Гамильтонова теория поля

Формализм в классической теории поля, основанный на гамильтоновой механике

В теоретической физике гамильтонова теория поля является теоретико-полевым аналогом классической гамильтоновой механики . Это формализм в классической теории поля наряду с лагранжевой теорией поля . Она также имеет приложения в квантовой теории поля .

Определение

Гамильтониан для системы дискретных частиц является функцией их обобщенных координат и сопряженных импульсов, а также, возможно, времени. Для континуумов и полей гамильтонова механика непригодна, но может быть расширена путем рассмотрения большого числа точечных масс и принятия непрерывного предела, то есть бесконечного числа частиц , образующих континуум или поле. Поскольку каждая точечная масса имеет одну или несколько степеней свободы , формулировка поля имеет бесконечно много степеней свободы.

Одно скалярное поле

Плотность гамильтониана является непрерывным аналогом для полей; это функция полей, сопряженных полей "импульса" и, возможно, самих пространственных и временных координат. Для одного скалярного поля φ ( x , t ) плотность гамильтониана определяется из плотности лагранжиана как ^{[nb 1]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ,\pi ,\mathbf {x} ,t)={\dot {\phi }}\pi -{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,.}$

где ∇ — оператор «del» или «nabla» , x — вектор положения некоторой точки в пространстве, а t — время . Плотность лагранжиана является функцией полей в системе, их пространственных и временных производных, а также, возможно, самих пространственных и временных координат. Это полевой аналог функции Лагранжа для системы дискретных частиц, описываемых обобщенными координатами.

Как и в гамильтоновой механике, где каждая обобщенная координата имеет соответствующий обобщенный импульс, поле φ ( x , t ) имеет сопряженное поле импульса π ( x , t ) , определяемое как частная производная плотности лагранжиана по производной поля по времени,

${\displaystyle \pi ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,\quad {\dot {\phi }}\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\,,}$

в котором точка над точкой ^{[nb 2]} обозначает частичную производную по времени ∂/∂ t , а не полную производную по времени d / dt .

Множество скалярных полей

Для многих полей φ _i ( x , t ) и их сопряженных π _i ( x , t ) плотность гамильтониана является функцией их всех:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi _{i}}}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots \nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\partial \phi _{1}/\partial t,\partial \phi _{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)\,.}$

где каждое сопряженное поле определяется относительно своего поля,

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,.}$

В общем случае для любого числа полей объемный интеграл плотности гамильтониана дает гамильтониан в трех пространственных измерениях:

${\displaystyle H=\int {\mathcal {H}}\ d^{3}x\,.}$

Плотность Гамильтона — это гамильтониан на единицу пространственного объема. Соответствующая размерность — [энергия][длина] ⁻³ , в единицах СИ Джоули на кубический метр, Дж·м ⁻³ .

Тензорные и спинорные поля

Приведенные выше уравнения и определения могут быть расширены до векторных полей и, в более общем смысле, тензорных полей и спинорных полей . В физике тензорные поля описывают бозоны , а спинорные поля — фермионы .

Уравнения движения

Уравнения движения для полей аналогичны уравнениям Гамильтона для дискретных частиц. Для любого числа полей:

Уравнения гамильтонового поля

${\displaystyle {\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,}$

где снова точки над точками — это частные производные по времени, вариационная производная по полям

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\nabla \cdot {\frac {\partial }{\partial (\nabla \phi _{i})}}\,,}$

с · скалярным произведением , должно использоваться вместо просто частных производных .

Фазовое пространство

Поля φ _i и сопряженные им π _i образуют бесконечномерное фазовое пространство , поскольку поля имеют бесконечное число степеней свободы.

скобка Пуассона

Для двух функций, зависящих от полей φ _i и π _i , их пространственных производных, а также пространственных и временных координат,

${\displaystyle A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,}$

${\displaystyle B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,}$

и поля равны нулю на границе объема, по которому берутся интегралы, теоретико-полевая скобка Пуассона определяется как (не путать с коммутатором из квантовой механики). ^[1]

${\displaystyle [A,B]_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,}$

где вариационная производная ${\displaystyle \delta {\mathcal {F}}/\delta f}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.}$

При тех же условиях исчезновения полей на поверхности для временной эволюции A справедлив следующий результат (аналогично для B ):

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}}$

которую можно найти из полной производной по времени от A , интегрирования по частям и использования приведенной выше скобки Пуассона.

Явная независимость от времени

Следующие результаты верны, если плотности Лагранжа и Гамильтона явно не зависят от времени (они все еще могут иметь неявную зависимость от времени через поля и их производные):

Плотности кинетической и потенциальной энергии

Плотность гамильтониана — это полная плотность энергии, сумма плотности кинетической энергии ( ) и плотности потенциальной энергии ( ), ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {T}}+{\mathcal {V}}\,.}$

Уравнение непрерывности

Взяв частную производную по времени от определения плотности Гамильтона выше и используя цепное правило для неявного дифференцирования и определение сопряженного поля импульса, получаем уравнение непрерывности :

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0}$

в котором плотность гамильтониана можно интерпретировать как плотность энергии, и

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

поток энергии или поток энергии в единицу времени на единицу площади поверхности.

Релятивистская теория поля

Ковариантная гамильтонова теория поля — это релятивистская формулировка гамильтоновой теории поля.

Гамильтонова теория поля обычно означает симплектический гамильтонов формализм применительно к классической теории поля , который принимает форму мгновенного гамильтонова формализма на бесконечномерном фазовом пространстве , и где канонические координаты являются полевыми функциями в некоторый момент времени. ^[2] Этот гамильтонов формализм применяется к квантованию полей , например, в квантовой калибровочной теории . В ковариантной гамильтоновой теории поля канонические импульсы p ^μ _i соответствуют производным полей по всем мировым координатам x ^μ . ^[3] Ковариантные уравнения Гамильтона эквивалентны уравнениям Эйлера–Лагранжа в случае гиперрегулярных лагранжианов . Ковариантная гамильтонова теория поля развивается в вариантах Гамильтона–де Дондера, ^[4] полисимплектическом, ^[5] мультисимплектическом ^[6] и k -симплектическом ^[7] . Фазовое пространство ковариантной гамильтоновой теории поля представляет собой конечномерное полисимплектическое или мультисимплектическое многообразие.

Гамильтонова неавтономная механика формулируется как ковариантная гамильтонова теория поля на расслоениях по оси времени, т.е. действительной прямой . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Смотрите также

• Аналитическая механика
• Теория Де Дондера–Вейля
• Четырехвекторный
• Каноническое квантование
• Гамильтонова механика жидкости
• Ковариантная классическая теория поля
• Полисимплектическое многообразие
• Неавтономная механика

Примечания

1. Стандартным злоупотреблением обозначениями является сокращение всех производных и координат в плотности Лагранжа следующим образом:

   ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })}$

   μ — это индекс, который принимает значения 0 (для временной координаты) и 1, 2, 3 (для пространственных координат), поэтому строго будет присутствовать только одна производная или координата. В общем случае все пространственные и временные производные появятся в лагранжевой плотности, например, в декартовых координатах лагранжева плотность имеет полную форму:

   ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}$

   Здесь мы записываем то же самое, но используя ∇ для сокращения всех пространственных производных в виде вектора.
2. Это стандартное обозначение в данном контексте, большая часть литературы явно не упоминает, что это частная производная. В общем случае полная и частная производная функции по времени не являются одним и тем же.

Цитаты

1. Грейнер и Рейнхардт 1996, Глава 2
2. Готей, М., Мультисимплектическая структура для классической теории поля и вариационного исчисления. II. Пространственно-временная декомпозиция, в "Механика, анализ и геометрия: 200 лет после Лагранжа" (Северная Голландия, 1991).
3. Джакетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г. , «Усовершенствованная классическая теория поля», World Scientific, 2009, ISBN  978-981-283-895-7 .
4. Крупкова, О., Гамильтонова теория поля, Журнал геометрической физики 43 (2002) 93.
5. Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Ковариантные гамильтоновы уравнения для теории поля, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv :hep-th/9904062.
6. Эчеверрия-Энрикес, А., Муньос-Леканда, М., Роман-Рой, Н., Геометрия мультисимплектических гамильтоновых теорий поля первого порядка, J. ​​Math. Phys. 41 (2002) 7402.
7. Рей, А., Роман-Рой, Н. Салдаго, М., Формализм Гюнтера ( k -симплектический формализм) в классической теории поля: подход Скиннера-Раска и оператор эволюции, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

Ссылки

• Бадин, Г.; Крисциани, Ф. (2018). Вариационная формулировка динамики жидкости и геофизической жидкости - Механика, симметрии и законы сохранения - . Springer. стр. 218. Bibcode :2018vffg.book.....B. doi :10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID  125902566.
• Голдштейн, Герберт (1980). «Глава 12: Непрерывные системы и поля». Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Addison Wesley. стр. 562–565. ISBN 0201029189.
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer, ISBN 3-540-59179-6
• Феттер, АЛ; Валецка, ДЖД (1980). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Довер. стр. 258–259. ISBN 978-0-486-43261-8.