Каноническая основа

Основа типа алгебраической структуры

В математике канонический базис — это базис алгебраической структуры , который является каноническим в том смысле, который зависит от точного контекста:

• В координатном пространстве и, в более общем смысле, в свободном модуле это относится к стандартному базису, определяемому символом Кронекера .
• В кольце многочленов это относится к его стандартному базису, заданному мономами , . ${\displaystyle (X^{i})_{i}}$
• Для конечных полей расширения это означает полиномиальный базис .
• В линейной алгебре это относится к набору из n линейно независимых обобщенных собственных векторов матрицы n × n , если набор состоит исключительно из жордановых цепей . ^[1] ${\displaystyle A}$
• В теории представлений это относится к основе квантовых групп, введенных Люстигом.

Теория представления

Канонический базис для неприводимых представлений квантованной обертывающей алгебры типа , а также для плюсовой части этой алгебры был введен Люстигом ^[2] двумя методами: алгебраическим (с использованием действия группы кос и базисов ПБВ) и топологическим (с использованием когомологий пересечений). Специализация параметра до дает канонический базис для неприводимых представлений соответствующей простой алгебры Ли, который ранее не был известен. Специализация параметра до дает что-то вроде тени базиса. Эта тень (но не сам базис) для случая неприводимых представлений была независимо рассмотрена Кашиварой [3]; ^[3] ее иногда называют кристаллическим базисом . Определение канонического базиса было распространено на установку Каца-Муди Кашиварой ^[4] (алгебраическим методом) и Люстигом ^[5] (топологическим методом). ${\displaystyle ADE}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=0}$

В основе этих баз лежит общая концепция:

Рассмотрим кольцо целочисленных многочленов Лорана с двумя его подкольцами и автоморфизмом, определяемым соотношением . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }:=\mathbb {Z} \left[v^{\pm 1}\right]}$ ${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$ ${\displaystyle {\overline {v}}:=v^{-1}}$

Предканоническая структура на свободном -модуле состоит из ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle F}$

• Стандартная основа ,​​ ${\displaystyle (t_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle F}$
• Интервал конечного частичного порядка на , то есть конечен для всех , ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (-\infty ,i]:=\{j\in I\mid j\leq i\}}$ ${\displaystyle i\in I}$
• Операция дуализации, то есть биекция второго порядка, которая является полулинейной и будет обозначаться также. ${\displaystyle F\to F}$ ${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$ ${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$

Если задана предканоническая структура, то можно определить подмодуль . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }}$ ${\textstyle F^{\pm }:=\sum {\mathcal {Z}}^{\pm }t_{j}}$ ${\displaystyle F}$

Каноническим базисом доканонической структуры тогда является -базис , удовлетворяющий : ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle (c_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle F}$

• ${\displaystyle {\overline {c_{i}}}=c_{i}}$и
• ${\displaystyle c_{i}\in \sum _{j\leq i}{\mathcal {Z}}^{+}t_{j}{\text{ and }}c_{i}\equiv t_{i}\mod vF^{+}}$

для всех . ${\displaystyle i\in I}$

Можно показать, что существует не более одного канонического базиса для каждой предканонической структуры. ^[6] Достаточным условием существования является то, что полиномы, определяемые как , удовлетворяют и . ${\displaystyle r_{ij}\in {\mathcal {Z}}}$ ${\textstyle {\overline {t_{j}}}=\sum _{i}r_{ij}t_{i}}$ ${\displaystyle r_{ii}=1}$ ${\displaystyle r_{ij}\neq 0\implies i\leq j}$

Канонический базис индуцирует изоморфизм из в . ${\displaystyle \textstyle F^{+}\cap {\overline {F^{+}}}=\sum _{i}\mathbb {Z} c_{i}}$ ${\displaystyle F^{+}/vF^{+}}$

Алгебры Гекке

Пусть будет группой Коксетера . Соответствующая алгебра Ивахори-Гекке имеет стандартный базис , группа частично упорядочена порядком Брюа , который является интервально конечным и имеет операцию дуализации, определенную как . Это предканоническая структура на , которая удовлетворяет достаточному условию выше, а соответствующий канонический базис является базисом Каждана–Люстига ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (T_{w})_{w\in W}}$ ${\displaystyle {\overline {T_{w}}}:=T_{w^{-1}}^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle C_{w}'=\sum _{y\leq w}P_{y,w}(v^{2})T_{w}}$

причем являются полиномами Каждана–Люстига . ${\displaystyle P_{y,w}}$

Линейная алгебра

Если нам дана матрица n × n и мы хотим найти матрицу в жордановой нормальной форме , подобную , нас интересуют только наборы линейно независимых обобщенных собственных векторов. Матрица в жордановой нормальной форме является "почти диагональной матрицей", то есть максимально близкой к диагональной. Диагональная матрица является частным случаем матрицы в жордановой нормальной форме. Обычный собственный вектор является частным случаем обобщенного собственного вектора. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$

Каждая матрица n × n имеет n линейно независимых обобщенных собственных векторов. Обобщенные собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям , линейно независимы. Если — собственное значение алгебраической кратности , то будет иметь линейно независимые обобщенные собственные векторы, соответствующие . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

Для любой заданной матрицы n × n существует бесконечно много способов выбрать n линейно независимых обобщенных собственных векторов. Если они выбраны особенно разумным образом, мы можем использовать эти векторы, чтобы показать, что похож на матрицу в жордановой нормальной форме. В частности, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Определение: Набор из n линейно независимых обобщенных собственных векторов является каноническим базисом, если он полностью состоит из жордановых цепей.

Таким образом, как только мы определили, что обобщенный собственный вектор ранга m находится в каноническом базисе, отсюда следует, что m − 1 векторов , которые находятся в жордановой цепочке, порожденной , также находятся в каноническом базисе. ^[7] ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$

Вычисление

Пусть будет собственным значением алгебраической кратности . Сначала найдем ранги (матричные ранги) матриц . Целое число определяется как первое целое число, для которого имеет ранг ( n — число строк или столбцов , то есть n × n ) . ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ ${\displaystyle n-\mu _{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Теперь определим

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

Переменная обозначает число линейно независимых обобщенных собственных векторов ранга k (ранг обобщенного собственного вектора; см. обобщенный собственный вектор ), соответствующих собственному значению , которое появится в каноническом базисе для . Обратите внимание, что ${\displaystyle \rho _{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n.}$

После того, как мы определили число обобщенных собственных векторов каждого ранга, которые имеет канонический базис, мы можем получить векторы явно (см. обобщенный собственный вектор ). ^[8]

Пример

Этот пример иллюстрирует канонический базис с двумя жордановыми цепями. К сожалению, немного сложно построить интересный пример низкого порядка. ^[9] Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&1&1&0&0&-1\\0&4&2&0&0&1\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&5&1&0\\0&0&0&0&5&2\\0&0&0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

имеет собственные значения и с алгебраическими кратностями и , но геометрическими кратностями и . ${\displaystyle \lambda _{1}=4}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=5}$ ${\displaystyle \mu _{1}=4}$ ${\displaystyle \mu _{2}=2}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=1}$

Ибо у нас есть ${\displaystyle \lambda _{1}=4,}$ ${\displaystyle n-\mu _{1}=6-4=2,}$

${\displaystyle (A-4I)}$имеет ранг 5,

${\displaystyle (A-4I)^{2}}$имеет ранг 4,

${\displaystyle (A-4I)^{3}}$имеет ранг 3,

${\displaystyle (A-4I)^{4}}$имеет ранг 2.

Поэтому ${\displaystyle m_{1}=4.}$

${\displaystyle \rho _{4}=\operatorname {rank} (A-4I)^{3}-\operatorname {rank} (A-4I)^{4}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-4I)^{2}-\operatorname {rank} (A-4I)^{3}=4-3=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-4I)^{1}-\operatorname {rank} (A-4I)^{2}=5-4=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-4I)^{0}-\operatorname {rank} (A-4I)^{1}=6-5=1.}$

Таким образом, канонический базис для будет иметь, соответствующие одному обобщенному собственному вектору каждого ранга 4, 3, 2 и 1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=4,}$

Ибо у нас есть ${\displaystyle \lambda _{2}=5,}$ ${\displaystyle n-\mu _{2}=6-2=4,}$

${\displaystyle (A-5I)}$имеет ранг 5,

${\displaystyle (A-5I)^{2}}$имеет ранг 4.

Поэтому ${\displaystyle m_{2}=2.}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=5-4=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=6-5=1.}$

Таким образом, канонический базис для будет иметь, соответствующие одному обобщенному собственному вектору каждого ранга 2 и 1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=5,}$

Канонической основой для является ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{4},\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}-4\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-27\\-4\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}25\\-25\\-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\36\\-12\\-2\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-8\\-4\\-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$— обычный собственный вектор, связанный с . и — обобщенные собственные векторы, связанные с . — обычный собственный вектор, связанный с . — обобщенный собственный вектор, связанный с . ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{4}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

Матрица в жордановой нормальной форме, подобная , получается следующим образом: ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {x} _{4}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-27&25&0&3&-8\\0&-4&-25&36&2&-4\\0&0&-2&-12&1&-1\\0&0&0&-2&1&0\\0&0&0&2&0&1\\0&0&0&-1&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&1&0&0&0&0\\0&4&1&0&0&0\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

где матрица является обобщенной модальной матрицей для и . ^[10] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AM=MJ}$

Смотрите также

• Каноническая форма
• Изменение основы
• Нормальная основа
• Нормальная форма (разрешение неоднозначности)
• Полиномиальный базис

Примечания

1. Бронсон (1970, стр. 196)
2. Люстиг (1990)
3. Касивара (1990)
4. Касивара (1991)
5. Люстиг (1991)
6. Люстиг (1993, стр. 194)
7. Бронсон (1970, стр. 196, 197)
8. Бронсон (1970, стр. 197, 198)
9. Неринг (1970, стр. 122, 123)
10. Бронсон (1970, стр. 203)

Ссылки

• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN  70097490
• Дэн, Бангминг; Цзюй, Цзе; Паршалл, Брайан; Ван, Цзяньпань (2008), Конечномерные алгебры и квантовые группы, Математические обзоры и монографии, т. 150, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 9780821875315
• Кашивара, Масаки (1990), «Кристаллизация q-аналога универсальных обёртывающих алгебр», Сообщения по математической физике , 133 (2): 249–260, Bibcode : 1990CMaPh.133..249K, doi : 10.1007/bf02097367, ISSN  0010-3616, MR  1090425, S2CID  121695684
• Кашивара, Масаки (1991), «О кристаллических базисах q-аналога универсальных обертывающих алгебр», Duke Mathematical Journal , 63 (2): 465–516, doi :10.1215/S0012-7094-91-06321-0, ISSN  0012-7094, MR  1115118
• Люстиг, Джордж (1990), «Канонические базисы, возникающие из квантованных обертывающих алгебр», Журнал Американского математического общества , 3 (2): 447–498, doi : 10.2307/1990961 , ISSN  0894-0347, JSTOR  1990961, MR  1035415
• Люстиг, Джордж (1991), «Колчаны, извращенные пучки и квантованные обертывающие алгебры», Журнал Американского математического общества , 4 (2): 365–421, doi : 10.2307/2939279 , ISSN  0894-0347, JSTOR  2939279, MR  1088333
• Люстиг, Джордж (1993), Введение в квантовые группы , Бостон, Массачусетс: Birkhauser Boston, ISBN 0-8176-3712-5, МР  1227098
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646