Квазигеострофические уравнения

В то время как геострофическое движение относится к ветру, который возникает в результате точного баланса между силой Кориолиса и горизонтальными силами градиента давления , ^[1] квазигеострофическое (QG) движение относится к потокам, в которых сила Кориолиса и силы градиента давления почти уравновешены, но при этом инерция также оказывает влияние. ^[2]

Источник

Атмосферные и океанографические потоки происходят в горизонтальных масштабах длины, которые очень велики по сравнению с их вертикальным масштабом длины, и поэтому их можно описать с помощью уравнений мелкой воды . Число Россби — это безразмерное число , которое характеризует силу инерции по сравнению с силой силы Кориолиса. Квазигестрофические уравнения являются приближениями к уравнениям мелкой воды в пределе малого числа Россби, так что инерционные силы на порядок меньше сил Кориолиса и давления. Если число Россби равно нулю, то мы восстанавливаем геострофический поток.

Квазигеострофические уравнения впервые сформулировал Жюль Чарни . ^[3]

Вывод уравнений QG для однослойного слоя

В декартовых координатах компоненты геострофического ветра имеют вид

${\displaystyle {f_{0}}{v_{g}}={\partial \Phi \over \partial x}}$(1а)

${\displaystyle {f_{0}}{u_{g}}=-{\partial \Phi \over \partial y}}$(1б)

где геопотенциал . ​ ${\displaystyle {\Phi }}$

Геострофическая завихренность

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\hat {\mathbf {k} }}\cdot \nabla \times \mathbf {V_{g}} }}$

поэтому может быть выражено в терминах геопотенциала как

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\partial v_{g} \over \partial x}-{\partial u_{g} \over \partial y}={1 \over f_{0}}\left({{\partial ^{2}\Phi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial y^{2}}}\right)={1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}}$(2)

Уравнение (2) можно использовать для нахождения из известного поля . В качестве альтернативы его можно использовать для определения из известного распределения путем инвертирования оператора Лапласа . ${\displaystyle {\zeta _{g}(x,y)}}$ ${\displaystyle {\Phi (x,y)}}$ ${\displaystyle {\Phi }}$ ${\displaystyle {\zeta _{g}}}$

Уравнение квазигеострофического вихря может быть получено из компонентов уравнения квазигеострофического импульса, которое затем может быть выведено из уравнения горизонтального импульса ${\displaystyle {x}}$ ${\displaystyle {y}}$

${\displaystyle {D\mathbf {V} \over Dt}+f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} =-\nabla \Phi }$(3)

Материальная производная в (3) определяется как

${\displaystyle {{D \over Dt}={\left({\partial \over \partial t}\right)_{p}}+{\left({\mathbf {V} \cdot \nabla }\right)_{p}}+{\omega {\partial \over \partial p}}}}$(4)

где - изменение давления в результате движения. ${\displaystyle {\omega ={Dp \over Dt}}}$

Горизонтальную скорость можно разделить на геострофическую и агеострофическую части. ${\displaystyle {\mathbf {V} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {V_{a}} }}$

${\displaystyle {\mathbf {V} =\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} }}$(5)

Два важных предположения квазигеострофического приближения:

1. , или, точнее . ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} \gg \mathbf {V_{a}} }}$ ${\displaystyle {|\mathbf {V_{a}} | \over |\mathbf {V_{g}} |}\sim O({\text{Rossby number}})}$

2. приближение бета-плоскости с ${\displaystyle {f=f_{0}+\beta y}}$ ${\displaystyle {{\frac {\beta y}{f_{0}}}\sim O({\text{Rossby number}})}}$

Второе предположение оправдывает то, что параметр Кориолиса имеет постоянное значение в геострофическом приближении и аппроксимирует его изменение в члене силы Кориолиса как . ^[4] Однако, поскольку ускорение, следующее за движением, которое дано в (1) как разница между силой Кориолиса и силой градиента давления, зависит от отклонения фактического ветра от геострофического ветра, недопустимо просто заменить скорость ее геострофической скоростью в члене Кориолиса. ^[4] Ускорение в (3) тогда можно переписать как ${\displaystyle {f_{0}}}$ ${\displaystyle {f_{0}+\beta y}}$

${\displaystyle {f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} +\nabla \Phi }={(f_{0}+\beta y){\hat {\mathbf {k} }}\times (\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} )-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }={f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} +\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$(6)

Приближенное уравнение горизонтального импульса, таким образом, имеет вид

${\displaystyle {D_{g}\mathbf {V_{g}} \over Dt}={-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} -\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$(7)

Выражая уравнение (7) через его компоненты,

${\displaystyle {{D_{g}u_{g} \over Dt}-{f_{0}v_{a}}-{\beta yv_{g}}=0}}$(8а)

${\displaystyle {{D_{g}v_{g} \over Dt}+{f_{0}u_{a}}+{\beta yu_{g}}=0}}$(8б)

Принимая , и отмечая, что геострофический ветер недивергентен (т.е. ), уравнение вихря имеет вид ${\displaystyle {{\partial (8b) \over \partial x}-{\partial (8a) \over \partial y}}}$ ${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {V} =0}}$

${\displaystyle {{D_{g}\zeta _{g} \over Dt}=-f_{0}\left({{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}}\right)-\beta v_{g}}}$(9)

Поскольку зависит только от (т.е. ) и что дивергенция агеострофического ветра может быть записана в терминах на основе уравнения непрерывности ${\displaystyle {f}}$ ${\displaystyle {y}}$ ${\displaystyle {{D_{g}f \over Dt}=\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla f=\beta v_{g}}}$ ${\displaystyle {\omega }}$

${\displaystyle {{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}+{\partial \omega \over \partial p}=0}}$

Следовательно, уравнение (9) можно записать как

${\displaystyle {{\partial \zeta _{g} \over \partial t}={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla ({\zeta _{g}+f})}-{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$(10)

Та же самая идентичность с использованием геопотенциала

Определяя тенденцию геопотенциала и отмечая, что частичная дифференциация может быть обращена, уравнение (10) можно переписать в виде ${\displaystyle {\chi ={\partial \Phi \over \partial t}}}$ ${\displaystyle {\chi }}$

${\displaystyle {{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\chi }={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla \left({{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }+f}\right)}+{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$(11)

Правая часть уравнения (11) зависит от переменных и . Аналогичное уравнение, зависящее от этих двух переменных, можно вывести из термодинамического уравнения энергии ${\displaystyle {\Phi }}$ ${\displaystyle {\omega }}$

${\displaystyle {{{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)\left({-\partial \Phi \over \partial p}\right)}-\sigma \omega }={kJ \over p}}}$(12)

где и — потенциальная температура, соответствующая температуре основного состояния. В средней тропосфере ≈ . ${\displaystyle {\sigma ={-RT_{0} \over p}{d\log \Theta _{0} \over dp}}}$ ${\displaystyle {\Theta _{0}}}$ ${\displaystyle {\sigma }}$ ${\displaystyle {2.5\times 10^{-6}\mathrm {m} {^{2}}\mathrm {Pa} ^{-2}\mathrm {s} ^{-2}}}$

Умножая (12) на и дифференцируя по и используя определение выходов ${\displaystyle {f_{0} \over \sigma }}$ ${\displaystyle {p}}$ ${\displaystyle {\chi }}$

${\displaystyle {{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \chi \over \partial p}}\right)}=-{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}}{\partial \omega \over \partial p}}-{{f_{0}}{\partial \over \partial p}\left({kJ \over \sigma p}\right)}}}$(13)

Если для простоты принять равным 0, то исключение в уравнениях (11) и (13) дает ^[5] ${\displaystyle {J}}$ ${\displaystyle {\omega }}$

${\displaystyle {{\left({\nabla ^{2}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \over \partial p}}\right)}}\right){\chi }}=-{{f_{0}}{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+f}\right)}-{{\partial \over \partial p}\left({{-}{f_{0}^{2} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}\right)}}}$(14)

Уравнение (14) часто называют уравнением тенденции геопотенциала . Оно связывает локальную тенденцию геопотенциала (член A) с распределением адвекции вихря (член B) и адвекцией толщины (член C).

Та же самая тождественность с использованием квазигеострофического потенциального вихря

Используя цепное правило дифференцирования, член C можно записать как

${\displaystyle {-{{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}{\cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}}}$(15)

Но основываясь на термическом соотношении ветра ,

${\displaystyle {{f_{0}{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}={{\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}}}$.

Другими словами, перпендикулярно и второй член в уравнении (15) исчезает. ${\displaystyle {\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}$ ${\displaystyle {\nabla ({\partial \Phi \over \partial p})}}$

Первый член можно объединить с членом B в уравнении (14), которое после деления на можно выразить в виде уравнения сохранения ^[6] ${\displaystyle {f_{0}}}$

${\displaystyle {{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)q}={D_{g}q \over Dt}=0}}$(16)

где - квазигеострофическая потенциальная завихренность, определяемая как ${\displaystyle {q}}$

${\displaystyle {q={{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}}}$(17)

Три члена уравнения (17) — это, слева направо, геострофическая относительная завихренность, планетарная завихренность и завихренность растяжения .

Подразумеваемое

При перемещении воздушной частицы в атмосфере ее относительная, планетарная и растягивающая завихренности могут изменяться, но уравнение (17) показывает, что сумма этих трех величин должна сохраняться в результате геострофического движения.

Уравнение (17) можно использовать для нахождения из известного поля . В качестве альтернативы его можно также использовать для прогнозирования эволюции геопотенциального поля с учетом начального распределения и подходящих граничных условий с помощью процесса инверсии. ${\displaystyle {q}}$ ${\displaystyle {\Phi }}$ ${\displaystyle {\Phi }}$

Что еще более важно, квазигеострофическая система сводит примитивные уравнения с пятью переменными к системе с одним уравнением, где все переменные, такие как , и , могут быть получены из или высоты . ${\displaystyle {u_{g}}}$ ${\displaystyle {v_{g}}}$ ${\displaystyle {T}}$ ${\displaystyle {q}}$ ${\displaystyle {\Phi }}$

Кроме того, поскольку и оба определяются в терминах , уравнение вихря можно использовать для диагностики вертикального движения при условии, что поля обоих и известны. ${\displaystyle {\zeta _{g}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$ ${\displaystyle {\Phi (x,y,p,t)}}$ ${\displaystyle {\Phi }}$ ${\displaystyle {\partial \Phi \over \partial t}}$

Ссылки

1. Филлипс, Н.А. (1963). «Геострофическое движение». Обзоры геофизики, том 1, № 2, стр. 123.
2. Кунду, П. К. и Коэн, И. М. (2008). Механика жидкости, 4-е издание. Elsevier., стр. 658.
3. Majda, Andrew; Wang, Xiaoming (2006). Нелинейная динамика и статистические теории для основных геофизических потоков. Cambridge University Press. стр. 3. ISBN 978-1-139-45227-4.
4. Holton, JR (2004). Введение в динамическую метеорологию, 4-е издание. Elsevier., стр. 149.
5. Холтон, Дж. Р. (2004). Введение в динамическую метеорологию, 4-е издание. Elsevier., стр. 157.
6. Холтон, Дж. Р. (2004). Введение в динамическую метеорологию, 4-е издание. Elsevier., стр. 160.