Классическая модель Гейзенберга

В статистической физике классическая модель Гейзенберга , разработанная Вернером Гейзенбергом , представляет собой случай n -векторной модели , одной из моделей, используемых для моделирования ферромагнетизма и других явлений. ${\displaystyle n=3}$

Определение

Классическую модель Гейзенберга можно сформулировать следующим образом: возьмем d-мерную решетку и поместим в нее набор спинов единичной длины,

${\displaystyle {\vec {s}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3},|{\vec {s}}_{i}|=1\quad (1)}$,

на каждом узле решетки.

Модель определяется с помощью следующего гамильтониана :

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\sum _{i,j}{\mathcal {J}}_{ij}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}\quad (2)}$

где

${\displaystyle {\mathcal {J}}_{ij}={\begin{cases}J&{\mbox{if }}i,j{\mbox{ are neighbors}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}}$

представляет собой связь между спинами.

Характеристики

• В статье о модели Поттса развит общий математический формализм, используемый для описания и решения модели Гейзенберга и некоторых ее обобщений .
• В континуальном пределе модель Гейзенберга (2) дает следующее уравнение движения

${\displaystyle {\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.}$

Это уравнение называется непрерывным классическим уравнением ферромагнетика Гейзенберга или, короче, моделью Гейзенберга и интегрируемо в смысле теории солитонов. Оно допускает несколько интегрируемых и неинтегрируемых обобщений, таких как уравнение Ландау-Лифшица , уравнение Ишимори и т. д.

Одно измерение

• В случае дальнодействующего взаимодействия термодинамический предел хорошо определен, если ; намагниченность остается нулевой, если ; но намагниченность положительна при достаточно низкой температуре, если (инфракрасные границы). ${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha \geq 2}$ ${\displaystyle 1<\alpha <2}$
• Как и в любой n-векторной модели «ближайшего соседа» со свободными граничными условиями, если внешнее поле равно нулю, существует простое точное решение.

Два измерения

• В случае дальнодействующего взаимодействия термодинамический предел хорошо определен, если ; намагниченность остается нулевой, если ; но намагниченность положительна при достаточно низкой температуре, если (инфракрасные границы). ${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >2}$ ${\displaystyle \alpha \geq 4}$ ${\displaystyle 2<\alpha <4}$
• Поляков предположил, что, в отличие от классической модели XY , для любого не существует дипольной фазы ; а именно, при ненулевых температурах корреляции группируются экспоненциально быстро. ^[1] ${\displaystyle T>0}$

Три и более измерений

Независимо от диапазона взаимодействия при достаточно низкой температуре намагниченность положительна.

Предположительно, в каждом из экстремальных состояний при низкой температуре усеченные корреляции алгебраически затухают.

Смотрите также

• Модель Гейзенберга (квантовая)
• модель Изинга
• Классическая модель XY
• Магнетизм
• Ферромагнетизм
• Уравнение Ландау–Лифшица
• Уравнение Ишимори

Ссылки

1. Поляков, AM (1975). «Взаимодействие частиц голдстоуна в двух измерениях. Приложения к ферромагнетикам и массивным полям Янга-Миллса». Phys. Lett . B 59 (1): 79–81. Bibcode :1975PhLB...59...79P. doi :10.1016/0370-2693(75)90161-6.

Внешние ссылки

• Отсутствие ферромагнетизма или антиферромагнетизма в одномерных или двумерных изотропных моделях Гейзенберга. Архивировано 08.06.2020 на Wayback Machine
• Модель Гейзенберга - Библиография
• Моделирование Монте-Карло моделей Гейзенберга, XY и Изинга с 3D-графикой (требуется браузер, совместимый с WebGL)