КК-теория

Теория в математике

В математике КК- теория является общим обобщением как К-гомологии, так и К-теории как аддитивного бивариантного функтора на сепарабельных С*-алгебрах . Это понятие было введено российским математиком Геннадием Каспаровым ^[1] в 1980 году.

На него повлияла концепция Атьи о модулях Фредгольма для теоремы об индексе Атьи-Зингера и классификация расширений C *-алгебр Лоуренса Г. Брауна , Рональда Г. Дугласа и Питера Артура Филлмора в 1977 году ^. , он имел большой успех в операторно-алгебраическом формализме в теории индекса и классификации ядерных C*-алгебр , поскольку был ключом к решению многих проблем операторной K-теории, таких, например, как простое вычисление К - групп. Более того, это сыграло важную роль в развитии гипотезы Баума – Конна и играет решающую роль в некоммутативной топологии .

За КК- теорией последовала серия подобных бифункторных конструкций, таких как Е- теория и бивариантная периодическая циклическая теория, большинство из которых имели более теоретико-категориальный оттенок или относились к другому классу алгебр, а не к классу сепарабельных C *-. алгебры или включение групповых действий .

Определение

Следующее определение весьма близко к тому, которое первоначально дал Каспаров. Именно в такой форме возникает большинство КК-элементов в приложениях.

Пусть A и B — сепарабельные C *-алгебры, где B также предполагается σ-унитальной. Множество циклов — это множество троек ( H , ρ, F ), где H — счетнопорожденный градуированный гильбертовый модуль над B , ρ — *-представление A в H как четные ограниченные операторы, коммутирующие с B , и F — ограниченный оператор в H степени 1, который снова коммутирует с B . Они обязаны выполнить условие, согласно которому

${\displaystyle [F,\rho (a)],(F^{2}-1)\rho (a),(F-F^{*})\rho (a)}$

для a в A все B -компактные операторы. Цикл называется вырожденным, если все три выражения равны 0 для всех a .

Два цикла называются гомологичными или гомотопными, если существует цикл между A и IB , где IB обозначает C *-алгебру непрерывных функций от [0,1] до B , такую, что существует четный унитарный оператор из 0-конец гомотопии первого цикла и унитарный оператор из 1-конца гомотопии второго цикла.

Тогда KK -группа KK(A, B) между A и B определяется как множество циклов по гомотопическому модулю. Она становится абелевой группой при операции прямой суммы бимодулей как сложения и классе вырожденных модулей как ее нейтральном элементе.

Существуют различные, но эквивалентные определения КК-теории, в частности определение Иоахима Кунца ^[3], которое исключает из картины бимодуль и «фредгольмовский» оператор F и полностью ставит акцент на гомоморфизме ρ. Точнее, его можно определить как множество гомотопических классов

${\displaystyle KK(A,B)=[qA,K(H)\otimes B]}$,

*-гомоморфизмов из классифицирующей алгебры квазигомоморфизмов qA в C *-алгебру компактных операторов бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства, тензорированного с B . Здесь qA определяется как ядро ​​отображения C *-алгебраического свободного произведения A * A A на самого себя в A , определенное тождеством для обоих множителей.

Характеристики

Если взять C *-алгебру C комплексных чисел в качестве первого аргумента KK , как в KK ( C , B ) _, эта аддитивная группа естественным образом изоморфна K0 _- группе K0 ( B ) второго аргумента B. С точки зрения Кунца, K ₀ -класс B есть не что иное, как гомотопический класс *-гомоморфизмов от комплексных чисел до стабилизации B . Аналогично _, если в качестве первого аргумента взять алгебру C0 ( R ) непрерывных функций на действительной прямой, убывающей на бесконечности, то полученная группа _KK ( C0 ( R ) , B ) естественно изоморфна K1 ( B ) _.

Важным свойством КК- теории является так называемое произведение Каспарова , или композиционное произведение,

${\displaystyle KK(A,B)\times KK(B,C)\to KK(A,C)}$,

которая билинейна относительно аддитивных групповых структур. В частности, каждый элемент KK ( A , B ) дает гомоморфизм K _* ( A ) → K _* ( B ) и другой гомоморфизм K * ( B ) → K * ( A ).

Произведение гораздо проще определить в картине Кунца, если учесть, что существуют естественные отображения из QA в A и из B в K ( H ) ⊗ B , которые индуцируют KK -эквивалентности.

Произведение композиции дает новую категорию , объекты которой задаются сепарабельными C *-алгебрами, а морфизмы между ними задаются элементами соответствующих KK-групп. Более того, любой *-гомоморфизм A в B индуцирует элемент из KK ( A , B ) и это соответствие дает функтор из исходной категории сепарабельных C *-алгебр в . Приблизительно внутренние автоморфизмы алгебр становятся тождественными морфизмами в . ${\displaystyle {\mathsf {KK}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KK}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KK}}}$

Этот функтор является универсальным среди расщепляюще точных, гомотопически инвариантных и устойчивых аддитивных функторов на категории сепарабельных C *-алгебр. Любая такая теория удовлетворяет периодичности Ботта в соответствующем смысле, поскольку так оно и есть. ${\displaystyle {\mathsf {C^{*}\!-\!alg}}\to {\mathsf {KK}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KK}}}$

Произведение Каспарова можно обобщить до следующего вида:

${\displaystyle KK(A,B\otimes E)\times KK(B\otimes D,C)\to KK(A\otimes D,C\otimes E).}$

В качестве особых случаев он содержит не только K-теоретическую чашку , но также K-теоретическую шапку , крестовые и наклонные произведения и продукт расширений.

Примечания

1. Г. Каспаров. Операторный К-функтор и расширения С*-алгебр. Изв. Акад. Наук. СССР сер. Мат. 44 (1980), 571-636
2. Браун, LG; Дуглас, Р.Г.; Филлмор, П.А., «Расширения C*-алгебр и K-гомологии», Annals of Mathematics (2) 105 (1977), вып. 2, 265–324. МР 0458196
3. Дж. Кунц. Новый взгляд на КК-теорию. К-Теория 1 (1987), 31-51

Рекомендации

• Б. Блэкадар, Операторные алгебры: теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана, Энциклопедия математических наук 122 , Springer (2005)
• А. Конн, Некоммутативная геометрия , Academic Press (1994).

Внешние ссылки

• КК-теория в n Lab
• Электронная теория в n Lab