Квантовый потенциал

Квантово-механическая статистика

Квантовый потенциал или квантовая потенциальность — центральное понятие формулировки квантовой механики де Бройля-Бома , введенной Дэвидом Бомом в 1952 году.

Первоначально представленный под названием квантово-механический потенциал , впоследствии квантовый потенциал , позже он был развит Бомом и Бэзилом Хили в его интерпретации как информационный потенциал , который действует на квантовую частицу. Его также называют квантовой потенциальной энергией , потенциалом Бома , квантовым потенциалом Бома или квантовым потенциалом Бома .

В рамках теории де Бройля-Бома квантовый потенциал — это член уравнения Шредингера , который направляет движение квантовых частиц. Подход квантового потенциала, предложенный Бомом ^{[1] [2],} обеспечивает физически менее фундаментальное изложение идеи, представленной Луи де Бройлем : де Бройль постулировал в 1925 году, что релятивистская волновая функция, определенная в пространстве-времени, представляет собой пилотную волну , которая направляет квантовую волну. частица, представленная как колеблющийся пик в волновом поле, но впоследствии он отказался от своего подхода, поскольку не смог вывести уравнение направления частицы из нелинейного волнового уравнения. В основополагающих статьях Бома 1952 года был представлен квантовый потенциал и содержались ответы на возражения, выдвинутые против теории пилотной волны.

Квантовый потенциал Бома тесно связан с результатами других подходов, в частности, относящимися к работе Эрвина Маделунга 1927 года и работы Карла Фридриха фон Вайцзеккера 1935 года.

Основываясь на интерпретации квантовой теории, представленной Бомом в 1952 году, Дэвид Бом и Бэзил Хили в 1975 году представили, как концепция квантового потенциала приводит к идее «непрерывной целостности всей Вселенной», предполагая, что фундаментальное новое качество введенное квантовой физикой, — это нелокальность . ^[3]

Квантовый потенциал как часть уравнения Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad }$

перезаписывается с использованием полярной формы для волновой функции с вещественными функциями и , где – амплитуда ( абсолютное значение ) волновой функции и ее фаза. Это дает два уравнения: из мнимой и действительной частей уравнения Шредингера следуют уравнение неразрывности и квантовое уравнение Гамильтона – Якоби соответственно. ^{[1] [4]} ${\displaystyle \psi =R\exp(iS/\hbar )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle S/\hbar }$

Уравнение непрерывности

Мнимая часть уравнения Шредингера в полярной форме дает

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\left[R\nabla ^{2}S+2\nabla R\cdot \nabla S\right],}$

которое при условии можно интерпретировать как уравнение неразрывности плотности вероятности и поля скорости ${\displaystyle \rho =R^{2}}$ ${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v={\frac {1}{m}}\nabla S}$

Квантовое уравнение Гамильтона – Якоби

Действительная часть уравнения Шредингера в полярной форме дает модифицированное уравнение Гамильтона – Якоби

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=-\left[{\frac {\left|\nabla S\right|^{2}}{2m}}+V+Q\right],}$

также называется квантовым уравнением Гамильтона – Якоби . ^[5] Оно отличается от классического уравнения Гамильтона–Якоби только членом

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}.}$

Таким образом , этот член , называемый квантовым потенциалом , зависит от кривизны амплитуды волновой функции. ^{[6] [7]} ${\displaystyle Q}$

В пределе функция является решением (классического) уравнения Гамильтона–Якоби; ^{В [1]} поэтому функцию также называют функцией Гамильтона–Якоби, или действием , расширенным на квантовую физику. ${\displaystyle \hbar \to 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Характеристики

Траектории Бома под действием квантового потенциала на примере электрона, проходящего через двухщелевой эксперимент .

Хили подчеркнул несколько аспектов ^[8] , касающихся квантового потенциала квантовой частицы:

• он выводится математически из действительной части уравнения Шрёдингера при полярном разложении волновой функции, ^[9] не выводится из гамильтониана ^[10] или другого внешнего источника и, можно сказать, участвует в процессе самоорганизации вовлечение базового основного поля;
• он не меняется, если его умножить на константу, так как этот член также присутствует в знаменателе, так что он не зависит от величины и, следовательно, от напряженности поля; следовательно, квантовый потенциал выполняет предварительное условие нелокальности: он не должен падать с увеличением расстояния; ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \psi }$
• он несет информацию обо всей экспериментальной установке, в которой находится частица.

В 1979 году Хили и его коллеги Филиппидис и Дьюдни представили полный расчет, объясняющий двухщелевой эксперимент с точки зрения бомовских траекторий, возникающих для каждой частицы, движущейся под действием квантового потенциала, что привело к хорошо известному закону интерференционные картины . ^[11]

Схема двухщелевого эксперимента, в котором можно наблюдать эффект Ааронова-Бома: электроны проходят через две щели, интерферируя на экране наблюдения, и интерференционная картина смещается при включении магнитного поля B в цилиндрическом соленоиде.

Также сдвиг интерференционной картины, возникающий в присутствии магнитного поля при эффекте Ааронова-Бома, можно объяснить квантовым потенциалом. ^[12]

Связь с процессом измерения

Коллапс волновой функции копенгагенской интерпретации квантовой теории объясняется в подходе квантового потенциала демонстрацией того, что после измерения «все пакеты многомерной волновой функции, которые не соответствуют фактическому результату измерения с этого момента не оказывают никакого влияния на частицу». ^[13] Бом и Хили отметили, что

...квантовый потенциал может создавать нестабильные точки бифуркации, которые разделяют классы траекторий частиц в соответствии с «каналами», в которые они в конечном итоге входят и внутри которых они остаются. Это объясняет, как возможно измерение без «коллапса» волновой функции и как всевозможные квантовые процессы, такие как переходы между состояниями, слияние двух состояний в одно и деление одной системы на две, могут происходить без нужен человек-наблюдатель. ^[14]

Таким образом, измерение «включает в себя совместное преобразование, при котором и наблюдаемая система, и наблюдающий аппарат подвергаются взаимному участию, так что траектории ведут себя коррелированным образом, становясь коррелированными и разделяемыми на разные, непересекающиеся множества (которые мы называем «каналами»). )». ^[15]

Квантовый потенциал системы n-частиц

Волновая функция Шрёдингера многочастичной квантовой системы не может быть представлена ​​в обычном трёхмерном пространстве . Скорее, оно представлено в конфигурационном пространстве с тремя измерениями на частицу. Таким образом, одна точка конфигурационного пространства представляет собой конфигурацию всей системы n-частиц в целом.

Двухчастичная волновая функция частиц одинаковой массы имеет квантовый потенциал ^[16] ${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}}}$

где и относятся к частице 1 и частице 2 соответственно. Это выражение напрямую обобщается на частицы: ${\displaystyle \nabla _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \nabla _{2}^{2}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}$

Если волновая функция двух или более частиц разделима, то общий квантовый потенциал системы становится суммой квантовых потенциалов двух частиц. Точная разделимость крайне нефизична, учитывая, что взаимодействия между системой и ее средой разрушают факторизацию; однако волновая функция, которая представляет собой суперпозицию нескольких волновых функций с приблизительно непересекающейся поддержкой, будет факторизована приблизительно. ^[17]

Вывод для сепарабельной квантовой системы.

То, что волновая функция является сепарабельной, означает, что она факторизуется в виде . Тогда следует, что это тоже факторизуется, и общий квантовый потенциал системы становится суммой квантовых потенциалов двух частиц. ^[18] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}({\frac {\nabla _{1}^{2}R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}{R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}})=Q_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)+Q_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$

В случае, если волновая функция сепарабельна, то есть если факторизуется в виде , две одночастичные системы ведут себя независимо. В более общем смысле, квантовый потенциал системы -частиц с разделяющейся волновой функцией представляет собой сумму квантовых потенциалов, разделяющих систему на независимые одночастичные системы. ^[19] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Формулировка в терминах плотности вероятности

Квантовый потенциал через функцию плотности вероятности

Бом, как и другие физики после него, стремились предоставить доказательства того, что правило Борна связано с функцией плотности вероятности. ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \rho =R^{2}\quad }$

В формулировке пилотной волны можно понимать не как представление основного закона, а скорее как теорему (называемую гипотезой квантового равновесия ), которая применяется, когда квантовое равновесие достигается в ходе временного развития согласно уравнению Шредингера. С правилом Борна и простым применением правил цепочки и произведения.

${\displaystyle \nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}=\nabla \nabla \rho ^{1/2}=\nabla \left({\frac {1}{2}}\rho ^{-1/2}\nabla \rho \right)={\frac {1}{2}}\left[\left(\nabla \rho ^{-1/2}\right)\nabla \rho +\rho ^{-1/2}\nabla ^{2}\rho \right]}$

квантовый потенциал, выраженный через функцию плотности вероятности, принимает вид: ^[20]

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{2}}{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho ^{2}}}\right]}$

Квантовая сила

Квантовая сила , выраженная через распределение вероятностей, равна: ^[21] ${\displaystyle F_{Q}=-\nabla Q}$

${\displaystyle F_{Q}={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla (\nabla ^{2}\rho )}{\rho }}-{\frac {\nabla (\nabla \rho \cdot \nabla \rho )}{2\rho ^{2}}}-\left({\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right){\frac {\nabla \rho }{\rho }}\right]}$

Формулировка в конфигурационном пространстве и в импульсном пространстве как результат проекций

М. Р. Браун и Б. Хили показали, что в качестве альтернативы его формулировке в терминах конфигурационного пространства ( -пространства) квантовый потенциал также может быть сформулирован в терминах импульсного пространства ( -пространства). ^{[22] [23]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

В соответствии с подходом Дэвида Бома Бэзил Хили и математик Морис де Госсон показали, что квантовый потенциал можно рассматривать как следствие проекции базовой структуры, точнее, некоммутативной алгебраической структуры, на подпространство, такое как обычное пространство. ( -космос). В алгебраических терминах квантовый потенциал можно рассматривать как возникающий из связи между неявным и явным порядками : если некоммутативная алгебра используется для описания некоммутативной структуры квантового формализма, оказывается, что невозможно определить лежащее в основе пространство, но могут быть построены скорее « теневые пространства » (гомоморфные пространства), и при этом появляется квантовый потенциал. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} Подход квантового потенциала можно рассматривать как способ построения теневых пространств. ^[25] Таким образом, квантовый потенциал приводит к искажению из-за проекции основного пространства в -пространство, аналогично тому, как проекция Меркатора неизбежно приводит к искажению географической карты. ^{[28] [29]} Между -представлением существует полная симметрия , и квантовый потенциал, как он появляется в конфигурационном пространстве, можно рассматривать как возникающий в результате дисперсии -представления импульса. ^[30] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

Этот подход был применен к расширенному фазовому пространству [ ^{30] [31]} также в терминах подхода алгебры Даффина–Кеммера–Петио . ^{[32] [33]}

Связь с другими величинами и теориями

Связь с информацией Фишера

Можно показать ^[34] , что среднее значение квантового потенциала пропорционально плотности вероятности информации Фишера о наблюдаемом ${\displaystyle Q=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}/(2m{\sqrt {\rho }})}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \rho \cdot (\nabla \ln \rho )^{2}\,d^{3}x=-\int \rho \nabla ^{2}(\ln \rho )\,d^{3}x.}$

Используя это определение информации Фишера, мы можем написать: ^[35]

${\displaystyle \langle Q\rangle =\int \psi ^{*}Q\psi \,d^{3}x=\int \rho Q\,d^{3}x={\frac {\hbar ^{2}}{8m}}{\mathcal {I}}.}$

Связь с тензором давления Маделунга

В уравнениях Маделунга , представленных Эрвином Маделунгом в 1927 году, тензор нелокального квантового давления имеет ту же математическую форму, что и квантовый потенциал. Основная теория отличается тем, что подход Бома описывает траектории частиц, тогда как уравнения квантовой гидродинамики Маделунга представляют собой уравнения Эйлера жидкости , которые описывают ее усредненные статистические характеристики. ^[36]

Связь с поправкой фон Вайцзеккера

В 1935 году ^[37] Карл Фридрих фон Вайцзеккер предложил добавить член неоднородности (иногда называемый поправкой фон Вайцзеккера ) к кинетической энергии теории атомов Томаса-Ферми (ТФ) . ^[38]

Поправочный член фон Вайцзеккера равен ^[39]

${\displaystyle E_{W}[\rho ]=\int dr\,{\frac {\rho \hbar ^{2}(\nabla \ln \rho )^{2}}{8m}}={\frac {\hbar ^{2}}{8m}}\int dr\,{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho }}=\int dr\,\rho \,Q.}$

Поправочный член также был получен как поправка первого порядка к кинетической энергии ТФ в полуклассической поправке к теории Хартри – Фока . ^[40]

^{В [39]} отмечалось , что поправочный член фон Вейцзеккера при малой плотности принимает тот же вид, что и квантовый потенциал.

Квантовый потенциал как энергия внутреннего движения, связанная со спином

Джованни Салези, Эрасмо Реками и его коллеги показали в 1998 году, что в соответствии с теоремой Кенига квантовый потенциал можно отождествить с кинетической энергией внутреннего движения (« zitterbewegung »), связанной со вращением спина -1/ 2 частица, наблюдаемая в системе центра масс. Более конкретно, они показали, что внутренняя скорость zitterbewegung для вращающейся нерелятивистской частицы с постоянным спином без прецессии и в отсутствие внешнего поля имеет квадратичное значение: ^[41]

${\displaystyle \mathbf {V} ^{2}={\frac {(\nabla \rho \land \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}={\frac {(\nabla \rho )^{2}\mathbf {s} ^{2}-(\nabla \rho \cdot \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}}$

откуда видно, что второй член имеет пренебрежимо малую величину; тогда из этого следует, что ${\displaystyle |\mathbf {s} |=\hbar /2}$

${\displaystyle |\mathbf {V} |={\frac {\hbar }{2}}{\frac {\nabla \rho }{m\rho }}}$

Салези предоставил более подробную информацию об этой работе в 2009 году. ^[42]

В 1999 году Сальваторе Эспозито обобщил свой результат от частиц со спином 1/2 до частиц с произвольным спином, подтвердив интерпретацию квантового потенциала как кинетической энергии внутреннего движения. Эспозито показал, что (используя обозначение =1) квантовый потенциал можно записать как: ^[43] ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2}}m\mathbf {v} _{S}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \mathbf {v} _{S}}$

и что причинная интерпретация квантовой механики может быть переформулирована в терминах скорости частицы.

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{B}+\mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

где «скорость дрейфа»

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}={\frac {\nabla S}{m}}}$

а «относительная скорость» равна , при этом ${\displaystyle \mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{S}={\frac {\nabla R^{2}}{2mR^{2}}}}$

и представляет направление вращения частицы. В этой формулировке, согласно Эспозито, квантовую механику необходимо интерпретировать в вероятностных терминах по той причине, что начальное состояние движения системы не может быть точно определено. ^[43] Эспозито объяснил, что «квантовые эффекты, присутствующие в уравнении Шрёдингера, обусловлены наличием особого пространственного направления, связанного с частицей, которое, предполагая изотропность пространства, можно отождествить со спином самой частицы». ^[44] Эспозито обобщил его от частиц материи до калибровочных частиц , в частности фотонов , для которых он показал, что, если их смоделировать как с функцией вероятности , их можно понять в подходе квантового потенциала. ^[45] ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \psi =(\mathbf {E} -i\mathbf {B} )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \psi ^{*}\cdot \psi =(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2})/2}$

Джеймс Р. Боган в 2002 году опубликовал вывод обратного преобразования из уравнения Гамильтона-Якоби классической механики в зависящее от времени уравнение Шредингера квантовой механики, которое возникает в результате калибровочного преобразования , представляющего спин, при простом требованию сохранения вероятность . Это спин-зависимое преобразование является функцией квантового потенциала. ^[46]

Квантовая механика ЭП с квантовым потенциалом как производной Шварца

В другом подходе, квантовой механике ЭП, сформулированной на основе принципа эквивалентности (ЭП), квантовый потенциал записывается как: ^{[47] [48]}

${\displaystyle Q(q)={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\{S;q\}}$

где – производная Шварца , то есть . Однако даже в тех случаях, когда это может быть равно ${\displaystyle \{\cdot \,;\cdot \}}$ ${\displaystyle \{S;q\}=(S'''/S')-(3/2)(S''/S')^{2}}$

${\displaystyle Q(q)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta R}{R}}}$

Э. Фараджи и М. Матоне подчеркивают, что это не соответствует обычному квантовому потенциалу, поскольку в их подходе является решением уравнения Шрёдингера, но не соответствует волновой функции. ^[47] Это было дополнительно исследовано Э. Р. Флойдом для классического предела ^[49] , а также Робертом Кэрроллом. ^[50] ${\displaystyle R\exp(iS/\hbar )}$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

Реинтерпретация в терминах алгебр Клиффорда

Б. Хили и Р. Е. Каллаган по-новому интерпретируют роль модели Бома и ее понятие квантового потенциала в рамках алгебры Клиффорда , принимая во внимание недавние достижения, в том числе работы Дэвида Хестенса по алгебре пространства-времени . Они показывают, как внутри вложенной иерархии алгебр Клиффорда для каждой алгебры Клиффорда могут быть построены элемент минимального левого идеала и элемент правого идеала , представляющий ее клиффордовое сопряжение , и из него элемент плотности Клиффорда (CDE) , элемент алгебры Клиффорда, изоморфный стандартной матрице плотности , но не зависящий от какого-либо конкретного представления. ^[51] На этой основе могут быть сформированы билинейные инварианты, отражающие свойства системы. Хили и Каллаган различают билинейные инварианты первого рода, каждый из которых представляет собой математическое ожидание элемента алгебры, которое может быть сформировано как , и билинейные инварианты второго рода, которые строятся с помощью производных и представляют импульс и энергию. Используя эти термины, они реконструируют результаты квантовой механики, не зависящие от конкретного представления в терминах волновой функции и не требующие ссылки на внешнее гильбертово пространство. В соответствии с более ранними результатами показано, что квантовый потенциал нерелятивистской частицы со спином ( частица Паули ) имеет дополнительный член, зависящий от спина, а импульс релятивистской частицы со спином ( частица Дирака ) состоит из линейное движение и вращательная часть. ^[52] Два динамических уравнения, управляющих эволюцией во времени, переинтерпретируются как уравнения сохранения. Один из них выступает за сохранение энергии ; другой означает сохранение вероятности и спина . ^[53] Квантовый потенциал играет роль внутренней энергии ^[54] , обеспечивающей сохранение полной энергии. ^[53] ${\displaystyle C\ell _{i,j}}$ ${\displaystyle \Phi _{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \Phi _{R}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \rho _{c}(\mathbf {r} ,t)=\Phi _{L}(\mathbf {r} ,t){\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\rm {Tr}}B\rho _{c}}$

Релятивистские и теоретико-полевые расширения

Квантовый потенциал и теория относительности

Бом и Хили продемонстрировали, что нелокальность квантовой теории можно понимать как предельный случай чисто локальной теории при условии, что передача активной информации может превышать скорость света, и что этот предельный случай дает аппроксимации как для квантовая теория и теория относительности. ^[55]

Подход квантового потенциала был распространен Хили и его сотрудниками на квантовую теорию поля в пространстве-времени Минковского ^{[56] [57] [58] [59]} и на искривленное пространство-время. ^[60]

Карло Кастро и Хорхе Маеча вывели уравнение Шредингера из уравнения Гамильтона-Якоби в сочетании с уравнением непрерывности и показали, что свойства релятивистского квантового потенциала Бома в терминах плотности ансамбля могут быть описаны вейлевскими свойствами пространства. Показано, что в римановом плоском пространстве потенциал Бома равен кривизне Вейля . Согласно Кастро и Махече, в релятивистском случае квантовый потенциал (с использованием оператора Даламбера  и в обозначениях ) принимает вид ${\displaystyle \scriptstyle \Box }$ ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2m}}{\frac {\quad \Box {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}}$

и показано, что квантовая сила, создаваемая релятивистским квантовым потенциалом, зависит от калибровочного потенциала Вейля и его производных. Более того, взаимосвязь между потенциалом Бома и кривизной Вейля в плоском пространстве-времени соответствует аналогичной взаимосвязи между информацией Фишера и геометрией Вейля после введения комплексного импульса. ^[61]

Диего Л. Рапопорт, с другой стороны, связывает релятивистский квантовый потенциал с метрической скалярной кривизной (кривизной Римана). ^[62]

Что касается уравнения Клейна-Гордона для частицы с массой и зарядом, Питер Р. Холланд говорил в своей книге 1993 года о «квантовом потенциальном члене», который пропорционален . Однако он подчеркнул, что дать теории Клейна-Гордона одночастичную интерпретацию в терминах траекторий, как это можно сделать для нерелятивистской квантовой механики Шредингера, привело бы к неприемлемым противоречиям. Например, волновые функции , являющиеся решениями уравнения Клейна-Гордона или уравнения Дирака, не могут быть интерпретированы как амплитуда вероятности нахождения частицы в заданном объеме в определенный момент времени в соответствии с обычными аксиомами квантовой механики, и аналогично в При причинно-следственной интерпретации его нельзя интерпретировать как вероятность нахождения частицы в этом объеме в данный момент времени. Холланд отметил, что, хотя были предприняты усилия по определению эрмитова оператора положения, который позволил бы интерпретировать квантовую теорию поля конфигурационного пространства, в частности, используя подход локализации Ньютона-Вигнера , но это не связано с возможностями эмпирического определения положения. с точки зрения релятивистской теории измерений или для интерпретации траектории. Однако, по мнению Холланда, это не означает, что концепцию траектории следует исключить из соображений релятивистской квантовой механики. ^[63] ${\displaystyle \Box R/R}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle d^{3}x}$ ${\displaystyle t}$

Хрвое Николич получил выражение для квантового потенциала и предложил лоренц-ковариантную формулировку бомовской интерпретации многочастичных волновых функций. ^[64] Он также разработал обобщенную релятивистско-инвариантную вероятностную интерпретацию квантовой теории, ^{[65] [66] [67]} в которой уже не плотность вероятности в пространстве, а плотность вероятности в пространстве-времени. ^{[68] [69]} ${\displaystyle Q=-(1/2m)\,\Box R/R}$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Квантовый потенциал в квантовой теории поля

На основе пространственного представления координаты поля была построена причинная интерпретация шредингеровской картины релятивистской квантовой теории. Можно показать ^[70], что картина Шредингера для нейтрального безмассового поля со спином 0 и вещественными функционалами приводит к ${\displaystyle \Psi \left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]e^{S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}}$ ${\displaystyle R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right],S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}$

${\displaystyle Q\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=-(1/2R)\int d^{3}x\,\delta ^{2}R/\delta \psi ^{2}}$

Бом и его коллеги назвали это суперквантовым потенциалом . ^[71]

Бэзил Хили показал, что соотношения энергия-импульс в модели Бома могут быть получены непосредственно из тензора энергии-импульса квантовой теории поля и что квантовый потенциал - это энергетический термин, который необходим для локального сохранения энергии-импульса. ^[72] Он также намекнул, что для частиц с энергиями, равными или превышающими порог создания пары , модель Бома представляет собой теорию многих частиц , которая описывает также процессы рождения и уничтожения пар. ^[73]

Интерпретация и наименование квантового потенциала

В своей статье 1952 года, дающей альтернативную интерпретацию квантовой механики , Бом уже говорил о «квантово-механическом» потенциале. ^[74]

Бом и Бэзил Хили также назвали квантовый потенциал информационным потенциалом , учитывая, что он влияет на форму процессов и сам формируется окружающей средой. ^[10] Бом указывал: «Корабль или самолет (с его автоматическим пилотом) представляет собой самоактивную систему, т. е. он обладает собственной энергией. Но форма его деятельности определяется информационным содержанием , касающимся его окружения, которое несет Радиолокационные волны не зависят от интенсивности волн. Мы можем аналогичным образом рассматривать квантовый потенциал как содержащий активную информацию . Он потенциально активен везде, но фактически активен только там, где и когда есть частица. (курсив в оригинале). ^[75]

Хили называет квантовый потенциал внутренней энергией ^[25] и «новым качеством энергии, играющим лишь роль в квантовых процессах». ^[76] Он объясняет, что квантовый потенциал — это еще один энергетический термин, помимо хорошо известной кинетической энергии и (классической) потенциальной энергии , и что это нелокальный энергетический термин, который обязательно возникает ввиду требования сохранения энергии; он добавил, что большая часть сопротивления физического сообщества идее квантового потенциала, возможно, была вызвана ожиданиями ученых, что энергия должна быть локальной. ^[77]

Хили подчеркнул, что квантовый потенциал для Бома был «ключевым элементом в понимании того, что может лежать в основе квантового формализма. Благодаря более глубокому анализу этого аспекта подхода Бом был убежден, что теория не может быть механической. Скорее, оно органично в смысле Уайтхеда , а именно, что именно целое определяет свойства отдельных частиц и их взаимоотношения, а не наоборот». ^{[78] [79]}

Питер Р. Холланд в своем подробном учебнике также называет ее квантовой потенциальной энергией . ^[80] Квантовый потенциал также упоминается в связи с именем Бома как потенциал Бома , квантовый потенциал Бома или квантовый потенциал Бома .

Приложения

Подход квантового потенциала можно использовать для моделирования квантовых эффектов, не требуя явного решения уравнения Шредингера, и его можно интегрировать в моделирование, такое как моделирование Монте-Карло с использованием гидродинамических уравнений и уравнений дрейфовой диффузии . ^[81] Это делается в форме «гидродинамического» расчета траекторий: исходя из плотности в каждом «жидком элементе», ускорение каждого «жидкого элемента» вычисляется из градиента и и результирующего расхождения Поле скорости определяет изменение плотности. ^[82] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$

Подход с использованием бомовых траекторий и квантового потенциала используется для расчета свойств квантовых систем, которые не могут быть решены точно и которые часто аппроксимируются с использованием квазиклассических подходов. В то время как в подходах среднего поля потенциал классического движения является результатом усреднения по волновым функциям, этот подход не требует вычисления интеграла по волновым функциям. ^[83]

Выражение для квантовой силы использовалось вместе с байесовским статистическим анализом и методами максимизации ожидания для расчета ансамблей траекторий , возникающих под влиянием классических и квантовых сил. ^[21]

дальнейшее чтение

Фундаментальные статьи

• Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «скрытых переменных» I». Физический обзор . 85 (2): 166–179. Бибкод : 1952PhRv...85..166B. дои : 10.1103/PhysRev.85.166.(полный текст)
• Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «скрытых переменных», II». Физический обзор . 85 (2): 180–193. Бибкод : 1952PhRv...85..180B. doi : 10.1103/PhysRev.85.180.(полный текст)
• Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеро: Онтологическая основа квантовой теории , Physics Reports (раздел обзора Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 321–375, 1987 (полный текст заархивирован 19 марта 2012 г.) at the Wayback Machine ), там: Д. Бом, Б. Дж. Хили: I. Нерелятивистские системы частиц , стр. 321–348, и Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеро: II. Причинная интерпретация квантовых полей , стр. 349–375.

Последние статьи

• Спонтанное создание Вселенной из ничего , arXiv:1404.1207v1, 4 апреля 2014 г.
• Морис де Госсон, Бэзил Хили: Кратковременный квантовый распространитель и бомовы траектории , arXiv:1304.4771v1 (отправлено 17 апреля 2013 г.)
• Роберт Кэрролл: Флуктуации, гравитация и квантовый потенциал , 13 января 2005 г., asXiv:gr-qc/0501045v1

Обзор

• Давиде Фискалетти: О различных подходах к квантовому потенциалу Бома в нерелятивистской квантовой механике , Квантовая материя, том 3, номер 3, июнь 2014 г., стр. 177–199 (23), doi : 10.1166/qm.2014.1113.
• Игнацио Ликата , Давиде Фискалетти (с предисловием Б. Дж. Хили ): Квантовый потенциал: физика, геометрия и алгебра , AMC, Springer, 2013, ISBN 978-3-319-00332-0 (печать) / ISBN 978-3-319- 00333-7 (онлайн)  
• Питер Р. Холланд : Квантовая теория движения: отчет о причинной интерпретации квантовой механики Де Бройля-Бома , Cambridge University Press, Кембридж (впервые опубликовано 25 июня 1993 г.), ISBN 0-521-35404-8 в твердом переплете, ISBN 0-521-48543-6 в мягкой обложке, переведен на цифровую печать в 2004 г.  
• Дэвид Бом , Бэзил Хили : Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Рутледж, 1993, ISBN 0-415-06588-7 
• Дэвид Бом, Ф. Дэвид Пит : наука, порядок и творчество , 1987, Рутледж, 2-е изд. 2000 г. (переведено на цифровую печать в 2008 г., Routledge), ISBN 0-415-17182-2 

Рекомендации

1. Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «скрытых переменных» I». Физический обзор . 85 (2): 166–179. Бибкод : 1952PhRv...85..166B. дои : 10.1103/PhysRev.85.166.(полный текст заархивирован 18 октября 2012 г. на Wayback Machine )
2. Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «скрытых переменных», II». Физический обзор . 85 (2): 180–193. Бибкод : 1952PhRv...85..180B. doi : 10.1103/PhysRev.85.180.(полный текст заархивирован 18 октября 2012 г. на Wayback Machine )
3. Д. Бом, Б. Дж. Хили: Об интуитивном понимании нелокальности, подразумеваемой квантовой теорией , Основы физики, том 5, номер 1, стр. 93–109, 1975, doi : 10.1007/BF01100319 (аннотация)
4. Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , глава 3.1. Основные моменты причинно-следственной интерпретации , с. 22–23. 
5. Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , также цитируется в: BJ Hiley и RE Callaghan: Algebras Clifford and the Dirac-Bohm Quantum Уравнение Гамильтона-Якоби , Основы физики, январь 2012 г., том 42, выпуск 1, стр. 192–208 (опубликовано в Интернете 20 мая 2011 г.), doi : 10.1007/s10701-011-9558-z (аннотация, препринт 2010 г., автор Б. Хили) ) 
6. См. например. Роберт Э. Вятт , Эрик Р. Биттнер : Динамика квантовых волновых пакетов с траекториями: реализация с помощью адаптивных лагранжевых сеток амплитуды волновой функции , Журнал химической физики, том. 113, нет. 20, 22 ноября 2000 г., с. 8898. Архивировано 2 октября 2011 г. в Wayback Machine.
7. См. Также: Пилотная волна # Математическая формулировка для одиночной частицы.
8. Би Джей Хили: Активная информация и телепортация , с. 7; появилось в: «Эпистемологические и экспериментальные перспективы квантовой физики», Д. Гринбергер и др. (ред.), стр. 113–126, Клувер, Нидерланды, 1999 г.
9. Б. Дж. Хили: От изображения Гейзенберга к Бому: новый взгляд на активную информацию и ее связь с информацией Шеннона, стр. 2 и 5. Опубликовано в: А. Хренников (ред.): Proc. Конф. Квантовая теория: пересмотр основ , стр. 141–162, Vaxjö University Press, Швеция, 2002 г.
10. BJ Hiley: Информация, квантовая теория и мозг . В: Гордон Г. Глобус (ред.), Карл Х. Прибрам (ред.), Джузеппе Витиелло (ред.): Мозг и бытие: на границе между наукой, философией, языком и искусством, Достижения в исследованиях сознания, Джон Бенджаминс. БВ, 2004, ISBN 90-272-5194-0 , стр. 197-214, стр. 207 
11. К. Филиппидис, К. Дьюдни, Б. Дж. Хили: Квантовая интерференция и квантовый потенциал , Il nuovo cimento B, vol. 52, нет. 1, 1979, стр. 15–28, номер документа : 10.1007/BF02743566.
12. К. Филиппидис, Д. Бом, Р. Д. Кэй: Эффект Ааронова-Бома и квантовый потенциал , Il nuovo cimento B, vol. 71, нет. 1, стр. 75–88, 1982 г., номер документа : 10.1007/BF02721695.
13. Бэзил Дж. Хили: Роль квантового потенциала . В: Дж. Тароцци, Алвин Ван дер Мерве: Открытые вопросы квантовой физики: приглашенные статьи об основах микрофизики , Springer, 1985, страницы 237 и далее, там страница 239.
14. Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: Онтологическая основа квантовой теории , Physics Reports (раздел обзора Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 323–348, 1987 (аннотация). Архивировано 2012-03- 19 в Wayback Machine
15. Б. Дж. Хили: Концептуальная структура интерпретации квантовой механики Бома , В: К. В. Лаурикайнен  [fi] , К. Монтонен, К. Суннарборг (ред.): Симпозиум по основам современной физики 1994 - 70 лет Matter Waves, Editions Frontières, стр. 99–118, ISBN 2-86332-169-2 , стр. 106 
16. Би Джей Хили: Активная информация и телепортация , с. 10; появилось в: «Эпистемологические и экспериментальные перспективы квантовой физики», Д. Гринбергер и др. (ред.), стр. 113–126, Клувер, Нидерланды, 1999 г.
17. См., например, Детлеф Дюрр и др.: Квантовое равновесие и происхождение абсолютной неопределенности , arXiv:quant-ph/0308039v1, 6 августа 2003 г., стр. 23 и далее.
18. Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , передано в цифровую печать в 2005 г., в ней глава 4.1. Онтологическая интерпретация системы многих тел , с. 59 
19. Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: Онтологическая основа квантовой теории , Physics Reports (раздел обзора Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 323–348, 1987 (стр. 351, формула ( 12) Архивировано 19 марта 2012 г. в Wayback Machine <--page=31 стр. 351 не является (!) опечаткой -->
20. См., например, раздел «Введение» в книге: Фернандо Огиба: Феноменологический вывод уравнения Шредингера. Архивировано 11 октября 2011 г. в Wayback Machine , Progress in Physics (указанная дата: октябрь 2011 г., но получено в Интернете ранее: 31 июля 2011 г.)
21. Джереми Б. Мэддокс, Эрик Р. Биттнер: Оценка квантовой силы Бома с использованием байесовской статистики. Архивировано 20 ноября 2011 г. в Wayback Machine , Journal of Chemical Physics, октябрь 2003 г., том. 119, нет. 13, с. 6465–6474, там с. 6472, экв.(38)
22. М. Р. Браун: Квантовый потенциал: нарушение классической симплектической симметрии и энергия локализации и дисперсии , arXiv.org (отправлено 6 марта 1997 г., версия от 5 февраля 2002 г., получено 24 июля 2011 г.) (аннотация)
23. MR Brown, BJ Hiley: Revisited Schrodinger: aалгебраический подход , arXiv.org (отправлено 4 мая 2000 г., версия от 19 июля 2004 г., получено 3 июня 2011 г.) (аннотация)
24. Морис А. де Госсон: «Принципы ньютоновской и квантовой механики - необходимость постоянной Планка h» , Imperial College Press, World Scientific Publishing, 2001, ISBN 1-86094-274-1 
25. Б. Дж. Хили: Некоммутативная квантовая геометрия: переоценка подхода Бома к квантовой теории , в: А. Элицур и др. (ред.): Quo vadis Quantum Mechanics , Springer, 2005, ISBN 3-540-22188-3 , с. 299–324 
26. Б. Дж. Хили: Некоммутативная квантовая геометрия: переоценка подхода Бома к квантовой теории . В: Авшалом К. Элицур, Шахар Долев, Нэнси Коленда (ред.): Quo Vadis Quantum Mechanics? The Frontiers Collection , 2005, стр. 299–324, doi : 10.1007/3-540-26669-0_16 (аннотация, препринт)
27. Б. Дж. Хили: Описание квантовой механики и некоммутативной геометрии в фазовом пространстве: Вигнер-Мойал и Бом в более широком контексте , В: Тео М. Ньювенхейзен и др. (ред.): За пределами квантов , World Scientific Publishing, 2007, ISBN 978-981-277-117-9 , стр. 203–211, там же с. 204 
28. Бэзил Дж. Хили: К динамике моментов: роль алгебраической деформации и неэквивалентных состояний вакуума , опубликовано в: Корреляции под ред. К.Г. Боуден, Proc. АНПА 23, 104–134, 2001 г. (PDF)
29. Би Джей Хили, Р.Э. Каллаган: Подход алгебры Клиффорда к квантовой механике A: Частицы Шредингера и Паули , arXiv.org (отправлено 17 ноября 2010 г. - аннотация)
30. Б. Хили: Описание квантовой механики и некоммутативной геометрии в фазовом пространстве: Вигнер-Мойал и Бом в более широком контексте , в: Th. М. Ньювенхейзен и др. (ред.): Beyond the Quantum , World Scientific, 2007, ISBN 978-981-277-117-9 , стр. 203–211, в нем: с. 207 и далее. 
31. С. Насири : Квантовый потенциал и симметрии в расширенном фазовом пространстве , SIGMA 2 (2006), 062, quant-ph/0511125
32. Марко Сезар Б. Фернандес, Дж. Дэвид М. Вианна: О подходе обобщенного фазового пространства к частицам Даффина – Кеммера – Петиа, Бразильский журнал физики, том. 28, нет. 4. Декабрь 1998 г., номер документа : 10.1590/S0103-97331998000400024.
33. MCB Фернандес, JDM Вианна: Об алгебре Даффина-Кеммера-Петио и обобщенном фазовом пространстве , Основы физики, том. 29, нет. 2, 1999 г. (аннотация)
34. М. Режинатто, Phys. Rev. A 58, 1775 (1998), цитируется по: Румен Цеков: К нелинейным квантовым уравнениям Фоккера-Планка , Int. Дж. Теория. Физ. 48 (2009) 1431–1435 (arXiv 0808.0326, стр. 4).
35. Роберт Кэрролл: О теме появления физики , World Scientific, 2010, ISBN 981-4291-79-X , Глава 1. Некоторые квантовые предпосылки , стр. 1. 
36. Цеков, Р. (2012) Механика Бома и квантовая гидродинамика Маделунга doi : 10.13140/RG.2.1.3663.8245
37. CF von Weizsäcker: Zur Theorie der Kernmassen , Zeitschrift für Physik, Volume 96, стр. 431–458 (1935).
38. См. также раздел «Введение»: Рафаэль Бенгурия, Хаим Брезис, Эллиот Х. Либ: Теория атомов и молекул Томаса – Ферми – фон Вайцзеккера , Commun. Математика. Phys., Том 79, стр. 167–180 (1981), doi : 10.1007/BF01942059.
39. См. также Румен Цеков: Диссипативная теория функционала плотности, зависящая от времени , Int. Дж. Теория. Физ., Том. 48, стр. 2660–2664 (2009), arXiv :0903.3644.
40. Компанеец, Александр Соломонович; Павловский Е.С.; Сов. Физ. ЖЭТФ, том 4, стр. 328–336 (1957). Цитируется в разделе «Введение»: Рафаэль Бенгурия, Хаим Брезис, Эллиот Х. Либ: Теория атомов и молекул Томаса – Ферми – фон Вейцзеккера , Commun. Математика. Phys., том 79, стр. 167–180 (1981), doi : 10.1007/BF01942059.
41. Г. Салези, Э. Реками, Х. Э. Эрнандес Ф., Луис К. Кретли: Гидродинамика вращающихся частиц , представлено 15 февраля 1998 г., arXiv.org, arXiv: hep-th/9802106v1
42. Г. Салези: Спин и жидкость Маделунга , отправлено 23 июня 2009 г., arXiv:quant-ph/0906.4147v1
43. Сальваторе Эспозито: О роли спина в квантовой механике , отправлено 5 февраля 1999 г., arXiv:quant-ph/9902019v1
44. с. 7
45. С. Эспозито: Механика фотонных волн: подход де Бройля-Бома , стр. 8 и далее.
46. Джеймс Р. Боган: Спин: связь между классикой и квантовой , arXiv.org, отправлено 19 декабря 2002 г., arXiv:quant-ph/0212110
47. Алон Э. Фарагги, М. Матоне: Постулат эквивалентности квантовой механики , Международный журнал современной физики A, том. 15, нет. 13, стр. 1869–2017. arXiv hep-th/9809127 от 6 августа 1999 г.
48. Роберт Кэрролл: Аспекты квантовых групп и интегрируемых систем , Труды Института математики НАН Украины, вып. 50, часть 1, 2004, стр. 356–367, с. 357
49. Эдвард Р. Флойд: Классический предел траекторного представления квантовой механики, потеря информации и остаточная неопределенность , arXiv:quant-ph/9907092v3
50. Р. Кэрролл: Некоторые замечания о времени, неопределенности и вращении , arXiv:quant-ph/9903081v1
51. Б. Хили, Р.Э. Каллаган: Подход алгебры Клиффорда к квантовой механике A: Частицы Шрёдингера и Паули , 14 марта 2010 г., стр. 6
52. Б. Хили, Р.Э. Каллаган: Подход алгебры Клиффорда к квантовой механике A: Частицы Шрёдингера и Паули , 14 марта 2010 г., стр. 1-29
53. Б. Хили: алгебры Клиффорда и уравнение Дирака – Бома Гамильтона – Якоби , 2 марта 2010 г., с. 22
54. Б. Дж. Хили: Некоммутативная геометрия, интерпретация Бома и отношения разума и материи , с. 14
55. Д. Бом, Б. Дж. Хили: Нелокальность и локальность в стохастической интерпретации квантовой механики , Physics Reports, том 172, выпуск 3, январь 1989 г., страницы 93–122, doi : 10.1016/0370-1573(89)90160- 9 (аннотация)
56. П. Н. Калойероу, Исследование квантового потенциала в релятивистской области , доктор философии. Диссертация, Биркбек-колледж, Лондон (1985).
57. П.Н. Калоеру, Phys. Rep. 244, 288 (1994).
58. П. Н. Калойероу, в «Бомовской механике и квантовой теории: оценка», ред. Дж. Т. Кушинг, А. Файн и С. Гольдштейн, Kluwer, Dordrecht, 155 (1996).
59. Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: Онтологическая основа квантовой теории , Physics Reports (раздел обзора Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 323–348, 1987 (PDF). Архивировано 2012-03- 19 в Wayback Machine
60. Б. Дж. Хили, А. Х. Азиз Муфт: Онтологическая интерпретация квантовой теории поля, применяемая в космологическом контексте . В: Мигель Ферреро, Алвин Ван дер Мерве (ред.): Фундаментальные проблемы квантовой физики , Фундаментальные теории физики, Kluwer Academic Publishers, 1995, ISBN 0-7923-3670-4 , страницы 141-156. 
61. Карло Кастро, Хорхе Маеча: О нелинейной квантовой механике, броуновском движении, геометрии Вейля и информации Фишера, представлено в феврале 2005 г., В: Ф. Смарандаке и В. Кристианто (ред.): Квантование в астрофизике, броуновское движение и суперсимметрия , стр. .73–87, MathTiger, 2007, Ченнаи, Тамил Наду, ISBN 81-902190-9-X , стр. 82, уравнение (37) и далее. 
62. Рапопорт, Диего Л. (2007). «Торсионные поля, пространство-время Картана-Вейля и квантовая геометрия пространства состояний, броуновское движение и их топологическое измерение». В Смарандаше, Ф.; Кристиано, В. (ред.). Квантование в астрофизике, броуновском движении и суперсимметрии . Ченнаи, Тамил Наду: MathTiger. стр. 276–328. CiteSeerX 10.1.1.75.6580 . ISBN  978-81-902190-9-9.
63. Питер Р. Холланд: Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (переиздано в 2000 г., переведено в цифровую печать в 2004 г.), ISBN 0-521-48543-6 , стр. 498 и далее. 
64. Хрвое Николич: Релятивистская квантовая механика и бомовская интерпретация , Foundations of Physics Letters, том. 18, нет. 6 ноября 2005 г., стр. 549–561, номер документа : 10.1007/s10702-005-1128-1.
65. Хрвое Николич: Время в релятивистской и нерелятивистской квантовой механике , arXiv : 0811/0811.1905 (отправлено 12 ноября 2008 г. (v1), исправлено 12 января 2009 г.)
66. Николич, Х. 2010 «QFT как пилотно-волновая теория создания и разрушения частиц», Int. Дж. Мод. Физ. А 25, 1477 (2010)
67. Хрвое Николич: Создание нелокальной реальности, совместимой с теорией относительности , arXiv : 1002.3226v2 [quant-ph] (отправлено 17 февраля 2010 г., версия от 31 мая 2010 г.)
68. Хрвое Николич: Бомовская механика в релятивистской квантовой механике, квантовой теории поля и теории струн , 2007 J. Phys.: Conf. Сер. 67 012035
69. См. Также: Теория Де Бройля – Бома # Relativity
70. Питер Р. Холланд: Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (переиздано в 2000 г., переведено в цифровую печать в 2004 г.), ISBN 0-521-48543-6 , стр. 520 и далее. 
71. Бэзил Хили: Концептуальная структура интерпретации квантовой механики Бома , Калерво Вихтори Лаурикайнен и др. (редактор): Симпозиум по основам современной физики 1994: 70 лет волн материи , Editions Frontières, ISBN 2-86332-169- 2 , с. 99–117, с. 144 
72. Би Джей Хили: Переоценка подхода Бома (препринт 2010 г.), стр. 6
73. Би Джей Хили (25 марта 2013 г.). «Бомовская некоммутативная динамика: история и новые разработки».Препринт arXiv:1303.6057 (отправлен 25 марта 2013 г.)
74. Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «скрытых переменных» I». Физический обзор . 85 (2): 166–179. Бибкод : 1952PhRv...85..166B. дои : 10.1103/PhysRev.85.166.п. 170. Архивировано 18 октября 2012 г. в Wayback Machine.
75. Дэвид Бом: Значение и информация. Архивировано 9 октября 2011 г. на archive.today , В: П. Пюлкканен (ред.): Поиск смысла: новый дух в науке и философии , Crucible, The Aquarian Press, 1989, ISBN. 978-1-85274-061-0 
76. Б. Дж. Хили: Некоммутативная квантовая геометрия: переоценка подхода Бома к квантовой теории . В: Авшалом К. Элицур, Шахар Долев, Нэнси Коленда (ред.): Quo vadis квантовая механика? Springer, 2005, ISBN 3-540-22188-3 , стр. 299 и далее, там стр. 310 
77. Бэзил Хили и Тахер Гозель, серия 5, YouTube (загружено 8 сентября 2013 г.)
78. Би Джей Хили: Некоторые замечания об эволюции предложений Бома об альтернативе квантовой механике, 30 января 2010 г.
79. См. Также: Бэзил Хили # Квантовый потенциал и активная информация.
80. Питер Р. Холланд : Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (переиздано в 2000 г., переведено в цифровую печать в 2004 г.), ISBN 0-521-48543-6 , стр. 72 
81. Г. Ианнакконе, Г. Куратола, Г. Фиори: Эффективный квантовый потенциал Бома для симуляторов устройств на основе дрейфа-диффузии и переноса энергии , Моделирование полупроводниковых процессов и устройств, 2004, том. 2004, стр. 275–278.
82. Эрик Р. Биттнер: Динамика квантового туннелирования с использованием гидродинамических траекторий , arXiv:quant-ph/0001119v2, 18 февраля 2000 г., стр. 3.
83. Э. Гинденсбергер, К. Мейер, Дж. А. Бесвик: Смешение квантовой и классической динамики с использованием бомовских траекторий. Архивировано 28 марта 2012 г. в Wayback Machine , Journal of Chemical Physics, vol. 113, нет. 21, 1 декабря 2000 г., стр. 9369–9372.