Каскадный интегратор – гребенчатый фильтр

В цифровой обработке сигналов каскадный интегратор-гребенка (CIC) представляет собой эффективный в вычислительном отношении класс фильтра нижних частот с конечной импульсной характеристикой (FIR) , который объединяет N пар интегратора и гребенчатого фильтра (где N — порядок фильтра) для формирования дециматор или интерполятор . В прореживающем CIC входной сигнал сначала проходит через N каскадов интегратора, затем через понижающий преобразователь, а затем через N каскадов гребенки. Интерполирующий CIC (например, на рис. 1) имеет порядок, обратный этой архитектуре, но с заменой понижающего преобразователя на нулевой (повышающий). ^{[1] [2]}

Операция

Рисунок 1: Неконвейерный интерполятор CIC Хогенауэра. В середине повышающая дискретизация с нулевой вставкой с коэффициентом преобразования от низкой частоты дискретизации, используемой каскадами гребенки (левая половина), к высокой частоте дискретизации, используемой каскадами интегратора (правая половина). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{s}}{R}}}$ ${\displaystyle f_{s}}$

CIC-фильтры были изобретены Юджином Б. Хогенауэром в 1979 году ^[3] (опубликовано в 1981 году) и представляют собой класс КИХ-фильтров, используемых при многоскоростной цифровой обработке сигналов .

В отличие от большинства КИХ-фильтров, он имеет понижающую или повышающую дискретизацию в середине структуры, которая преобразует высокую частоту дискретизации, используемую каскадами интегратора, и низкую частоту дискретизации, используемую каскадами гребенки. ^[1] ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{s}}{R}}}$

Функция передачи

При высокой частоте дискретизации передаточная функция CIC в z-домене равна: ${\displaystyle f_{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(z)&=\left[\sum _{k=0}^{RM-1}z^{-k}\right]^{N}\\&=\left({\frac {1-z^{-RM}}{1-z^{-1}}}\right)^{N}\end{aligned}}}$

где:

${\displaystyle R}$это коэффициент децимации или интерполяции,

${\displaystyle M}$количество образцов на этап (обычно 1, но иногда 2), и

${\displaystyle N}$порядок: количество пар гребенки-интегратора.

• Числитель получается в результате умножения этапов гребенки с отрицательной прямой связью (каждый из них представляет собой просто умножение на в z-области). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1-z^{-RM}}$
• Знаменатель получается в результате умножения этапов интегратора (каждый из них представляет собой просто умножение на в z-области). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-z^{\text{-1}}}}}$

Интегратор-гребенка — это простая скользящая средняя.

Интегратор-гребенчатый фильтр представляет собой эффективную реализацию простого КИХ-фильтра скользящего среднего 1- ^го порядка с опущенным делением. ^{[примечание 1]} Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, как можно рекурсивно реализовать простой фильтр скользящего среднего, добавляя новейшую выборку к предыдущему результату и вычитая самую старую выборку : ${\displaystyle RM}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n-1]}$ ${\displaystyle x[n-RM]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=\sum _{k=0}^{RM-1}x[n-k]\\y[n]&=y[n-1]+\underbrace {x[n]-x[n-RM]} _{{\text{comb filter }}c[n]}.\end{aligned}}}$

Второе равенство соответствует гребенчатому фильтру ( ) ${\displaystyle c[n]=x[n]-x[n-RM]}$ , который интегрируется ( ). ${\displaystyle y[n]=y[n-1]+c[n]}$

Каскадный интегратор-гребень дает скользящее среднее более высокого порядка.

Структуры CIC высшего порядка получаются путем каскадирования идентичных простых фильтров скользящего среднего с последующей перестановкой секций так, чтобы сначала размещались все интеграторы (дециматор) или сначала гребенки (интерполятор). Такая перестановка возможна, поскольку и гребенки, и интеграторы, и вся структура представляют собой линейные нестационарные (LTI) системы . ${\displaystyle N}$

В интерполяционном CIC его повышающая дискретизация (которая обычно предшествует интерполяционному фильтру) проходит через гребенчатые секции с использованием идентификатора Нобла, уменьшая количество необходимых элементов задержки в . Аналогично, в прореживающем CIC его понижающий модуль (который обычно следует за прореживающим фильтром) перемещается перед гребенчатыми секциями. ${\displaystyle R}$

Функции

Карта полюс-ноль 1 ^-го порядка (RM=8)

Фильтры CIC имеют несколько привлекательных особенностей:

• Линейная фазовая характеристика (т.е. постоянная групповая задержка ).
• Используйте только задержку, сложение и вычитание.
  • Никакого дорогостоящего умножения.
• Битовый рост , из-за эквивалентности со скользящей средней. ^[4] ${\displaystyle N\log _{2}(RM)}$
• Форма главного лепестка фильтра меняется очень мало при изменении коэффициента децимации. ^[5]

Частотная характеристика

CIC-фильтры 1-го, 2-го, 3-го порядка (RM=8) нормализуют АЧХ. Верхний график — линейное усиление, нижний график — дБ .

В z-области каждый интегратор вносит один полюс в DC ( ) и один ноль в начале координат ( ). Каждая гребенка вносит полюса в начало координат и нули, которые равномерно распределены по единичному кругу z-домена , но ее первый ноль в DC компенсируется с каждым полюсом интегратора. CIC-фильтры N ^-го порядка имеют в N раз больше полюсов и нулей в тех же местах, что и фильтры 1- ^го порядка. ${\displaystyle z{=}1}$ ${\displaystyle z{=}0}$ ${\displaystyle RM}$ ${\displaystyle RM}$

Таким образом, частотная характеристика CIC 1- ^го порядка представляет собой грубый фильтр нижних частот . Обычно усиление нормализуется путем понижения так, чтобы постоянный ток имел пик единичного усиления. Основные лепестки уменьшаются по мере достижения следующего нуля, а за ними следует серия последовательных лепестков, которые имеют все меньшие и меньшие пики, разделенные последующими нулями. В целом это приблизительно соответствует синхрочастоте . ${\displaystyle (RM)^{N}}$ ${\displaystyle R}$

Форма CIC N -го ^{порядка} соответствует умножению этой формы sinc на себя N раз, что приводит к последовательному увеличению затухания. Таким образом, фильтры CIC N- го ^{порядка} называются фильтрами sinc ^N. Первый боковой лепесток ослаблен на ~13N дБ.

Возможный диапазон ответов CIC-фильтра ограничен этой формой. Больших значений подавления в полосе задерживания можно достичь за счет увеличения порядка, но это увеличивает затухание в полосе пропускания и требует увеличения разрядности интеграторной и гребенчатой ​​секций. По этой причине многие реальные требования к фильтрации не могут быть удовлетворены только с помощью CIC-фильтра.

Компенсация формы

КИХ-фильтр короткой или средней длины или фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) могут компенсировать падающий наклон формы фильтра CIC. ^[5] Несколько скоростей интерполяции и прореживания могут повторно использовать один и тот же набор компенсационных коэффициентов FIR, поскольку форма основного лепестка CIC меняется очень мало при изменении коэффициента прореживания. ^{[5] Рисунок 11(б)}

Сравнение с другими КИХ-фильтрами

• Фильтры CIC используются в основном при многоскоростной обработке. Между тем, КИХ-фильтры в целом используются в широком спектре приложений и могут использоваться при многоскоростной обработке в сочетании с интерполятором или дециматором.
• CIC-фильтры имеют частотные характеристики нижних частот, ^[1] в то время как FIR-фильтры могут иметь частотные характеристики нижних , верхних или полосовых частот.
• Фильтры CIC используют только сложение и вычитание. ^[1] КИХ-фильтры используют сложение и вычитание, но большинство КИХ-фильтров также требуют умножения.
• CIC-фильтры имеют определенный спад частоты ^[1] , в то время как КИХ-фильтры нижних частот могут иметь сколь угодно резкий спад частоты.
• CIC-фильтры, как правило, гораздо более экономичны, чем обычные FIR-фильтры, ^[1] но здесь приходится идти на компромиссы.
  • В тех случаях, когда требуется лишь небольшая интерполяция или прореживание, КИХ-фильтры обычно имеют преимущество. Однако, когда скорости изменяются в 10 или более раз, для достижения полезной полосы задерживания сглаживания КИХ-фильтра требуется множество отводов КИХ.
  • При больших изменениях скорости CIC имеет значительное преимущество перед FIR-фильтром с точки зрения архитектурной и вычислительной эффективности . ^[1]
  • Кроме того, фильтры CIC обычно можно переконфигурировать для разных скоростей, не меняя ничего, кроме секции прореживания/интерполяции, при условии, что разрядность интеграторов и гребенчатых секций соответствует определенным математическим критериям, основанным на максимально возможном изменении скорости.
• Фильтр CIC использует только математические вычисления с фиксированной запятой, тогда как фильтры FIR могут использовать математические вычисления с фиксированной или плавающей запятой . ^[1]
  • Это необходимо, поскольку, будучи рекурсивно реализованным FIR-фильтром, CIC-фильтр опирается на точное подавление полюсов из секций интегратора нулями из гребенчатых секций. Хотя причины этого не совсем очевидны, неотъемлемой характеристикой архитектуры CIC является то, что если в интеграторах происходят переполнения фиксированной длины , они исправляются в гребенчатых секциях. ^[1]

Примечания

1. Деление на константу можно добавить до или после фильтра, чтобы получить среднее значение. Если это степень двойки, то это деление можно легко реализовать с помощью недорогого двоичного сдвига вправо или просто рассматривая входные или выходные числа как двоичные числа с фиксированной точкой . ${\displaystyle RM}$ ${\displaystyle RM}$

Рекомендации

1. Хогенауэр, Юджин Б. (апрель 1981 г.). «Экономичный класс цифровых фильтров для прореживания и интерполяции». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (2): 155–162. дои :10.1109/ТАССП.1981.1163535.
2. Донадио, Мэтью (2000) Введение в фильтр CIC «Хогенауэр представил важный класс цифровых фильтров, называемый «Каскадный интегратор-гребень», или для краткости «CIC» (также иногда называемый «фильтрами Хогенауэра»).
3. Лайонс, Ричард Г. (20 февраля 2012 г.). «История фильтров CIC: нерассказанная история». DSPRelated.com . Архивировано из оригинала 29 марта 2023 г. Проверено 24 августа 2023 г.
4. Хогенауэр 1981, формула. 11
5. Ричард, Лион (26 марта 2020 г.). «Руководство для начинающих по каскадным интеграторно-гребенчатым (CIC) фильтрам». DSPRelated.com . Архивировано из оригинала 28 июня 2023 г. Проверено 25 августа 2023 г.

Смотрите также

• Децимация
• Дельта-сигма-модуляция - метод АЦП, который может использовать CIC для прореживания

Внешние ссылки

• Введение в CIC-фильтр
• Понимание каскадных интеграторно-гребенчатых фильтров
• Интуитивный взгляд на скользящее среднее и фильтры CIC
• Гребенчатые фильтры с каскадным интегратором (CIC) – лестница DSP