensa Pythagorica . [49]
Платон (428/427 до н. э. – 348/347 до н. э.) играет важную роль в истории математики, вдохновляя и направляя других. [50] Его Платоновская академия в Афинах стала математическим центром мира в 4 веке до н. э., и именно из этой школы вышли ведущие математики того времени, такие как Евдокс Книдский (ок. 390 - ок. 340 до н. э.). [51] Платон также обсуждал основы математики, [52] прояснил некоторые определения (например, определение линии как «длины без ширины») и реорганизовал предположения. [53] Аналитический метод приписывается Платону, в то время как формула для получения пифагорейских троек носит его имя. [51]
Евдокс разработал метод исчерпывания , предшественник современной интеграции [54] и теорию отношений, которая избегала проблемы несоизмеримых величин . [55] Первый позволял вычислять площади и объемы криволинейных фигур, [56] в то время как последний позволил последующим геометрам добиться значительных успехов в геометрии. Хотя он не сделал никаких конкретных технических математических открытий, Аристотель (384– ок. 322 до н. э. ) внес значительный вклад в развитие математики, заложив основы логики . [57]
В 3 веке до нашей эры главным центром математического образования и исследований был Александрийский музей . [59] Именно там Евклид ( ок. 300 г. до н. э. ) преподавал и написал « Начала » , которые широко считаются самым успешным и влиятельным учебником всех времен. [1] « Начала» ввели математическую строгость с помощью аксиоматического метода и являются самым ранним примером формата, который до сих пор используется в математике: определение, аксиома, теорема и доказательство. Хотя большая часть содержания « Начал» уже была известна, Евклид организовал их в единую, связную логическую структуру. [60] « Начала» были известны всем образованным людям на Западе вплоть до середины 20 века, и их содержание до сих пор преподается на уроках геометрии. [61] В дополнение к известным теоремам евклидовой геометрии , « Начала» были задуманы как вводный учебник по всем математическим предметам того времени, таким как теория чисел , алгебра и стереометрия , [60] включая доказательства того, что квадратный корень из двух иррационален и что существует бесконечно много простых чисел. Евклид также много писал по другим предметам, таким как конические сечения , оптика , сферическая геометрия и механика, но сохранилась только половина его трудов. [62]
Архимед ( ок. 287–212 до н. э.) из Сиракуз , широко считающийся величайшим математиком древности, [63] использовал метод исчерпания для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда , способом, не слишком отличающимся от современного исчисления. [64] Он также показал, что можно использовать метод исчерпания для вычисления значения π с любой желаемой точностью, и получил самое точное значение π, известное на тот момент, 3+ 10/71 < π < 3+ 10/70 . [65] Он также изучал спираль , носящую его имя, получил формулы для объемов поверхностей вращения (параболоида, эллипсоида, гиперболоида), [64] и гениальный метод возведения в степень для выражения очень больших чисел. [66] Хотя он также известен своим вкладом в физику и несколькими передовыми механическими устройствами, сам Архимед придавал гораздо большее значение продуктам своей мысли и общим математическим принципам. [67] Он считал своим величайшим достижением нахождение площади поверхности и объема сферы, которые он получил, доказав, что они составляют 2/3 площади поверхности и объема цилиндра, описывающего сферу. [68]
Аполлоний Пергский ( ок. 262–190 до н. э.) добился значительных успехов в изучении конических сечений , показав, что можно получить все три разновидности конических сечений, изменяя угол плоскости, которая пересекает двухсторонний конус. [69] Он также ввел терминологию, используемую сегодня для конических сечений, а именно парабола («место рядом» или «сравнение»), «эллипс» («недостаток») и «гипербола» («бросок за пределы»). [70] Его работа «Коники» является одной из самых известных и сохранившихся математических работ античности, и в ней он выводит множество теорем, касающихся конических сечений, которые оказались бесценными для более поздних математиков и астрономов, изучавших движение планет, таких как Исаак Ньютон. [71] Хотя ни Аполлоний, ни какой-либо другой греческий математик не совершил скачок к координатной геометрии, трактовка Аполлонием кривых в некотором роде похожа на современную трактовку, и некоторые из его работ, кажется, предвосхищают развитие аналитической геометрии Декартом примерно 1800 лет спустя. [72]
Примерно в то же время Эратосфен из Кирены ( ок. 276–194 до н. э.) разработал решето Эратосфена для поиска простых чисел . [73] III век до н. э. обычно считается «золотым веком» греческой математики, с тех пор достижения в чистой математике пришли в относительный упадок. [74] Тем не менее, в последующие столетия были достигнуты значительные успехи в прикладной математике, в первую очередь в тригонометрии , в основном для удовлетворения потребностей астрономов. [74] Гиппарх из Никеи ( ок. 190–120 до н. э.) считается основателем тригонометрии, составившим первую известную тригонометрическую таблицу, и ему также принадлежит заслуга систематического использования 360-градусного круга. [75] Герону Александрийскому ( ок. 10–70 гг. н. э.) приписывают формулу Герона для нахождения площади разностороннего треугольника и то, что он был первым, кто осознал возможность отрицательных чисел иметь квадратные корни. [76] Менелай Александрийский ( ок. 100 г. н. э .) стал пионером сферической тригонометрии с помощью теоремы Менелая . [77] Наиболее полным и влиятельным тригонометрическим трудом древности является « Альмагест» Птолемея ( ок . 90–168 гг. н. э .), знаменательный астрономический трактат, тригонометрические таблицы которого будут использоваться астрономами в течение следующей тысячи лет. [78] Птолемею также приписывают теорему Птолемея для вывода тригонометрических величин и самое точное значение числа π за пределами Китая до средневекового периода, 3,1416. [79]
После периода застоя после Птолемея, период между 250 и 350 годами нашей эры иногда называют «Серебряным веком» греческой математики. [80] В этот период Диофант добился значительных успехов в алгебре, в частности в неопределенном анализе , который также известен как «диофантов анализ». [81] Изучение диофантовых уравнений и диофантовых приближений является важной областью исследований и по сей день. Его главной работой была « Арифметика» , сборник из 150 алгебраических задач, касающихся точных решений определенных и неопределенных уравнений . [82] « Арифметика» оказала значительное влияние на более поздних математиков, таких как Пьер де Ферма , который пришел к своей знаменитой Последней теореме после попытки обобщить задачу, которую он прочитал в «Арифметике» (задачу о делении квадрата на два квадрата). [83] Диофант также добился значительных успехов в нотации, «Арифметика» стала первым примером алгебраической символики и синкопирования. [82]
Среди последних великих греческих математиков — Папп Александрийский (IV в. н. э.). Он известен своей теоремой о шестиугольнике и теоремой о центроиде , а также конфигурацией Паппа и графиком Паппа . Его «Собрание» является основным источником знаний о греческой математике, поскольку большая его часть сохранилась. [84] Папп считается последним крупным новатором в греческой математике, его последующие работы в основном состояли из комментариев к более ранним работам.
Первой женщиной-математиком, зафиксированной в истории, была Гипатия Александрийская (350–415 гг. н. э.). Она сменила своего отца ( Теона Александрийского ) на посту библиотекаря в Великой библиотеке [ требуется ссылка ] и написала много работ по прикладной математике. Из-за политического спора христианская община в Александрии публично раздела ее и казнила. [85] Ее смерть иногда воспринимается как конец эпохи александрийской греческой математики, хотя работа продолжалась в Афинах еще одно столетие с такими деятелями, как Прокл , Симпликий и Евтокий . [86] Хотя Прокл и Симпликий были больше философами, чем математиками, их комментарии к более ранним работам являются ценными источниками по греческой математике. Закрытие неоплатонической Академии Афин императором Юстинианом в 529 году нашей эры традиционно считается концом эпохи греческой математики, хотя греческая традиция продолжалась непрерывно в Византийской империи с такими математиками, как Анфимий из Тралл и Исидор из Милета , архитекторами собора Святой Софии . [87] Тем не менее, византийская математика состояла в основном из комментариев, с небольшим количеством инноваций, и центры математических инноваций к этому времени можно было найти в другом месте. [88]
Хотя этнические греческие математики продолжали существовать под властью поздней Римской республики и последующей Римской империи , не было ни одного выдающегося латинского математика в сравнении с ними. [89] [90] Древние римляне, такие как Цицерон (106–43 до н. э.), влиятельный римский государственный деятель, изучавший математику в Греции, считали, что римские землемеры и вычислители были гораздо больше заинтересованы в прикладной математике, чем в теоретической математике и геометрии, которые ценились греками. [91] Неясно, вывели ли римляне свою числовую систему непосредственно из греческого прецедента или из этрусских цифр, используемых этрусской цивилизацией, сосредоточенной на территории современной Тосканы , центральной Италии . [92]
Используя вычисления, римляне были искусны как в подстрекательстве к финансовому мошенничеству , так и в его обнаружении , а также в управлении налогами для казны . [93] Сицилийский Флакк , один из римских gromatici (то есть землемеров), написал « Категории полей» , которые помогали римским землемерам измерять площади поверхности выделенных земель и территорий. [94] Помимо управления торговлей и налогами, римляне также регулярно применяли математику для решения задач в области инженерии , включая возведение архитектуры, такой как мосты , строительство дорог и подготовку к военным кампаниям . [95] Искусства и ремесла , такие как римская мозаика , вдохновленные предыдущими греческими образцами , создавали иллюзионистские геометрические узоры и богатые, подробные сцены, которые требовали точных измерений для каждой плитки тессеры , части opus tessellatum в среднем имели площадь восемь квадратных миллиметров, а более тонкие части opus vermiculatum имели среднюю поверхность четыре квадратных миллиметра. [96] [97]
Создание римского календаря также потребовало базовой математики. Первый календарь предположительно датируется 8 веком до нашей эры во времена Римского царства и включал 356 дней плюс високосный год каждые два года. [98] Напротив, лунный календарь республиканской эпохи содержал 355 дней, примерно на десять и одну четвертую дня короче солнечного года , несоответствие, которое было решено добавлением дополнительного месяца в календарь после 23 февраля. [99] Этот календарь был вытеснен юлианским календарем , солнечным календарем, организованным Юлием Цезарем (100–44 гг. до н. э.) и разработанным Сосигеном Александрийским, чтобы включать високосный день каждые четыре года в 365-дневный цикл. [100] Этот календарь, содержащий ошибку в 11 минут и 14 секунд, был позже исправлен григорианским календарем, организованным папой Григорием XIII ( годы правления 1572–1585 ), фактически тем же солнечным календарем, который используется в наше время в качестве международного стандартного календаря. [101]
Примерно в одно и то же время китайцы хань и римляне изобрели колесный одометр для измерения пройденного расстояния , римская модель впервые описана римским инженером-строителем и архитектором Витрувием ( ок. 80 г. до н. э. — ок. 15 г. до н. э .). [102] Устройство использовалось по крайней мере до правления императора Коммода ( ок. 177–192 гг. н. э .), но его конструкция, по-видимому, была утеряна до тех пор, пока в XV веке в Западной Европе не были проведены эксперименты. [103] Возможно, опираясь на схожую зубчатую передачу и технологию, обнаруженные в антикитерском механизме , одометр Витрувия представлял собой колеса колесницы диаметром 4 фута (1,2 м), совершающие четыреста оборотов за одну римскую милю (примерно 4590 футов/1400 м). С каждым оборотом штифтовое устройство взаимодействовало с зубчатым колесом с 400 зубьями , которое вращало вторую шестерню, отвечающую за сбрасывание камешков в ящик, причем каждый камешек соответствовал одной пройденной миле. [104]
Анализ ранней китайской математики продемонстрировал ее уникальное развитие по сравнению с другими частями мира, что привело ученых к предположению о совершенно независимом развитии. [105] Самый старый сохранившийся математический текст из Китая — это Чжоуби Суаньцзин (周髀算經), датируемый по-разному между 1200 г. до н. э. и 100 г. до н. э., хотя дата около 300 г. до н. э. в период Воюющих царств кажется разумной. [106] Однако бамбуковые пластинки Цинхуа , содержащие самую раннюю известную десятичную таблицу умножения (хотя у древних вавилонян были таблицы с основанием 60), датируются примерно 305 г. до н. э. и, возможно, являются самым старым сохранившимся математическим текстом Китая. [47]
Особого внимания заслуживает использование в китайской математике десятичной позиционной системы счисления, так называемых «стержневых цифр», в которых использовались отдельные шифры для чисел от 1 до 10 и дополнительные шифры для степеней десяти. [107] Таким образом, число 123 записывалось с использованием символа для «1», за которым следовал символ для «100», затем символ для «2», за которым следовал символ для «10», за которым следовал символ для «3». Это была самая передовая система счисления в мире в то время, по-видимому, использовавшаяся за несколько столетий до нашей эры и задолго до развития индийской системы счисления. [108] Стержневые цифры позволяли представлять числа сколь угодно больших размеров и позволяли выполнять вычисления на суань пань , или китайских счетах. Дата изобретения суань пань не определена, но самое раннее письменное упоминание датируется 190 годом нашей эры в «Дополнительных заметках об искусстве цифр» Сюй Юэ .
Древнейшая из сохранившихся работ по геометрии в Китае относится к философскому канону Мохизма , датированному 330 г. до н. э. и составленному последователями Моцзы (470–390 гг. до н. э.). Мо Цзин описал различные аспекты многих областей, связанных с физической наукой, а также предоставил небольшое количество геометрических теорем. [109] Он также определил понятия окружности , диаметра , радиуса и объема . [110]
В 212 г. до н. э. император Цинь Шихуанди приказал сжечь все книги в империи Цинь , кроме официально одобренных. Этот указ не был повсеместно соблюден, но в результате этого приказа мало что известно о древней китайской математике до этой даты. После сожжения книг в 212 г. до н. э. династия Хань (202 г. до н. э. – 220 г. н. э.) создала труды по математике, которые, предположительно, расширили труды, которые теперь утеряны. Самым важным из них является «Девять глав о математическом искусстве» , полное название которого появилось в 179 г. н. э., но частично существовало под другими названиями ранее. Он состоит из 246 текстовых задач, связанных с сельским хозяйством, бизнесом, применением геометрии для вычисления пролетов высот и соотношений размеров для башен китайских пагод , инженерией, геодезией и включает материал о прямоугольных треугольниках . [106] Он создал математическое доказательство теоремы Пифагора , [111] и математическую формулу для исключения Гаусса . [112] В трактате также приводятся значения числа π , [106] которое китайские математики первоначально приближали к 3, пока Лю Синь (ум. в 23 г. н. э.) не дал число 3,1457, а впоследствии Чжан Хэн (78–139 гг.) приблизил число π к 3,1724, [113] а также к 3,162, извлекая квадратный корень из 10. [114] [115] Лю Хуэй прокомментировал Девять глав в 3 веке н. э. и дал значение числа π с точностью до 5 знаков после запятой (т. е. 3,14159). [116] [117] Хотя это было больше вопросом вычислительной выносливости, чем теоретического понимания, в V веке нашей эры Цзу Чунчжи вычислил значение π с точностью до семи знаков после запятой (между 3,1415926 и 3,1415927), что оставалось самым точным значением π в течение почти следующих 1000 лет. [116] [118] Он также разработал метод, который позже будет назван принципом Кавальери, для нахождения объема сферы . [ 119]
Пик развития китайской математики пришелся на XIII век во второй половине династии Сун (960–1279), с развитием китайской алгебры. Самым важным текстом того периода является « Драгоценное зеркало четырех стихий» Чжу Шицзе (1249–1314), посвященное решению одновременных алгебраических уравнений высшего порядка с использованием метода, похожего на метод Горнера . [116] « Драгоценное зеркало» также содержит диаграмму треугольника Паскаля с коэффициентами биномиальных разложений до восьмой степени, хотя обе они появляются в китайских работах еще в 1100 году. [120] Китайцы также использовали сложную комбинаторную диаграмму, известную как магический квадрат и магические круги , описанную в древние времена и усовершенствованную Ян Хуэем (1238–1298 гг. н. э.). [120]
Даже после того, как европейская математика начала процветать в эпоху Возрождения , европейская и китайская математика были отдельными традициями, при этом значительное китайское математическое производство пришло в упадок с 13-го века и далее. Иезуитские миссионеры, такие как Маттео Риччи, переносили математические идеи туда и обратно между двумя культурами с 16-го по 18-й век, хотя в этот момент в Китай входило гораздо больше математических идей, чем выходило. [120]
Японская математика , корейская математика и вьетнамская математика традиционно рассматриваются как происходящие от китайской математики и принадлежащие к конфуцианской культурной сфере Восточной Азии . [121] Корейская и японская математика находились под сильным влиянием алгебраических работ, созданных во время китайской династии Сун, тогда как вьетнамская математика была во многом обязана популярным работам китайской династии Мин (1368–1644). [122] Например, хотя вьетнамские математические трактаты были написаны либо на китайском языке , либо на родном вьетнамском письме чу-ном , все они следовали китайскому формату представления коллекции задач с алгоритмами их решения, за которыми следовали числовые ответы. [123] Математика во Вьетнаме и Корее была в основном связана с профессиональной придворной бюрократией математиков и астрономов , тогда как в Японии она была более распространена в сфере частных школ . [124]
Математика, которая развивалась в Японии в период Эдо (1603-1887), независима от западной математики; к этому периоду принадлежит математик Сэки Такакадзу , оказавший большое влияние, например, на развитие васан (традиционной японской математики) и чьи открытия (в таких областях, как интегральное исчисление ) были сделаны почти одновременно с открытиями современных ему европейских математиков, таких как Готфрид Лейбниц .
Японская математика этого периода вдохновлена китайской математикой и ориентирована на решение по сути геометрических задач. На деревянных табличках, называемых сангаку, предлагаются и решаются «геометрические загадки»; Вот откуда, например, происходит теорема Содди о гекслетах .
Самая ранняя цивилизация на индийском субконтиненте — цивилизация долины Инда (зрелая вторая фаза: 2600–1900 гг. до н. э.), которая процветала в бассейне реки Инд . Их города были заложены с геометрической регулярностью, но никаких известных математических документов этой цивилизации не сохранилось. [126]
Древнейшие сохранившиеся математические записи из Индии — это Сульба-сутры (датируемые по-разному между VIII веком до н. э. и II веком н. э.), [127] приложения к религиозным текстам, которые дают простые правила для построения алтарей различных форм, таких как квадраты, прямоугольники, параллелограммы и другие. [128] Как и в Египте, озабоченность храмовыми функциями указывает на происхождение математики из религиозного ритуала. [127] Сульба-сутры дают методы для построения круга с приблизительно такой же площадью, как и заданный квадрат , что подразумевает несколько различных приближений значения π. [129] [130] [a] Кроме того, они вычисляют квадратный корень из 2 с несколькими десятичными знаками, перечисляют пифагорейские тройки и дают формулировку теоремы Пифагора . [130] Все эти результаты присутствуют в вавилонской математике, что указывает на влияние Месопотамии. [127] Неизвестно, в какой степени «Сулба-сутры» повлияли на более поздних индийских математиков. Как и в Китае, в индийской математике отсутствует преемственность; значительные достижения разделяются длительными периодами бездействия. [127]
Панини (ок. 5 в. до н. э.) сформулировал правила санскритской грамматики . [131] Его нотация была похожа на современную математическую нотацию и использовала метаправила, преобразования и рекурсию . [132] Пингала (примерно 3–1 вв. до н. э.) в своем трактате о просодии использует устройство, соответствующее двоичной системе счисления . [133] [134] Его обсуждение комбинаторики метров соответствует элементарной версии биномиальной теоремы . Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи (называемых матрамеру ). [135]
Следующими значимыми математическими документами из Индии после Сульба-сутр являются Сиддханты , астрономические трактаты IV и V веков н. э. ( период Гуптов ), демонстрирующие сильное эллинистическое влияние. [136] Они значимы тем, что содержат первый пример тригонометрических соотношений, основанных на полухорде, как это имеет место в современной тригонометрии, а не на полной хорде, как это было в тригонометрии Птолемея. [137] Из-за ряда ошибок перевода слова «синус» и «косинус» происходят от санскритских «jiya» и «kojiya». [137]
Около 500 г. н.э. Арьябхата написал Арьябхатия , небольшой томик, написанный в стихах, призванный дополнить правила вычислений, используемые в астрономии и математических измерениях, хотя и без чувства логики или дедуктивной методологии. [138] Именно в Арьябхатия впервые появляется десятичная система счисления. Несколько столетий спустя мусульманский математик Абу Райхан Бируни описал Арьябхатия как «смесь обычных камешков и дорогих кристаллов». [139]
В 7 веке Брахмагупта определил теорему Брахмагупты , тождество Брахмагупты и формулу Брахмагупты , и впервые в «Брахма-спхута-сиддханте » он доходчиво объяснил использование нуля как заполнителя и десятичной цифры , а также объяснил индуистско-арабскую систему счисления . [140] Именно из перевода этого индийского текста по математике (ок. 770 г.) исламские математики познакомились с этой системой счисления, которую они адаптировали как арабские цифры . Исламские ученые принесли знания об этой системе счисления в Европу к 12 веку, и теперь она вытеснила все старые системы счисления по всему миру. Для представления чисел в индуистско-арабской системе счисления используются различные наборы символов, все из которых произошли от цифр брахми . Каждая из примерно дюжины основных письменностей Индии имеет свои собственные числовые глифы. В X веке комментарий Халаюды к работе Пингалы содержал исследование последовательности Фибоначчи и треугольника Паскаля , а также описывал формирование матрицы . [ необходима ссылка ]
В 12 веке Бхаскара II , [141] живший в южной Индии, много писал обо всех известных тогда разделах математики. Его работа содержит математические объекты, эквивалентные или приблизительно эквивалентные бесконечно малым, теорему о среднем значении и производную синусоидальной функции, хотя он не развивал понятие производной. [142] [143] В 14 веке Нараяна Пандита завершил свой Ганита Каумуди . [144]
Также в XIV веке Мадхава из Сангамаграмы , основатель математической школы Кералы , нашел ряд Мадхавы-Лейбница и получил из него преобразованный ряд , первые 21 член которого он использовал для вычисления значения числа π как 3,14159265359. Мадхава также нашел ряд Мадхавы-Грегори для определения арктангенса, степенной ряд Мадхавы-Ньютона для определения синуса и косинуса и приближение Тейлора для функций синуса и косинуса. [145] В XVI веке Джьештхадева объединил многие разработки и теоремы керальской школы в « Юкти-бхаше» . [146] [147] Утверждалось, что некоторые идеи исчисления, такие как бесконечные ряды и ряды Тейлора некоторых тригонометрических функций, были переданы в Европу в 16 веке [6] через иезуитских миссионеров и торговцев, которые в то время действовали вокруг древнего порта Музирис и, как следствие, напрямую повлияли на более поздние европейские разработки в области анализа и исчисления. [148] Однако другие ученые утверждают, что Керальская школа не сформулировала систематическую теорию дифференциации и интегрирования , и что нет никаких прямых доказательств того, что их результаты были переданы за пределы Кералы. [149] [150] [151] [152]
Исламская империя, созданная на Ближнем Востоке , в Центральной Азии , Северной Африке , Иберии и в некоторых частях Индии в 8 веке, внесла значительный вклад в математику. Хотя большинство исламских текстов по математике были написаны на арабском языке , не все они были написаны арабами , поскольку, подобно статусу греческого языка в эллинистическом мире, арабский язык использовался в качестве письменного языка неарабских ученых во всем исламском мире в то время. [153]
В IX веке персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми написал важную книгу об индо-арабских цифрах и одну о методах решения уравнений. Его книга «О вычислениях с помощью индуистских цифр» , написанная около 825 года, наряду с работой Аль-Кинди , сыграли важную роль в распространении индийской математики и индийских цифр на Западе. Слово алгоритм произошло от латинизации его имени, Algoritmi, а слово алгебра — от названия одной из его работ, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala ( Краткая книга об вычислениях путем завершения и балансировки ). Он дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями, [154] и он был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме и ради нее самой. [155] Он также обсуждал фундаментальный метод « редукции » и «уравновешивания», ссылаясь на транспозицию вычитаемых членов на другую сторону уравнения, то есть отмену подобных членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую аль-Хорезми первоначально описал как аль-джабр . [156] Его алгебра также больше не была связана «с серией проблем, которые нужно решить, но с изложением , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект изучения». Он также изучал уравнение ради него самого и «в общем смысле, поскольку оно не просто возникает в ходе решения проблемы, но специально призвано определять бесконечный класс проблем». [157]
В Египте Абу Камиль расширил алгебру до множества иррациональных чисел , приняв квадратные корни и четвертые корни в качестве решений и коэффициентов квадратных уравнений. Он также разработал методы, используемые для решения трех нелинейных одновременных уравнений с тремя неизвестными переменными. Одной из уникальных особенностей его работ была попытка найти все возможные решения некоторых из его проблем, включая одну, где он нашел 2676 решений. [158] Его работы сформировали важную основу для развития алгебры и оказали влияние на более поздних математиков, таких как аль-Караджи и Фибоначчи.
Дальнейшие разработки в алгебре были сделаны Аль-Караджи в его трактате аль-Фахри , где он расширяет методологию, чтобы включить целые степени и целые корни неизвестных величин. Нечто близкое к доказательству с помощью математической индукции появляется в книге, написанной Аль-Караджи около 1000 г. н. э., который использовал его для доказательства биномиальной теоремы , треугольника Паскаля и суммы целых кубов . [159] Историк математики Ф. Вёпке [160] восхвалял Аль-Караджи за то, что он был «первым, кто ввел теорию алгебраического исчисления » . Также в 10 веке Абуль Вафа перевел труды Диофанта на арабский язык. Ибн аль-Хайтам был первым математиком, который вывел формулу для суммы четвертых степеней, используя метод, который легко обобщается для определения общей формулы для суммы любых целых степеней. Он выполнил интегрирование, чтобы найти объем параболоида , и смог обобщить свой результат для интегралов многочленов до четвертой степени . Таким образом, он приблизился к нахождению общей формулы для интегралов многочленов, но его не интересовали какие-либо многочлены выше четвертой степени. [161]
В конце 11 века Омар Хайям написал «Обсуждения трудностей у Евклида» , книгу о том, что он считал недостатками в «Началах » Евклида , особенно о постулате о параллельных линиях . Он также был первым, кто нашел общее геометрическое решение кубических уравнений . Он также оказал большое влияние на реформу календаря . [162]
В 13 веке Насир ад-Дин Туси (Насиреддин) добился успехов в сферической тригонометрии . Он также написал влиятельную работу о постулате Евклида о параллельных прямых . В 15 веке Гияс аль-Каши вычислил значение π до 16-го знака после запятой. У Каши также был алгоритм для вычисления корней n- й степени, который был частным случаем методов, данных много столетий спустя Руффини и Хорнером .
Другие достижения мусульманских математиков в этот период включают добавление десятичной точки к арабским цифрам , открытие всех современных тригонометрических функций , кроме синуса, введение аль-Кинди криптоанализа и частотного анализа , развитие аналитической геометрии Ибн аль-Хайсамом , начало алгебраической геометрии Омаром Хайямом и развитие алгебраической нотации аль -Каласади . [163]
Во времена Османской империи и империи Сефевидов с XV века развитие исламской математики пришло в упадок.
В доколумбовой Америке цивилизация майя , процветавшая в Мексике и Центральной Америке в 1-м тысячелетии нашей эры, разработала уникальную традицию математики, которая из-за своей географической изоляции была полностью независима от существующей европейской, египетской и азиатской математики. [164] Числа майя использовали основание двадцать, двадцатеричную систему, вместо основания десять, которое составляет основу десятичной системы, используемой большинством современных культур. [164] Майя использовали математику для создания календаря майя , а также для предсказания астрономических явлений в своей родной астрономии майя . [164] Хотя концепция нуля должна была быть выведена из математики многих современных культур, майя разработали для нее стандартный символ. [164]
Средневековый европейский интерес к математике был обусловлен проблемами, совершенно отличными от проблем современных математиков. Одним из движущих элементов была вера в то, что математика дает ключ к пониманию сотворенного порядка природы, часто оправдываемая «Тимеем » Платона и библейским отрывком (в Книге Мудрости ), что Бог упорядочил все вещи в мере, числе и весе . [165]
Боэций предоставил место математике в учебной программе в VI веке, когда он ввел термин quadrivium для описания изучения арифметики, геометрии, астрономии и музыки. Он написал De Establishe arithmetica , вольный перевод с греческого Введения в арифметику Никомаха ; De Establishe musica , также полученный из греческих источников; и ряд отрывков из Элементов Евклида . Его работы были скорее теоретическими, чем практическими, и были основой математического изучения до восстановления греческих и арабских математических работ. [166] [167]
В XII веке европейские учёные отправились в Испанию и Сицилию в поисках научных арабских текстов , включая « Краткую книгу об исчислении путём завершения и уравновешивания» аль-Хорезми , переведённую на латынь Робертом Честерским , и полный текст « Начал » Евклида , переведённый в различных версиях Аделардом Батским , Германом Каринтийским и Герардом Кремонским . [168] [169] Эти и другие новые источники вызвали обновление математики.
Леонардо Пизанский, теперь известный как Фибоначчи , по счастливой случайности узнал об индо-арабских цифрах во время поездки в то, что сейчас является Беджаей , Алжир, со своим отцом-купцом. (В Европе все еще использовались римские цифры .) Там он наблюдал систему арифметики ( в частности, алгоритмизм ), которая из-за позиционной нотации индо-арабских цифр была намного более эффективной и значительно облегчала торговлю. Леонардо написал Liber Abaci в 1202 году (обновленную в 1254 году), представив эту технику Европе и начав длительный период ее популяризации. Книга также принесла в Европу то, что сейчас известно как последовательность Фибоначчи (известную индийским математикам за сотни лет до этого) [170] , которую Фибоначчи использовал в качестве ничем не примечательного примера.
В XIV веке появились новые математические концепции для исследования широкого круга проблем. [171] Одним из важных вкладов стало развитие математики локального движения.
Томас Брэдуордин предположил, что скорость (V) увеличивается в арифметической пропорции, когда отношение силы (F) к сопротивлению (R) увеличивается в геометрической пропорции. Брэдуордин выразил это серией конкретных примеров, но хотя логарифм еще не был придуман, мы можем выразить его вывод анахронично, записав: V = log (F/R). [172] Анализ Брэдуордина является примером переноса математического метода, использованного аль-Кинди и Арнальдом из Виллановы для количественной оценки природы сложных лекарств, на другую физическую проблему. [173]
Один из Оксфордских вычислителей XIV века , Уильям Гейтсбери , не владея дифференциальным исчислением и понятием пределов , предложил измерять мгновенную скорость «путем, который было бы описано [телом], если бы ... оно двигалось равномерно с той же степенью скорости, с которой оно движется в данный момент». [176]
Хейтсбери и другие математически определили расстояние, проходимое телом, совершающим равномерно ускоренное движение (сегодня это решается путем интегрирования), заявив, что «движущееся тело, равномерно приобретающее или теряющее это приращение [скорости], пройдет за некоторое заданное время [расстояние], полностью равное тому, которое оно прошло бы, если бы оно двигалось непрерывно в течение того же времени со средней степенью [скорости]». [177]
Николь Орем из Парижского университета и итальянец Джованни ди Казали независимо друг от друга представили графические демонстрации этой связи, утверждая, что площадь под линией, изображающей постоянное ускорение, представляет собой общее пройденное расстояние. [178] В более позднем математическом комментарии к «Началам » Евклида Орем провел более подробный общий анализ, в котором он продемонстрировал, что тело будет приобретать в каждом последующем приращении времени приращение любого качества, которое увеличивается как нечетные числа. Поскольку Евклид продемонстрировал, что сумма нечетных чисел является квадратными числами, общее качество, приобретенное телом, увеличивается как квадрат времени. [179]
В эпоху Возрождения развитие математики и бухгалтерского учета были тесно переплетены. [180] Хотя нет прямой связи между алгеброй и бухгалтерским учетом, преподавание предметов и опубликованные книги часто предназначались для детей торговцев, которых отправляли в школы счетоводства (во Фландрии и Германии ) или школы абака (известные как abbaco в Италии), где они приобретали навыки, полезные для торговли и коммерции. Вероятно, нет необходимости в алгебре для выполнения бухгалтерских операций, но для сложных бартерных операций или расчета сложных процентов базовые знания арифметики были обязательными, а знание алгебры было очень полезным.
Пьеро делла Франческа (ок. 1415–1492) написал книги по твердотельной геометрии и линейной перспективе , в том числе De Prospectiva Pingendi («О перспективе для живописи») , Trattato d'Abaco (Трактат о счетах) и De quinque corporibus Regularibus («О пяти правильных твердых телах»). ) . [181] [182] [183]
Книга Луки Пачоли «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità» (итал. «Обзор арифметики , геометрии , отношения и пропорции ») была впервые напечатана и опубликована в Венеции в 1494 году. Она включала в себя 27-страничный трактат по бухгалтерскому учету «Particularis de Computis et Scripturis» (итал. «Подробности вычислений и записей»). Она была написана в первую очередь для торговцев и продавалась им в основном, которые использовали книгу в качестве справочного текста, как источник удовольствия от содержащихся в ней математических головоломок и для помощи в образовании своих сыновей. [184] В «Summa Arithmetica » Пачоли впервые в печатной книге ввел символы для плюса и минуса , символы, которые стали стандартной нотацией в итальянской математике эпохи Возрождения. «Summa Arithmetica» также была первой известной книгой, напечатанной в Италии, содержащей алгебру. Пачоли позаимствовал многие из своих идей у Пьеро Делла Франческа, у которого он занимался плагиатом.
В Италии в первой половине XVI века Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья открыли решения для кубических уравнений . Джероламо Кардано опубликовал их в своей книге 1545 года Ars Magna вместе с решением для уравнений четвертой степени , найденным его учеником Лодовико Феррари . В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свою работу L'Algebra , в которой показал, как обращаться с мнимыми величинами , которые могли появляться в формуле Кардано для решения кубических уравнений.
Труд Симона Стевина «De Thiende» («Искусство десятых»), впервые опубликованный на голландском языке в 1585 году, содержал первое систематическое рассмотрение десятичной системы счисления в Европе, которое оказало влияние на все последующие работы по действительной системе счисления . [185] [186]
Под влиянием потребностей навигации и растущей потребности в точных картах больших территорий тригонометрия превратилась в крупную отрасль математики. Первым это слово использовал Варфоломей Питиск , опубликовав свою «Тригонометрию» в 1595 году. Таблица синусов и косинусов Региомонтана была опубликована в 1533 году. [187]
В эпоху Возрождения желание художников реалистично представлять окружающий мир, вместе с заново открытой философией греков, привело художников к изучению математики. Они были также инженерами и архитекторами того времени, и поэтому в любом случае нуждались в математике. Искусство живописи в перспективе и связанные с этим разработки в геометрии интенсивно изучались. [188]
XVII век стал свидетелем беспрецедентного роста математических и научных идей по всей Европе. Галилей наблюдал за лунами Юпитера на орбите вокруг этой планеты, используя телескоп, созданный Гансом Липпергеем . Тихо Браге собрал большое количество математических данных, описывающих положения планет на небе. Благодаря своему положению помощника Браге, Иоганн Кеплер впервые познакомился и серьезно взаимодействовал с темой движения планет. Расчеты Кеплера были упрощены благодаря одновременному изобретению логарифмов Джоном Непером и Йостом Бюрги . Кеплеру удалось сформулировать математические законы движения планет. [189] Аналитическая геометрия , разработанная Рене Декартом (1596–1650), позволила нанести эти орбиты на график в декартовых координатах .
Основываясь на более ранних работах многих предшественников, Исаак Ньютон открыл законы физики, которые объясняют законы Кеплера , и объединил концепции, которые теперь известны как исчисление . Независимо от него, Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал исчисление и большую часть исчисления, используемого до сих пор. Он также усовершенствовал двоичную систему счисления , которая является основой почти всех цифровых ( электронных , твердотельных , дискретно-логических ) компьютеров , включая архитектуру фон Неймана , которая является стандартной парадигмой проектирования, или « компьютерной архитектурой », которая использовалась со второй половины 20-го века и до 21-го. Лейбница называют «основателем компьютерной науки». [190]
Наука и математика стали международным делом, которое вскоре распространилось по всему миру. [191]
В дополнение к применению математики к изучению небес, прикладная математика начала расширяться в новые области, с перепиской Пьера де Ферма и Блеза Паскаля . Паскаль и Ферма заложили основу для исследований теории вероятностей и соответствующих правил комбинаторики в своих дискуссиях за игрой в азартные игры . Паскаль, с его пари , пытался использовать недавно развивающуюся теорию вероятностей, чтобы аргументировать в пользу жизни, посвященной религии, на том основании, что даже если вероятность успеха мала, награды бесконечны. В некотором смысле, это предвещало развитие теории полезности в 18-м и 19-м веках.
.jpg/1280px-Leonhard_Euler_-_Jakob_Emanuel_Handmann_(Kunstmuseum_Basel).jpg)
Самым влиятельным математиком XVIII века, возможно, был Леонард Эйлер (1707–1783). Его вклад варьируется от основания изучения теории графов с помощью задачи о семи мостах Кёнигсберга до стандартизации многих современных математических терминов и обозначений. Например, он назвал квадратный корень из минус 1 символом i и популяризировал использование греческой буквы для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру. Он внес многочисленные вклады в изучение топологии, теории графов, исчисления, комбинаторики и комплексного анализа, о чем свидетельствует множество теорем и обозначений, названных в его честь.
Другими выдающимися европейскими математиками XVIII века были Жозеф Луи Лагранж , который провел новаторскую работу в области теории чисел, алгебры, дифференциального исчисления и вариационного исчисления, и Пьер-Симон Лаплас , который во времена Наполеона проделал важную работу по основам небесной механики и статистики .
На протяжении 19 века математика становилась все более абстрактной. [192] Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) олицетворяет эту тенденцию. [ требуется ссылка ] Он проделал революционную работу по функциям комплексных переменных , по геометрии и по сходимости рядов , оставив в стороне свой многочисленный вклад в науку. Он также дал первые удовлетворительные доказательства основной теоремы алгебры и квадратичного закона взаимности . [ требуется ссылка ]
В этом столетии развивались две формы неевклидовой геометрии , где постулат параллельности евклидовой геометрии больше не выполняется. Русский математик Николай Иванович Лобачевский и его соперник, венгерский математик Янош Бойяи , независимо друг от друга определили и изучили гиперболическую геометрию , где единственность параллелей больше не выполняется. В этой геометрии сумма углов в треугольнике составляет менее 180°. Эллиптическая геометрия была разработана позже в 19 веке немецким математиком Бернхардом Риманом ; здесь не может быть найдено ни одной параллели, а углы в треугольнике составляют в сумме более 180°. Риман также разработал риманову геометрию , которая объединяет и значительно обобщает три типа геометрии, и он определил концепцию многообразия , которая обобщает идеи кривых и поверхностей , и заложил математические основы для общей теории относительности . [193]
В XIX веке началось развитие абстрактной алгебры . Герман Грассман в Германии дал первую версию векторных пространств , Уильям Роуэн Гамильтон в Ирландии разработал некоммутативную алгебру . [ требуется ссылка ] Британский математик Джордж Буль разработал алгебру, которая вскоре превратилась в то, что сейчас называется булевой алгеброй , в которой единственными числами были 0 и 1. Булева алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важные приложения в электротехнике и информатике . [ требуется ссылка ] Огюстен-Луи Коши , Бернхард Риман и Карл Вейерштрасс переформулировали исчисление в более строгой форме. [ требуется ссылка ]
Также впервые были исследованы пределы математики. Нильс Хенрик Абель , норвежец, и Эварист Галуа , француз, доказали, что не существует общего алгебраического метода для решения полиномиальных уравнений степени выше четвёртой ( теорема Абеля–Руффини ). [194] Другие математики 19-го века использовали это в своих доказательствах того, что линейки и циркуля недостаточно для трисекции произвольного угла , для построения стороны куба, вдвое большей объёма данного куба, или для построения квадрата, равного по площади данному кругу . [ требуется цитирование ] Математики тщетно пытались решить все эти проблемы со времён древних греков. [ требуется цитирование ] С другой стороны, ограничение трёх измерений в геометрии было преодолено в 19-м веке с помощью соображений пространства параметров и гиперкомплексных чисел . [ требуется цитирование ]
Исследования Абеля и Галуа в области решений различных полиномиальных уравнений заложили основу для дальнейшего развития теории групп и связанных с ней областей абстрактной алгебры . В 20 веке физики и другие ученые рассматривали теорию групп как идеальный способ изучения симметрии . [ требуется ссылка ]
В конце 19 века Георг Кантор заложил первые основы теории множеств , что позволило строго рассмотреть понятие бесконечности и стало общим языком почти всей математики. Теория множеств Кантора и развитие математической логики в руках Пеано , Л. Э. Дж. Брауэра , Дэвида Гильберта , Бертрана Рассела и А. Н. Уайтхеда положили начало длительным дебатам об основаниях математики . [ требуется ссылка ]
В XIX веке было основано несколько национальных математических обществ: Лондонское математическое общество в 1865 году, [195] Французское математическое общество в 1872 году, [196] Математическое общество Палермо в 1884 году, [197] [198] Эдинбургское математическое общество в 1883 году, [199] и Американское математическое общество в 1888 году. [200] Первое международное общество специальных интересов, Общество кватернионов , было образовано в 1899 году в контексте векторного спора . [201]
В 1897 году Курт Гензель ввел p-адические числа . [202]
В 20 веке математика стала основной профессией. К концу века ежегодно присуждались тысячи новых докторских степеней по математике, и появились рабочие места как в сфере преподавания, так и в промышленности. [203] Попытка каталогизировать области и приложения математики была предпринята в энциклопедии Клейна . [204]
В своей речи на Международном конгрессе математиков в 1900 году Дэвид Гильберт составил список из 23 нерешенных проблем математики . [205] Эти проблемы, охватывающие многие области математики, стали центральным направлением для большей части математики 20-го века. На сегодняшний день решено 10 из них, решено частично 7 и 2 все еще открыты. Остальные 4 сформулированы слишком вольно, чтобы можно было сказать, решены они или нет. [ необходима цитата ]
Наконец, были доказаны примечательные исторические гипотезы. В 1976 году Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель доказали теорему о четырёх красках , спорную в то время для использования компьютера для этого. [206] Эндрю Уайлс , опираясь на работу других, доказал Великую теорему Ферма в 1995 году. [207] Пол Коэн и Курт Гёдель доказали, что гипотеза континуума независима от (не может быть ни доказана, ни опровергнута) стандартных аксиом теории множеств . [208] В 1998 году Томас Каллистер Хейлс доказал гипотезу Кеплера , также используя компьютер. [209]
Математическое сотрудничество беспрецедентного размера и охвата имело место. Примером является классификация конечных простых групп (также называемая «огромной теоремой»), доказательство которой между 1955 и 2004 годами потребовало более 500 журнальных статей примерно от 100 авторов и заполнение десятков тысяч страниц. [210] Группа французских математиков, включая Жана Дьедонне и Андре Вейля , публикующихся под псевдонимом « Николя Бурбаки », попыталась изложить всю известную математику как связное строгое целое. Получившиеся несколько десятков томов оказали противоречивое влияние на математическое образование. [211]
Дифференциальная геометрия обрела самостоятельность, когда Альберт Эйнштейн применил ее в общей теории относительности . [ требуется ссылка ] Совершенно новые области математики, такие как математическая логика , топология и теория игр Джона фон Неймана, изменили типы вопросов, на которые можно было ответить с помощью математических методов. [ требуется ссылка ] Все виды структур были абстрагированы с помощью аксиом и получили такие названия, как метрические пространства , топологические пространства и т. д. [ требуется ссылка ] Как это делают математики, само понятие абстрактной структуры было абстрагировано и привело к теории категорий . [ требуется ссылка ] Гротендик и Серр переработали алгебраическую геометрию, используя теорию пучков . [ требуется ссылка ] Большие успехи были достигнуты в качественном изучении динамических систем, которое Пуанкаре начал в 1890-х годах. [ требуется ссылка ] Теория меры была разработана в конце 19-го и начале 20-го веков. Приложения мер включают интеграл Лебега , аксиоматизацию теории вероятностей Колмогорова и эргодическую теорию . [ требуется ссылка ] Теория узлов значительно расширилась. [ требуется ссылка ] Квантовая механика привела к развитию функционального анализа . [ требуется ссылка ] Другие новые области включают теорию распределений Лорана Шварца , теорию неподвижной точки , теорию особенностей и теорию катастроф Рене Тома , теорию моделей и фракталы Мандельброта . [ требуется ссылка ] Теория Ли с ее группами Ли и алгебрами Ли стала одной из основных областей изучения. [ требуется ссылка ]
Нестандартный анализ , представленный Абрахамом Робинсоном , реабилитировал бесконечно малый подход к исчислению, который впал в дурную славу в пользу теории пределов , расширив область действительных чисел до гиперреальных чисел , которые включают бесконечно малые и бесконечные величины. [ требуется ссылка ] Еще более крупная числовая система, сюрреалистические числа, была открыта Джоном Хортоном Конвеем в связи с комбинаторными играми . [ требуется ссылка ]
Развитие и постоянное совершенствование компьютеров , сначала механических аналоговых машин, а затем цифровых электронных машин, позволило промышленности иметь дело со все большими и большими объемами данных для облегчения массового производства, распространения и связи, и для решения этой задачи были разработаны новые области математики: теория вычислимости Алана Тьюринга ; теория сложности ; использование Дерриком Генри Лемером ENIAC для дальнейшего развития теории чисел и теста простоты Лукаса-Лемера ; теория рекурсивных функций Рожи Петера ; теория информации Клода Шеннона ; обработка сигналов ; анализ данных ; оптимизация и другие области исследования операций . [ необходима ссылка ] В предыдущие столетия основное внимание математиков уделялось исчислению и непрерывным функциям, но развитие вычислительных и коммуникационных сетей привело к повышению значимости дискретных концепций и расширению комбинаторики , включая теорию графов . Скорость и возможности обработки данных компьютеров также позволили решать математические задачи, которые были слишком трудоемкими для выполнения с помощью карандаша и бумаги, что привело к появлению таких областей, как численный анализ и символьные вычисления . [ требуется ссылка ] Некоторые из наиболее важных методов и алгоритмов 20-го века: симплексный алгоритм , быстрое преобразование Фурье , коды с исправлением ошибок , фильтр Калмана из теории управления и алгоритм RSA криптографии с открытым ключом . [ требуется ссылка ]
В то же время были сделаны глубокие выводы об ограничениях математики. В 1929 и 1930 годах было доказано [ кем? ], что истинность или ложность всех утверждений, сформулированных о натуральных числах плюс либо сложение, либо умножение (но не оба), разрешима , т. е. может быть определена с помощью некоторого алгоритма. [ требуется ссылка ] В 1931 году Курт Гёдель обнаружил, что это не относится к натуральным числам плюс как сложение, так и умножение; эта система, известная как арифметика Пеано , на самом деле была неполной . (Арифметика Пеано подходит для значительной части теории чисел , включая понятие простого числа .) Следствием двух теорем Гёделя о неполноте является то, что в любой математической системе, которая включает арифметику Пеано (включая весь анализ и геометрию), истина обязательно опережает доказательство, т. е. существуют истинные утверждения, которые не могут быть доказаны в рамках системы. Следовательно, математику нельзя свести к математической логике, и мечту Дэвида Гильберта о том, чтобы сделать всю математику полной и непротиворечивой, необходимо было переформулировать. [ необходима цитата ]
Одной из самых ярких фигур в математике 20-го века был Шриниваса Айянгар Рамануджан (1887–1920), индийский самоучка [212], который предположил или доказал более 3000 теорем [ требуется ссылка ] , включая свойства высокосоставных чисел , [213] функцию распределения [212] и ее асимптотику , [214] и фиктивные тета-функции . [212] Он также провел крупные исследования в области гамма-функций , [215] [216] модулярных форм , [212] расходящихся рядов , [212] гипергеометрических рядов [212] и теории простых чисел. [212]
Пол Эрдёш опубликовал больше статей, чем любой другой математик в истории, [217] работая с сотнями соавторов. У математиков есть игра, эквивалентная игре Кевина Бэкона , которая приводит к числу Эрдёша математика. Оно описывает «дистанцию сотрудничества» между человеком и Эрдёшем, измеряемую совместным авторством математических статей. [218] [219]
Эмми Нётер многими описывалась как самая важная женщина в истории математики. [220] Она изучала теории колец , полей и алгебр . [221]
Как и в большинстве областей изучения, взрыв знаний в научный век привел к специализации: к концу века в математике существовали сотни специализированных областей, а Классификация предметов математики состояла из десятков страниц. [222] Публиковалось все больше и больше математических журналов , и к концу века развитие Всемирной паутины привело к появлению онлайн-публикаций. [ необходима цитата ]
В 2000 году Математический институт Клэя объявил о семи задачах Премии тысячелетия . [223] В 2003 году гипотеза Пуанкаре была решена Григорием Перельманом (который отказался принять награду, поскольку критиковал математическое сообщество). [224]
Большинство математических журналов теперь имеют как онлайн-версии, так и печатные версии, и многие журналы, доступные только в онлайн-формате, были запущены. [225] [226] Растет стремление к публикации в открытом доступе , впервые ставшее популярным благодаря arXiv . [ требуется ссылка ]
В математике наблюдается множество наблюдаемых тенденций, наиболее заметной из которых является то, что предмет становится все более обширным, поскольку компьютеры становятся все более важными и мощными; объем данных, производимых наукой и промышленностью с помощью компьютеров, продолжает расти экспоненциально. В результате наблюдается соответствующий рост спроса на математику для помощи в обработке и понимании этих больших данных . [227] Ожидается, что карьеры в области математических наук также продолжат расти, при этом Бюро статистики труда США оценило (в 2018 году), что «занятость в математических науках, по прогнозам, вырастет на 27,9 процента с 2016 по 2026 год». [228]
{{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь ) Гл. IV «Египетская математика и астрономия», стр. 71–96.К 766 году мы узнаем, что астрономо-математический труд, известный арабам как Sindhind , был привезен в Багдад из Индии. Обычно считается, что это была Brahmasphuta Siddhanata , хотя это могла быть Surya Siddhanata . Несколько лет спустя, возможно, около 775 года, эта Siddhanata была переведена на арабский язык, и вскоре после этого (около 780 года) астрологический Tetrabiblos Птолемея был переведен на арабский язык с греческого.
{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )Один пример, который я могу вам привести, относится к демонстрации индийским Мадхавой, примерно в 1400 г. н. э., бесконечного степенного ряда тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов. Когда это было впервые описано на английском языке
Чарльзом Уишем
в 1830-х годах, это было объявлено открытием индийцами исчисления. Это утверждение и достижения Мадхавы были проигнорированы западными историками, предположительно, сначала потому, что они не могли признать, что индиец открыл исчисление, но позже потому, что никто больше не читал Transactions
of the Royal Asiatic Society
, в которых была опубликована статья Уиша. Этот вопрос снова всплыл в 1950-х годах, и теперь у нас есть санскритские тексты, должным образом отредактированные, и мы понимаем, каким умным способом Мадхава вывел ряд
без
исчисления; но многие историки по-прежнему считают невозможным представить себе проблему и ее решение в терминах чего-либо иного, кроме исчисления, и заявляют, что исчисление — это то, что нашел Мадхава. В этом случае элегантность и блеск математики Мадхавы искажаются, поскольку они похоронены под текущим математическим решением проблемы, для которой он открыл альтернативное и мощное решение.
Нередко в обсуждениях индийской математики встречаются такие утверждения, как, например, что «концепция дифференциации была понята [в Индии] со времен Манджулы (... в 10 веке)» [Джозеф 1991, 300], или что «мы можем считать Мадхаву основателем математического анализа» (Джозеф 1991, 293), или что Бхаскара II может претендовать на звание «предшественника Ньютона и Лейбница в открытии принципа дифференциального исчисления» (Баг 1979, 294)... Сходства, особенно между ранним европейским исчислением и керальскими работами по степенным рядам, даже вдохновили на предположения о возможной передаче математических идей с побережья Малабара в 15 веке или позже в латинский научный мир (например, в (Баг 1979, 285))... Однако следует иметь в виду, что такой акцент на сходстве санскритской (или малаяламской) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью видеть и понимать первую. Говоря об индийском «открытии принципа дифференциального исчисления», мы несколько затемняем тот факт, что индийские методы выражения изменений в синусе посредством косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в пределах этого специфического тригонометрического контекста. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции – на самом деле, явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения
Николь Орем ... был первым, кто доказал расходимость гармонического ряда (ок. 1350). Его результаты были утеряны на несколько столетий, и результат был снова доказан итальянским математиком Пьетро Менголи в 1647 году и швейцарским математиком Иоганном Бернулли в 1687 году.
{{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )