Целое число, которое является одновременно квадратным и треугольным числом.
Квадратное треугольное число 36 изображается как треугольное число и как квадратное число.
В математике квадратно -треугольное число (или треугольно-квадратное число ) — это число, которое одновременно является треугольным и квадратным числом . Существует бесконечно много квадратных треугольных чисел; первые несколько:
Запишите для квадрата треугольное число и запишите и стороны соответствующего квадрата и треугольника, так что
Определите треугольный корень треугольного числа как . Из этого определения и квадратичной формулы
Следовательно, является треугольным ( является целым числом) тогда и только тогда, когда является квадратным. Следовательно, квадратное число также является треугольным тогда и только тогда, когда оно является квадратным, то есть существуют числа и такие, что . Это пример уравнения Пелла с . Все уравнения Пелля имеют тривиальное решение при любом ; это называется нулевым решением и индексируется как . Если обозначает th нетривиальное решение любого уравнения Пелля для конкретного , методом спуска можно показать, что следующим решением является
Следовательно, существует бесконечно много решений любого уравнения Пелля, для которого есть одно нетривиальное, что верно, когда оно не является квадратом. Первое нетривиальное решение, когда его легко найти: это . Решение уравнения Пелля для дает квадратное треугольное число и его квадратные и треугольные корни следующим образом:
Следовательно, первое квадратно-треугольное число, полученное из , равно , а следующее, полученное из , равно .
Последовательности и представляют собой последовательности OEIS OEIS : A001110 , OEIS : A001109 и OEIS : A001108 соответственно.
В 1778 году Леонард Эйлер определил явную формулу [1] [2] : 12–13.
Другие эквивалентные формулы (полученные путем расширения этой формулы), которые могут оказаться удобными, включают:
Соответствующие явные формулы для и таковы: [2] : 13
Рекуррентные отношения
Существуют рекуррентные соотношения для квадратно-треугольных чисел, а также для сторон квадрата и треугольника. Имеем [3] : (12)
^ abc Эйлер, Леонард (1813). «Regula facilis проблемата Diophantea per numeros integros expeditesolvendi (Простое правило для диофантовых задач, которые необходимо быстро решать с помощью целых чисел)». Мемуары Академии наук Санкт-Петербурга (на латыни). 4 :3–17 . Проверено 11 мая 2009 г. Согласно записям, он был подарен в Петербургскую Академию 4 мая 1778 года.
^ Питенполь, Дж.Л.; Сильвестр, А.В.; Просто, Эрвин; Вартен, Р.М. (февраль 1962 г.). «Элементарные проблемы и решения: E 1473, Квадратные треугольные числа». Американский математический ежемесячник . 69 (2). Математическая ассоциация Америки: 168–169. дои : 10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.
^ Плуфф, Саймон (август 1992 г.). «1031 Производящая функция» (PDF) . Университет Квебека, Лаборатория комбинаторной и математической информатики. п. А.129. Архивировано из оригинала (PDF) 20 августа 2012 г. Проверено 11 мая 2009 г.
Внешние ссылки
Треугольные числа, которые также являются квадратными при разрезании узла