Карл Йохан Мальмстен

Шведский математик и политик (1814–1886)

Карл Йохан Мальмстен (9 апреля 1814 года, Уддеторп, округ Скара, Швеция — 11 февраля 1886 года, Уппсала , Швеция) — шведский математик и политик. Он известен ранними исследованиями ^[1] в области теории функций комплексной переменной , оценкой нескольких важных логарифмических интегралов и рядов, исследованиями в области теории рядов и интегралов, связанных с дзета-функцией, а также помощью Миттаг-Леффлеру в создании журнала Acta Mathematica . ^[2] Мальмстен стал доцентом в 1840 году, а затем профессором математики в Уппсальском университете в 1842 году. Он был избран членом Королевской шведской академии наук в 1844 году. Он также был министром без портфеля в 1859–1866 годах и губернатором округа Скараборг в 1866–1879 годах.

Основные вклады

Обычно Мальмстен известен своими ранними работами по комплексному анализу. ^[1] Однако он также внес большой вклад в другие разделы математики, но его результаты были незаслуженно забыты, и многие из них были ошибочно приписаны другим лицам. Так, сравнительно недавно Ярославом Благушиным ^[3] было обнаружено , что Мальмстен был первым, кто оценил несколько важных логарифмических интегралов и рядов, которые тесно связаны с гамма- и дзета-функциями , и среди которых мы можем найти так называемый интеграл Варди и ряд Куммера для логарифма гамма-функции. В частности, в 1842 году он оценил следующие lnln-логарифмические интегралы.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\!{\frac {\,\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{1+x^{2}}}\,dx\,=\,\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2}}}\,dx\,=\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left\{{\frac {\Gamma {(3/4)}}{\Gamma {(1/4)}}}{\sqrt {2\pi \,}}\right\}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x)^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl (}\ln \pi -\ln 2-\gamma {\bigr )},}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}}\,dx=\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,dx={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\sqrt[{6}]{32\pi ^{5}}}{\Gamma {(1/6)}}}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\Gamma {(2/3)}}{\Gamma {(1/3)}}}{\sqrt[{3}]{2\pi }}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{\frac {\scriptstyle \varphi }{\scriptstyle \pi }}\,\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}}\right\},\qquad -\pi <\varphi <\pi }$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \quad =\,{\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac {\pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}{\Gamma \!\left(\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots }$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \qquad ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln 2\pi +{\frac {\pi }{n}}\sum _{l=1}^{n-1}(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}}\right\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{cases}}}$

Подробности и интересный исторический анализ приведены в статье Благушина. ^[3] Многие из этих интегралов были позднее заново открыты различными исследователями, включая Варди, ^[4] Адамчика, ^[5] Медину ^[6] и Молла. ^[7] Более того, некоторые авторы даже назвали первый из этих интегралов в честь Варди, который переоценил его в 1988 году (они называют его интегралом Варди ), и то же самое сделали многие известные интернет-ресурсы, такие как сайт Wolfram MathWorld ^[8] или сайт OEIS Foundation ^[9] (принимая во внимание несомненный приоритет Мальмстена в оценке такого рода логарифмических интегралов, кажется, что название интегралы Мальмстена было бы для них более подходящим ^[3] ). Мальмстен вывел приведенные выше формулы, используя различные представления рядов. В то же время было показано, что их можно также оценить методами контурного интегрирования , ^[3] с использованием дзета-функции Гурвица , ^[5] с использованием полилогарифмов ^[6] и с использованием L-функций . ^[4] Более сложные формы интегралов Мальмстена появляются в работах Адамчика ^[5] и Благушина ^[3] (более 70 интегралов). Ниже приведены несколько примеров таких интегралов.

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{3}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,dx={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,dx=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt {3}}}{\pi }}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx={\frac {2\,\mathrm {G} }{\pi }}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx={\frac {7\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {x}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\!\!\!&\displaystyle {\frac {\,m\pi \,}{\,n\,}}\sum _{l=1}^{n-1}\sin {\dfrac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {l}{n}}\!\right)-\,{\frac {\pi m}{\,2n\,}}\cot {\frac {\pi m}{n}}\cdot \ln \pi n\\[3mm]&\displaystyle -\,{\frac {\,1\,}{2}}\ln \!\left(\!{\frac {\,2\,}{\pi }}\sin {\frac {\,m\pi \,}{n}}\!\right)-\,{\frac {\gamma }{2}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \left(n^{2}-m^{2}\right)\,}{8n^{2}}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)\\[3mm]\displaystyle \,\,+{\frac {\,m\,}{\,8n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\sin {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)-{\frac {\,1\,}{\,32\pi n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi _{1}\!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)+\,{\frac {\,\pi (n^{2}-m^{2})\,}{16n^{2}}}\sec {\dfrac {m\pi }{2n}}\cdot \ln 2\pi n\end{array}}}$

где m и n — положительные целые числа, такие, что m < n , G — постоянная Каталана , ζ обозначает дзета-функцию Римана , Ψ — дигамма-функция , а Ψ ₁ — тригамма-функция ; см. соответственно уравнения (43), (47) и (48) в Adamchik ^[5] для первых трех интегралов и упражнения № 36-a, 36-b, 11-b и 13-b в Blagouchine ^[3] для последних четырех интегралов соответственно (третий интеграл вычисляется в обеих работах). Любопытно, что некоторые интегралы Мальмстена приводят к гамма- и полигамма-функциям комплексного аргумента, которые нечасто встречаются в анализе. Например, как показал Ярослав Blagouchine, ^[3]

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right]+\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi }$

или,

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\,x\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,x\ln \ln {x}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {i}{2\pi }}\right)-\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2\pi }}\right)\!\right]-{\frac {\,\pi ^{2}}{8\,\sinh {2}\,}}-{\frac {\,\ln 2\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}}$

см. упражнения 7-а и 37 соответственно. Кстати, интегралы Мальмстена также оказываются тесно связанными с константами Стилтьеса . ^{[3] [10]}

В 1842 году Мальмстен также оценил несколько важных логарифмических рядов, среди которых мы можем найти эти два ряда

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}$

и

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\,=\,\pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}{\Gamma \left(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma +\ln 2{\big )}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a<\pi .}$

Последняя серия была позднее заново открыта в несколько иной форме Эрнстом Куммером , который вывел похожее выражение

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}=\ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x<1,}$

в 1847 году ^[3] (строго говоря, результат Куммера получается из результата Мальмстена, если положить a=π(2x-1)). Более того, этот ряд даже известен в анализе как ряд Куммера для логарифма гамма -функции , хотя Мальмстен вывел его на 5 лет раньше Куммера.

Мальсмтен также внес заметный вклад в теорию рядов и интегралов, связанных с дзета-функцией. В 1842 году он доказал следующее важное функциональное соотношение для L-функции

${\displaystyle L(s)\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}$

а также для М-функции

${\displaystyle M(s)\equiv {\frac {2}{\sqrt {3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\sin {\frac {\pi n}{3}}\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}$

где в обеих формулах 0<s<1. Первая из этих формул была предложена Леонардом Эйлером уже в 1749 году, ^[11] но именно Мальмстен доказал ее (Эйлер только предложил эту формулу и проверил ее для нескольких целых и полуцелых значений s). Как ни странно, та же самая формула для L(s) была неосознанно переоткрыта Оскаром Шлемильхом в 1849 году (доказательство предоставлено только в 1858 году). ^{[3] [12] [13] [14]} Четыре года спустя Мальмстен вывел несколько других подобных формул отражения, которые оказались частными случаями функционального уравнения Гурвица .

Говоря о вкладе Мальмстена в теорию дзета-функций, нельзя не упомянуть совсем недавно обнаруженное им авторство формулы отражения для первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональном аргументе.

${\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}}$

где m и n — положительные целые числа, такие, что m < n . Это тождество было выведено, хотя и в несколько иной форме, Мальмстеном уже в 1846 году и было также открыто независимо несколько раз разными авторами. В частности, в литературе, посвященной константам Стилтьеса , его часто приписывают Альмквисту и Мейерману, которые вывели его в 1990-х годах. ^[10]

Ссылки

1. Мальмстен, CJ (1867). «Ом определенный интеграл лучшего воображения». К. Вет. Акад. Ручка. (на шведском языке). 6 (3). Стокгольм: PA Norstedt & Söner: 1–18.
2. Gårding, Lars (1998). Математика и математики: Математика в Швеции до 1950 года . История математики. Т. 13. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi : 10.1090/hmath/013. ISBN 978-0-8218-0612-8. МР  1488153.
3. Blagouchine, Iaroslav V. (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты». Ramanujan J . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. ISSN  1382-4090. MR  3258600. S2CID  254986780.Blagouchine, Iaroslav V. (2017). "Erratum and addendum to: Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты [Ramanujan J. (2014), 35:21–110]". Ramanujan J . 42 (3): 777–781. doi :10.1007/s11139-015-9763-z. ISSN  1382-4090. MR  3625019. S2CID  254982221.PDF
4. Vardi, Ilan (1988). «Интегралы, введение в аналитическую теорию чисел». Amer. Math. Monthly . 95 (4): 308–315. doi :10.2307/2323562. ISSN  0002-9890. JSTOR  2323562. MR  0935205.
5. В. Адамчик Класс логарифмических интегралов. Труды Международного симпозиума по символическим и алгебраическим вычислениям 1997 г., стр. 1-8, 1997.
6. Медина, Луис А.; Молл, Виктор Х. (2009). «Класс логарифмических интегралов». Ramanujan J . 20 (1): 91–126. arXiv : 0808.2750 . doi :10.1007/s11139-008-9148-7. ISSN  1382-4090. MR  2546186. S2CID  115174350.
7. VH Moll Некоторые вопросы оценки определенных интегралов. Краткий курс MAA, Сан-Антонио, Техас. Январь 2006 г.
8. Эрик В. Вайсштейн Интеграл Варди. Из MathWorld – веб-ресурса Wolfram.
9. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A115252". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
10. Blagouchine, Iaroslav V. (2015). «Теорема для вычисления в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторые связанные с ней суммирования». J. Number Theory . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . doi :10.1016/j.jnt.2014.08.009. ISSN  0022-314X. MR  3283193.Blagouchine, Iaroslav V. (2015). "Erratum to "A Theorem for the close-form evaluation of the first generalized Stieltjes Constant at rational arguments and some related summations" [J. Number Theory 148 (2015) 537–592]". J. Number Theory . 151 : 276–277. arXiv : 1401.3724 . doi :10.1016/j.jnt.2015.01.001. ISSN  0022-314X. MR  3314214.Blagouchine, Iaroslav V. (23 февраля 2015 г.). «Теорема для вычисления в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторые связанные с ней суммирования». Journal of Number Theory . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724v3 . doi :10.1016/J.JNT.2014.08.009.
11. Л. Эйлер Ремарк о прекрасном взаимопонимании между сериями сил, которые направляют взаимность. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Letres, année MDCCLXI, Том 17, стр. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l'Académie Royale, 1768 г. [прочитано в 1749 г.]
12. Харди, ГХ (1949). Дивергентная серия. Лондон: Oxford University Press. MR  0030620.
13. H. Wieleitner Geschichte der Mathematik [в 2-х томах] Берлин, 1922-1923.
14. Дутка, Жак (1996). «О суммировании некоторых расходящихся рядов Эйлера и дзета-функций». Архив для History of Exact Sciences . 50 (2): 187–200. doi :10.1007/BF02327158.