Квантовый предел

Квантовый предел в физике — это предел точности измерений в квантовых масштабах. ^[1] В зависимости от контекста предел может быть абсолютным (например, предел Гейзенберга ) или применяться только тогда, когда эксперимент проводится с естественными квантовыми состояниями (например, стандартный квантовый предел в интерферометрии), и его можно обойти с помощью усовершенствованные схемы подготовки и измерений.

Однако использование термина «стандартный квантовый предел» или SQL шире, чем просто интерферометрия. В принципе, к таким ограничениям приводит любое линейное измерение квантовомеханической наблюдаемой изучаемой системы, которая не коммутирует сама с собой в разные моменты времени. Короче говоря, причиной является принцип неопределенности Гейзенберга .

Схематическое описание того, как процесс физического измерения описывается в квантовой механике.

Более подробное объяснение заключалось бы в том, что любое измерение в квантовой механике включает в себя как минимум две стороны: объект и измеритель. Первая — это система, наблюдаемую, скажем , которую мы хотим измерить. Последняя представляет собой систему, которую мы соединяем с Объектом, чтобы вывести значение Объекта путем записи некоторой выбранной наблюдаемой этой системы, например , положения указателя на шкале Измерителя. Вкратце, это модель большинства измерений, происходящих в физике, известных как косвенные измерения (см. стр. 38–42 в ^[1] ). Таким образом, любое измерение является результатом взаимодействия, и оно действует в обоих направлениях. Таким образом, Измеритель воздействует на Объект во время каждого измерения, обычно через величину , сопряженную с измеряемой наблюдаемой , тем самым искажая значение измеряемой наблюдаемой и модифицируя результаты последующих измерений. Это известно как обратное воздействие (квант) измерителя на измеряемую систему. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

В то же время квантовая механика предписывает, что показания, наблюдаемые измерителем, должны иметь присущую им неопределенность, аддитивную к значению измеряемой величины и независимую от нее . Это явление известно как погрешность измерения или шум измерения . Из-за принципа неопределенности Гейзенберга эта неточность не может быть произвольной и связана с возмущением обратного действия соотношением неопределенности : ${\displaystyle \delta {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle \Delta {\mathcal {O}}\Delta {\mathcal {F}}\geqslant \hbar /2\,,}$

где — стандартное отклонение наблюдаемой величины , обозначающее математическое ожидание любого квантового состояния, в котором находится система. Равенство достигается, если система находится в состоянии минимальной неопределенности . Следствием для нашего случая является то, что чем точнее наше измерение, т.е. чем меньше , тем большее возмущение оказывает измеритель на измеряемую наблюдаемую . Поэтому показания счетчика будут, как правило, состоять из трех слагаемых: ${\displaystyle \Delta a={\sqrt {\langle {\hat {a}}^{2}\rangle -\langle {\hat {a}}\rangle ^{2}}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle {\hat {a}}\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {\delta O}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}={\hat {x}}_{\mathrm {free} }+\delta {\hat {\mathcal {O}}}+\delta {\hat {x}}_{BA}[{\hat {\mathcal {F}}}]\,,}$

где - значение, которое имел бы Объект, если бы он не был соединен с Измерителем, и - возмущение значения, вызванное силой обратного действия, . Неопределенность последнего пропорциональна . Таким образом, существует минимальное значение или предел точности, которую можно получить при таком измерении, при условии, что и не коррелируют. ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {free} }}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle \delta {\hat {x_{BA}}}[{\hat {\mathcal {F}}}]}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {F}}\propto \Delta {\mathcal {O}}^{-1}}$ ${\displaystyle \delta {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$

Термины «квантовый предел» и «стандартный квантовый предел» иногда используются как синонимы. Обычно «квантовый предел» — это общий термин, который относится к любому ограничению измерения из-за квантовых эффектов, тогда как «стандартный квантовый предел» в любом данном контексте относится к квантовому пределу, который встречается повсеместно в этом контексте.

Примеры

Измерение смещения

Рассмотрим очень простую схему измерения, которая, тем не менее, воплощает в себе все основные особенности измерения общего положения. В схеме, представленной на рисунке, для контроля перемещения тела зонда используется последовательность очень коротких световых импульсов . Положение проверяется периодически с интервалом времени . Мы предполагаем массу достаточно большой, чтобы пренебречь смещением, вызываемым импульсами регулярного (классического) радиационного давления в процессе измерения. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle M}$

Упрощенная схема оптического измерения положения механического объекта

Тогда каждый -й импульс при отражении несет фазовый сдвиг, пропорциональный значению положения пробной массы в момент отражения: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x(t_{j})}$

где , – частота света, – число импульсов, – начальная (случайная) фаза -го импульса. Мы предполагаем, что среднее значение всех этих фаз равно нулю, а их среднеквадратическая неопределенность (RMS) равна . ${\displaystyle k_{p}=\omega _{p}/c}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle j=\dots ,-1,0,1,\dots }$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}_{j}\rangle =0}$ ${\displaystyle (\langle {\hat {\phi ^{2}}}\rangle -\langle {\hat {\phi }}\rangle ^{2})^{1/2}}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$

Отраженные импульсы детектируются фазочувствительным устройством (фазовым детектором). Реализация оптического фазового детектора может быть осуществлена ​​с использованием, например, схем гомодинного или гетеродинного обнаружения (см. раздел 2.3 в ^[2] и ссылки в нем) или других подобных методов считывания.

В этом примере фаза светового импульса служит показанием, наблюдаемым измерителем. Тогда предположим, что погрешность измерения фазы, вносимая детектором, значительно меньше начальной неопределенности фаз . В этом случае единственным источником погрешности измерения положения будет первоначальная неопределенность: ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$

Для удобства перенормируем уравнение. ( 1 ) как эквивалентное перемещение пробной массы:

где

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})=-{\frac {{\hat {\phi }}_{j}}{2k_{p}}}}$

являются независимыми случайными величинами со среднеквадратичными неопределенностями, определяемыми уравнением. ( 2 ).

Каждый световой импульс при отражении толкает пробную массу, передавая ей импульс обратного действия, равный

где и – значения импульса пробной массы непосредственно перед и сразу после отражения светового импульса, а – энергия -го импульса, играющая роль обратного действия, наблюдаемого измерителем. Большую часть этого возмущения вносит классическое лучевое давление: ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\mathcal {W}}\,,}$

со средней энергией импульсов. Поэтому ее влиянием можно было пренебречь, поскольку оно могло быть либо вычтено из результата измерения, либо компенсировано исполнительным механизмом. Случайная часть, не поддающаяся компенсации, пропорциональна отклонению энергии импульса: ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }-\langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\bigl (}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}-{\mathcal {W}}{\bigr )}\,,}$

и его среднеквадратичное значение неопределенности равно

со среднеквадратической неопределенностью энергии импульса. ${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}}$

Предполагая, что зеркало свободно (что является хорошим приближением, если интервал времени между импульсами намного короче периода колебаний подвесного зеркала ), можно оценить дополнительное смещение, вызванное обратным действием -го импульса, которое будет способствовать неопределенность последующего измерения по времени импульса позже: ${\displaystyle \vartheta \ll T}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {{\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

Его неопределенность будет просто

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {\Delta {p}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

Если мы теперь хотим оценить, насколько переместилось зеркало между импульсами и , т. е. его смещение , нам придется иметь дело с тремя дополнительными неопределенностями, которые ограничивают точность нашей оценки: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle \delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\tilde {x}}(t_{j+1})-{\tilde {x}}(t_{j})}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\Bigl [}(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1}))^{2}+(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j}))^{2}+(\Delta x_{\rm {b.a.}}(t_{j}))^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\,,}$

где мы предположили, что все вклады в нашу неопределенность измерений статистически независимы и, таким образом, получили суммарную неопределенность путем суммирования стандартных отклонений. Если далее предположить, что все световые импульсы подобны и имеют одинаковую неопределенность фазы, то . ${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})=\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j})\equiv \Delta x_{\rm {meas}}=\Delta \phi /(2k_{p})}$

Теперь, какова минимальная эта сумма и какова минимальная ошибка, которую можно получить в этой простой оценке? Ответ следует из квантовой механики, если вспомнить, что энергия и фаза каждого импульса являются канонически сопряженными наблюдаемыми и, следовательно, подчиняются следующему соотношению неопределенности:

${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}\Delta \phi \geq {\frac {\hbar \omega _{p}}{2}}\,.}$

Следовательно, из уравнений ( 2 и 5 ) видно, что ошибка измерения положения и возмущение импульса из-за обратного действия также удовлетворяют соотношению неопределенности: ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$ ${\displaystyle \Delta p_{\mathrm {b.a.} }}$

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }\Delta p_{\mathrm {b.a.} }\geq {\frac {\hbar }{2}}\,.}$

Принимая во внимание это соотношение, минимальная неопределенность , которую должен иметь световой импульс, чтобы не слишком сильно возмущать зеркало, должна быть равна податливости для обоих . Таким образом, минимальная ошибка измерения смещения, предписанная квантовой механикой, равна: ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$ ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }}$ ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {min} }={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{2M}}}}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}\geqslant {\Bigl [}2(\Delta x_{\rm {meas}})^{2}+{\Bigl (}{\frac {\hbar \vartheta }{2M\Delta x_{\rm {meas}}}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\geqslant {\sqrt {\frac {3\hbar \vartheta }{2M}}}\,.}$

Это стандартный квантовый предел для такой двухимпульсной процедуры. В принципе, если мы ограничим наше измерение только двумя импульсами и не будем беспокоиться о дальнейшем нарушении положения зеркала, погрешность измерения второго импульса теоретически может быть уменьшена до 0 (это, конечно, даст ) и предел погрешность измерения перемещения снизится до: ${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})}$ ${\displaystyle \Delta p_{\rm {b.a.}}(t_{j+1})\to \infty }$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{SQL}={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{M}}}\,,}$

который известен как стандартный квантовый предел для измерения смещения свободной массы.

Этот пример представляет собой простой частный случай линейного измерения . Этот класс схем измерений может быть полностью описан двумя линейными уравнениями вида~( 3 ) и ( 4 ) при условии, что как погрешность измерения, так и возмущение обратного действия объекта ( и в данном случае) статистически независимы от испытания. начальное квантовое состояние объекта и удовлетворяют тому же соотношению неопределенности, что и измеряемая наблюдаемая и ее канонически сопряженный аналог (в данном случае положение и импульс объекта). ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})}$

Использование в квантовой оптике

В контексте интерферометрии или других оптических измерений стандартный квантовый предел обычно относится к минимальному уровню квантового шума , который можно получить без сжатых состояний . ^[4]

Кроме того, существует квантовый предел фазового шума , достижимый только для лазера на высоких шумовых частотах.

В спектроскопии самая короткая длина волны рентгеновского спектра называется квантовым пределом. ^[5]

Вводящее в заблуждение отношение к классическому пределу

Обратите внимание, что из-за перегрузки слова «предел» классический предел не является противоположностью квантового предела. В «квантовом пределе» «предел» используется в смысле физического ограничения (например, предел Армстронга ). В «классическом пределе» «предел» употребляется в смысле предельного процесса . (Обратите внимание, что не существует простого строгого математического предела, который полностью восстанавливает классическую механику из квантовой механики, несмотря на теорему Эренфеста . Тем не менее, в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве такие пределы более систематичны и практичны.)

Смотрите также

• Классический предел
• Предел Гейзенберга
• Ультрарелятивистский предел

Ссылки и примечания

1. Брагинский, В.Б.; Халили, Ф.Я. (1992). Квантовые измерения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521484138.
2. Данилишин, С.Л.; Халили Ф. Я. (2012). «Квантовая теория измерений в детекторах гравитационных волн». Живые обзоры в теории относительности . 15 (5): 60. arXiv : 1203.1706 . Бибкод : 2012LRR....15....5D. дои : 10.12942/lrr-2012-5 . ПМК 5256003 . ПМИД  28179836. 
3. Чен, Янбэй (2013). «Макроскопическая квантовая механика: теория и экспериментальные концепции оптомеханики». Дж. Физ. Летучая мышь. Мол. Опция Физ . 46 (10): 104001. arXiv : 1302.1924 . Бибкод : 2013JPhB...46j4001C. дои : 10.1088/0953-4075/46/10/104001. S2CID  118570800.
4. Джаекель, Монтана; Рейно, С. (1990). «Квантовые пределы в интерферометрических измерениях». Письма по еврофизике . 13 (4): 301–306. arXiv : Quant-ph/0101104 . Бибкод : 1990EL.....13..301J. дои : 10.1209/0295-5075/13/4/003. S2CID  250851585.
5. Поршень, Д.С. (1936). «Поляризация рентгеновских лучей от тонких мишеней». Физический обзор . 49 (4): 275–279. Бибкод : 1936PhRv...49..275P. doi : 10.1103/PhysRev.49.275.