Каппа-кривая

Каппа-кривая имеет две вертикальные асимптоты.

В геометрии каппа -кривая или кривая Гучовена — это двумерная алгебраическая кривая , напоминающая греческую букву ϰ (каппа) . Кривая каппа была впервые изучена Жераром ван Гутшовеном около 1662 года. В истории математики она запомнилась как один из первых примеров применения Исааком Барроу элементарных методов исчисления для определения тангенса кривой. Впоследствии исследования этой кривой продолжили Исаак Ньютон и Иоганн Бернулли .

Используя декартову систему координат , это можно выразить как

${\displaystyle x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=a^{2}y^{2}}$

или, используя параметрические уравнения ,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin t,\\y&=a\sin t\tan t.\end{aligned}}}$

В полярных координатах его уравнение еще проще:

${\displaystyle r=a\tan \theta .}$

Он имеет две вертикальные асимптоты при x = ± a , показанные пунктирными синими линиями на рисунке справа.

Кривизна каппа- кривой :

${\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {8\left(3-\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{4}\theta }{a\left(\sin ^{2}(2\theta )+4\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Тангенциальный угол:

${\displaystyle \phi (\theta )=-\arctan \left({\tfrac {1}{2}}\sin(2\theta )\right).}$

Касательные через бесконечно малые

Касательные линии каппа-кривой также можно определить геометрически с помощью дифференциалов и элементарных правил бесконечно малой арифметики. Предположим, что x и y — переменные, а a — константа. Из определения каппа-кривой

${\displaystyle x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}=0}$

Теперь бесконечно малое изменение нашего местоположения должно также изменить значение левой части, поэтому

${\displaystyle d\left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}\right)=0}$

Распределяя дифференциал и применяя соответствующие правила ,

${\displaystyle {\begin{aligned}d\left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)-d\left(a^{2}y^{2}\right)&=0\\[6px](2x\,dx)\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}(2x\,dx+2y\,dy)-a^{2}2y\,dy&=0\\[6px]\left(4x^{3}+2xy^{2}\right)dx+\left(2yx^{2}-2a^{2}y\right)dy&=0\\[6px]x\left(2x^{2}+y^{2}\right)dx+y\left(x^{2}-a^{2}\right)dy&=0\\[6px]{\frac {x\left(2x^{2}+y^{2}\right)}{y\left(a^{2}-x^{2}\right)}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}$

Производная

Если мы используем современную концепцию функциональной зависимости y ( x ) и применяем неявное дифференцирование , наклон касательной к каппа-кривой в точке ( x , y ) будет равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}2x\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}\left(2x+2y{\frac {dy}{dx}}\right)&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\[6px]2x^{3}+2xy^{2}+2x^{3}&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}-2x^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\[6px]4x^{3}+2xy^{2}&=\left(2a^{2}y-2x^{2}y\right){\frac {dy}{dx}}\\[6px]{\frac {2x^{3}+xy^{2}}{a^{2}y-x^{2}y}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}$

Рекомендации

• Лоуренс, Дж. Деннис (1972). Каталог специальных плоских кривых . Нью-Йорк: Дувр. стр. 139–141. ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Каппа». Математический мир .
• Java-апплет для игры с кривой
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Кривая Каппа», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс