Стойки и стойки

Множества с бинарными операциями, аналогичными движениям Рейдемейстера, используемым на диаграммах узлов

В математике стойки и квандлы — это множества с бинарными операциями, удовлетворяющими аксиомам , аналогичным движениям Рейдемейстера, используемым для манипулирования диаграммами узлов .

Хотя они в основном используются для получения инвариантов узлов, их можно рассматривать как самостоятельные алгебраические конструкции. В частности, определение квандла аксиоматизирует свойства сопряжения в группе .

История

В 1943 году Митухиса Такасаки (高崎光久) представил алгебраическую структуру, которую он назвал Кэй (圭), которая позже стала известна как инволютивный квандл. ^[1] Его мотивацией было найти неассоциативную алгебраическую структуру, чтобы охватить понятие отражения в контексте конечной геометрии . Идея была заново открыта и обобщена в неопубликованной переписке 1959 года между Джоном Конвеем и Гэвином Райтом, которые в то время были студентами Кембриджского университета . Именно здесь впервые появляются современные определения квандлов и стоек. Райт заинтересовался этими структурами (которые он изначально назвал секвенциями ) во время учебы в школе. ^[2] Конвей переименовал их в wracks , отчасти как каламбур на имя своего коллеги, а отчасти потому, что они возникают как остатки (или 'wrack and ruin') группы, когда отбрасывается мультипликативная структура и рассматривается только структура спряжения . Написание 'rack' теперь стало преобладающим.

Эти конструкции снова появились в 1980-х годах: в статье Дэвида Джойса 1982 года ^[3] (где был придуман термин quandle , произвольное бессмысленное слово), ^[4] в статье Сергея Матвеева 1982 года (под названием distributive groupoids ) ^[5] и в докладе на конференции 1986 года Эгберта Брискорна (где они были названы automorphic sets ). ^[6] Подробный обзор стоек и их приложений в теории узлов можно найти в статье Колина Рурка и Роджера Фенна. ^[7]

Стойки

Стойку можно определить как набор с бинарной операцией, такой , что для каждого выполняется закон самораспределения : ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle \triangleleft }$ ${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} }$

${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$

и для каждого существует единственный такой, что ${\displaystyle a,b\in \mathrm {R} ,}$ ${\displaystyle c\in \mathrm {R} }$

${\displaystyle a\triangleleft c=b.}$

Это определение, хотя и краткое и часто используемое, не является оптимальным для определенных целей, поскольку оно содержит квантификатор существования, который на самом деле не является необходимым. Чтобы избежать этого, мы можем записать уникальное так, что как Тогда мы имеем ${\displaystyle c\in \mathrm {R} }$ ${\displaystyle a\triangleleft c=b}$ ${\displaystyle b\triangleright a.}$

${\displaystyle a\triangleleft c=b\iff c=b\triangleright a,}$

и таким образом

${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b,}$

и

${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b.}$

Используя эту идею, стойка может быть эквивалентно определена как набор с двумя бинарными операциями и таким образом, что для всех ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle \triangleleft }$ ${\displaystyle \triangleright }$ ${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} {\text{:}}}$

1. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$(левый самораспределительный закон)
2. ${\displaystyle (c\triangleright b)\triangleright a=(c\triangleright a)\triangleright (b\triangleright a)}$(правильный самораспределительный закон)
3. ${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b}$
4. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b}$

Удобно сказать, что элемент действует слева в выражении и действует справа в выражении Третья и четвертая аксиомы rack затем говорят, что эти левые и правые действия являются инверсиями друг друга. Используя это, мы можем исключить любое из этих действий из определения rack. Если мы исключим правое действие и оставим левое, мы получим краткое определение, данное изначально. ${\displaystyle a\in \mathrm {R} }$ ${\displaystyle a\triangleleft b,}$ ${\displaystyle b\triangleright a.}$

В литературе по стойкам и квандлам используется множество различных условных обозначений. Например, многие авторы предпочитают работать только с правильным действием. Кроме того, использование символов и ни в коем случае не является универсальным: многие авторы используют экспоненциальную запись ${\displaystyle \triangleleft }$ ${\displaystyle \triangleright }$

${\displaystyle a\triangleleft b={}^{a}b}$

и

${\displaystyle b\triangleright a=b^{a},}$

в то время как многие другие пишут

${\displaystyle b\triangleright a=b\star a.}$

Еще одно эквивалентное определение стойки заключается в том, что это множество, где каждый элемент действует слева и справа как автоморфизмы стойки, причем левое действие является обратным правому. В этом определении тот факт, что каждый элемент действует как автоморфизм, кодирует левые и правые законы самодистрибутивности, а также эти законы:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft (b\triangleright c)&=(a\triangleleft b)\triangleright (a\ \triangleleft c)\\(c\triangleleft b)\triangleright a&=(c\triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\end{aligned}}}$

которые являются следствиями определений, данных ранее.

Квандлс

Квандл определяется как идемпотентная стойка, такая, что для всех ${\displaystyle \mathrm {Q} ,}$ ${\displaystyle a\in \mathrm {Q} }$

${\displaystyle a\triangleleft a=a,}$

или эквивалентно

${\displaystyle a\triangleright a=a.}$

Примеры и приложения

Каждая группа дает квандл, где операции происходят от сопряжения:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft b&=aba^{-1}\\b\triangleright a&=a^{-1}ba\\&=a^{-1}\triangleleft b\end{aligned}}}$

Фактически, каждый эквациональный закон, которому удовлетворяет сопряжение в группе, следует из аксиом квандла. Таким образом, можно думать о квандле как о том, что осталось от группы, когда мы забываем умножение, тождество и обратные и помним только операцию сопряжения.

Каждый ручной узел в трехмерном евклидовом пространстве имеет «фундаментальный квандл». Чтобы определить это, можно отметить, что фундаментальная группа дополнения узла, или группа узлов , имеет представление ( представление Виртингера ), в котором отношения включают только сопряжение. Таким образом, это представление также может быть использовано как представление квандла. Фундаментальный квандл является очень мощным инвариантом узлов. В частности, если два узла имеют изоморфные фундаментальные квандлы, то существует гомеоморфизм трехмерного евклидова пространства, который может быть обращением ориентации , переводя один узел в другой.

Менее мощные, но более легко вычисляемые инварианты узлов могут быть получены путем подсчета гомоморфизмов из квандла узла в фиксированный квандл. Поскольку представление Виртингера имеет один генератор для каждой нити в диаграмме узла , эти инварианты могут быть вычислены путем подсчета способов маркировки каждой нити элементом с учетом определенных ограничений. Более сложные инварианты такого рода могут быть построены с помощью когомологий квандлов . ${\displaystyle \mathrm {Q} .}$ ${\displaystyle \mathrm {Q} ,}$

TheКвандлы Александера также важны, поскольку их можно использовать для вычисления полинома Александера узла. Пустьбудет модулем над кольцомполиномов Лорана от одной переменной. Тогда квандл Александера превращаетсяв квандл с левым действием, заданным как ${\displaystyle \mathrm {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathrm {A} }$

${\displaystyle a\triangleleft b=tb+(1-t)a.}$

Стойки являются полезным обобщением квадратов в топологии, поскольку в то время как квадраты могут представлять узлы на круглом линейном объекте (например, веревке или нити), стойки могут представлять ленты, которые можно как скручивать, так и завязывать узлами.

Квандл называется инволютивным, если для всех ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ ${\displaystyle a,b\in \mathrm {Q} ,}$

${\displaystyle a\triangleleft (a\triangleleft b)=b}$

или эквивалентно,

${\displaystyle (b\triangleright a)\triangleright a=b.}$

Любое симметричное пространство дает инволютивный квандл, где — результат «отражения сквозь ». ${\displaystyle a\triangleleft b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

Смотрите также

• Бираки и бикандели
• Стол для умывальника

Ссылки

1. Такасаки, Митухиса (1943). «Абстракции симметричных функций». Tohoku Mathematical Journal . 49 : 143–207.
2. Wraith, Gavin. "Личная история об узлах". Архивировано из оригинала 2006-03-13.
3. Джойс, Дэвид (1982). «Классифицирующий инвариант узлов: узел квандл». Журнал чистой и прикладной алгебры . 23 : 37–65. doi : 10.1016/0022-4049(82)90077-9 .
4. Баез, Джон. «Происхождение слова „Квандл“». Кафе n-Category . Получено 5 июня 2015 г.
5. Матвеев, Сергей (1984). " Дистрибутивные группоиды в теории узлов ". Матем. Сборник СССР . 47 (1): 73–83. Bibcode :1984SbMat..47...73M. doi :10.1070/SM1984v047n01ABEH002630.
6. Брискорн, Эгберт (1988). «Автоморфные множества, косы и особенности». Косы . Contemporary Mathematics. Т. 78. С. 45–115. doi :10.1090/conm/078/975077. ISBN 9780821850886.
7. Рурк, Колин; Фенн, Роджер (1992). " Стойки и связи в коразмерности 2 ". Журнал теории узлов и ее разветвлений . 1 (4): 343–406. doi :10.1142/S0218216592000203.

Внешние ссылки

• Устранение затруднений с узлами с помощью квандлов - Введение в квандлы и другие инварианты узлов для студентов
• Обзор идей Quandle Скотта Картера
• Инварианты узлов, полученные из кванделей и стоек Сэйити Камада
• Полки, стойки, шпиндели и квандлы , стр. 56 книги Ли 2-Алгебры Алиссы Кранс
• https://ncatlab.org/nlab/show/quandle