Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

Способы записи некоторых законов физики

Ковариантная формулировка классического электромагнетизма относится к способам записи законов классического электромагнетизма (в частности, уравнений Максвелла и силы Лоренца ) в форме, которая явно инвариантна относительно преобразований Лоренца , в формализме специальной теории относительности, использующей прямолинейные инерциальные системы координат . Эти выражения упрощают доказательство того, что законы классического электромагнетизма принимают одинаковую форму в любой инерциальной системе координат, а также предоставляют способ перевода полей и сил из одной системы в другую. Однако это не так обще, как уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени или непрямолинейных системах координат. ^[a]

Ковариантные объекты

Предварительные четыре вектора

В данной статье для описания тел или частиц могут быть использованы тензоры Лоренца следующих видов:

• четырехобъемный : $${\displaystyle x^{\alpha }=(ct,\mathbf {x} )=(ct,x,y,z)\,.}$$
• Четырехскоростная : где γ ( u ) — фактор Лоренца при 3-скорости u . $${\displaystyle u^{\alpha }=\gamma (c,\mathbf {u} ),}$$
• Четырехимпульс : где — 3-импульс, — полная энергия , — масса покоя . $${\displaystyle p^{\alpha }=(E/c,\mathbf {p} )=m_{0}u^{\alpha }}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m_{0}}$
• Четырехградиентный : $${\displaystyle \partial ^{\nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\mathbf {\nabla } \right)\,,}$$
• Оператор Даламбера обозначается , ${\displaystyle {\partial }^{2}}$ $${\displaystyle \partial ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}.}$$

Знаки в следующем тензорном анализе зависят от соглашения, используемого для метрического тензора . Соглашение, используемое здесь, это (+ − − −) , что соответствует метрическому тензору Минковского : $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$$

Электромагнитный тензор

Электромагнитный тензор представляет собой комбинацию электрического и магнитного полей в ковариантный антисимметричный тензор , элементы которого являются величинами B -поля. ^[1] А результатом повышения его индексов является , где E — электрическое поле , B — магнитное поле , а c — скорость света . $${\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle F^{\mu \nu }\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \eta ^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,\eta ^{\beta \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\,,}$$

Четырехпоточный

Четырехток — это контравариантный четырехвектор, объединяющий плотность электрического заряда ρ и плотность электрического тока j : $${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {j} )\,.}$$

Четырехпотенциальный

Электромагнитный четырехпотенциал представляет собой ковариантный четырехвектор, содержащий электрический потенциал (также называемый скалярным потенциалом ) ϕ и магнитный векторный потенциал (или векторный потенциал ) A , следующим образом: $${\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,.}$$

Дифференциал электромагнитного потенциала равен $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.}$$

На языке дифференциальных форм , который обеспечивает обобщение на искривленное пространство-время, это компоненты 1-формы и 2-формы соответственно. Здесь — внешняя производная и клиновое произведение . ${\displaystyle A=A_{\alpha }dx^{\alpha }}$ ${\textstyle F=dA={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }dx^{\alpha }\wedge dx^{\beta }}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \wedge }$

Электромагнитный тензор энергии-напряжения

Электромагнитный тензор энергии-импульса можно интерпретировать как плотность потока четырехвектора импульса, и он является контравариантным симметричным тензором, который является вкладом электромагнитных полей в общий тензор энергии-импульса : где - электрическая проницаемость вакуума , μ ₀ - магнитная проницаемость вакуума , вектор Пойнтинга равен , а тензор напряжений Максвелла определяется выражением $${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\varepsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$$ $${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-\left({\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}\,.}$$

Тензор электромагнитного поля F образует тензор электромагнитного напряжения-энергии T по уравнению: ^[2] где η — метрический тензор Минковского (с сигнатурой (+ − − −) ). Обратите внимание, что мы используем тот факт, который предсказывается уравнениями Максвелла. $${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta ^{\alpha \nu }F_{\nu \gamma }F^{\beta \gamma }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,,}$$

Уравнения Максвелла в вакууме

В вакууме (или для микроскопических уравнений, не включающих макроскопические описания материалов) уравнения Максвелла можно записать в виде двух тензорных уравнений.

Два неоднородных уравнения Максвелла, закон Гаусса и закон Ампера (с поправкой Максвелла) объединяются в (с метрикой (+ − − −) ): ^[3]

Закон Гаусса – Ампера

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$

Однородные уравнения – закон индукции Фарадея и закон Гаусса для магнетизма объединяются в , который можно записать с использованием дуальности Леви-Чивиты как: ${\displaystyle \partial ^{\sigma }F^{\mu \nu }+\partial ^{\mu }F^{\nu \sigma }+\partial ^{\nu }F^{\sigma \mu }=0}$

Закон Гаусса – Фарадея

${\displaystyle \partial _{\alpha }\left(\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }\right)=0}$

где F ^αβ — электромагнитный тензор , J ^α — 4-ток , ε ^αβγδ — символ Леви-Чивиты , а индексы ведут себя в соответствии с соглашением Эйнштейна о суммировании .

Каждое из этих тензорных уравнений соответствует четырем скалярным уравнениям, по одному для каждого значения β .

Используя антисимметричную тензорную нотацию и обозначение запятой для частной производной (см. исчисление Риччи ), второе уравнение можно записать более компактно как: $${\displaystyle F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=0.}$$

При отсутствии источников уравнения Максвелла сводятся к: которое представляет собой уравнение электромагнитной волны в тензоре напряженности поля. $${\displaystyle \partial ^{\nu }\partial _{\nu }F^{\alpha \beta }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \partial ^{2}F^{\alpha \beta }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}F^{\alpha \beta } \over {\partial t}^{2}}-\nabla ^{2}F^{\alpha \beta }=0\,,}$$

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

Калибровочное условие Лоренца является лоренц-инвариантным калибровочным условием. (Это можно противопоставить другим калибровочным условиям, таким как калибровка Кулона , которая, если она выполняется в одной инерциальной системе отсчета, в общем случае не выполняется ни в какой другой.) Она выражается в терминах четырехпотенциала следующим образом: $${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=\partial ^{\alpha }A_{\alpha }=0\,.}$$

В калибровке Лоренца микроскопические уравнения Максвелла можно записать как: $${\displaystyle {\partial }^{2}A^{\sigma }=\mu _{0}\,J^{\sigma }\,.}$$

сила Лоренца

Заряженная частица

Сила Лоренца f, действующая на заряженную частицу (с зарядом q ) в движении (мгновенная скорость v ). Поле E и поле B изменяются в пространстве и времени.

Электромагнитные (ЭМ) поля влияют на движение электрически заряженной материи: из-за силы Лоренца . Таким образом, ЭМ поля могут быть обнаружены (с приложениями в физике элементарных частиц и природных явлениях, таких как полярные сияния ). В релятивистской форме сила Лоренца использует тензор напряженности поля следующим образом. ^[4]

Выражаясь через координатное время t , это выглядит так: где p _α — 4-импульс, q — заряд , а x ^β — положение. $${\displaystyle {dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }}{dt}},}$$

Выражаясь в форме, не зависящей от системы отсчета, мы имеем 4-силу , где u ^β — 4-скорость, а τ — собственное время частицы , которое связано с координатным временем соотношением dt = γdτ . $${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta },}$$

Зарядовый континуум

Сила Лоренца, действующая на пространственный объем f при непрерывном распределении заряда ( плотность заряда ρ) в движении.

Плотность силы, обусловленной электромагнетизмом, пространственная часть которой представляет собой силу Лоренца, определяется выражением и связана с тензором электромагнитного напряжения-энергии соотношением $${\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.}$$ $${\displaystyle f^{\alpha }=-{T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}.}$$

Законы сохранения

Электрический заряд

Уравнение непрерывности : выражает сохранение заряда . $${\displaystyle {J^{\beta }}_{,\beta }\mathrel {\overset {\text{def}}{\mathop {=} }} \partial _{\beta }J^{\beta }=\partial _{\beta }\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }/\mu _{0}=0.}$$

Электромагнитная энергия-импульс

Используя уравнения Максвелла, можно увидеть, что тензор электромагнитного напряжения-энергии (определенный выше) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, связывающему его с электромагнитным тензором и четырехвектором тока , которое выражает сохранение линейного импульса и энергии при электромагнитных взаимодействиях. $${\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0}$$ $${\displaystyle \eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0,}$$

Ковариантные объекты в материи

Свободные и связанные четырехпотоки

Для решения уравнений электромагнетизма, приведенных здесь, необходимо добавить информацию о том, как вычислить электрический ток, J ^ν . Часто бывает удобно разделить ток на две части, свободный ток и связанный ток, которые моделируются разными уравнениями; где $${\displaystyle J^{\nu }={J^{\nu }}_{\text{free}}+{J^{\nu }}_{\text{bound}}\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{J^{\nu }}_{\text{free}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{free}},&\mathbf {J} _{\text{free}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}c\nabla \cdot \mathbf {D} ,&-{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {H} \end{pmatrix}}\,,\\{J^{\nu }}_{\text{bound}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{bound}},&\mathbf {J} _{\text{bound}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-c\nabla \cdot \mathbf {P} ,&{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {M} \end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

Были использованы макроскопические уравнения Максвелла , а также определения электрического смещения D и магнитной напряженности H : где M — намагниченность , а P — электрическая поляризация . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,\\\mathbf {H} &={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \,.\end{aligned}}}$$

Тензор намагниченности–поляризации

Связанный ток выводится из полей P и M , которые образуют антисимметричный контравариантный тензор намагниченности-поляризации ^{[1] [5] [6] [7]} , который определяет связанный ток. $${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=\partial _{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.}$$

Тензор электрического смещения

Если объединить это с F ^μν, то мы получим антисимметричный контравариантный тензор электромагнитного смещения, который объединяет поля D и H следующим образом: $${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$$

Три тензора поля связаны соотношением: что эквивалентно определениям полей D и H , данным выше. $${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }}$$

Уравнения Максвелла в материи

В результате закон Ампера и закон Гаусса объединяются в одно уравнение: $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{\text{free}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}},}$$

Гаусс – Закон Ампера (материя)

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{free}}=\partial _{\mu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

Связанный ток и свободный ток, как определено выше, автоматически и по отдельности сохраняются. $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{bound}}&=0\,\\\partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{free}}&=0\,.\end{aligned}}}$$

Уравнения состояния

Вакуум

В вакууме определяющие соотношения между тензором поля и тензором смещения следующие: $${\displaystyle \mu _{0}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }\,.}$$

Антисимметрия сводит эти 16 уравнений всего к шести независимым уравнениям. Поскольку обычно F ^μν определяется с помощью материальных уравнений, в вакууме его можно объединить с законом Гаусса–Ампера, чтобы получить: $${\displaystyle F^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu },}$$ $${\displaystyle \partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\alpha }.}$$

Электромагнитный тензор энергии-напряжения в терминах смещения равен: где δ _α ^π — дельта Кронекера . Когда верхний индекс опускается с η , он становится симметричным и является частью источника гравитационного поля. $${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\pi }=F_{\alpha \beta }{\mathcal {D}}^{\pi \beta }-{\frac {1}{4}}\delta _{\alpha }^{\pi }F_{\mu \nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },}$$

Линейная, недисперсная материя

Таким образом, мы свели задачу моделирования тока J ^ν к двум (надеюсь) более простым задачам — моделированию свободного тока J ^ν _free и моделированию намагниченности и поляризации . Например, в простейших материалах на низких частотах, где мы находимся в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчета материала, σ — его электропроводность , χ _e — его электрическая восприимчивость , а χ _m — его магнитная восприимчивость . ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{\text{free}}&=\sigma \mathbf {E} \,\\\mathbf {P} &=\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} \,\\\mathbf {M} &=\chi _{m}\mathbf {H} \,\end{aligned}}}$$

Определяющие соотношения между тензорами и F , предложенные Минковским для линейных материалов (то есть E пропорционально D , а B пропорционально H ), таковы: где u — четырехмерная скорость материала, ε и μ — соответственно собственные диэлектрическая и магнитная проницаемости материала ( т.е. в системе покоя материала), а обозначает оператор звезды Ходжа . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }u_{\nu }&=c^{2}\varepsilon F^{\mu \nu }u_{\nu }\\{\star {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}u_{\nu }&={\frac {1}{\mu }}{\star F^{\mu \nu }}u_{\nu }\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \star }$

Лагранжиан для классической электродинамики

Вакуум

Плотность лагранжиана для классической электродинамики состоит из двух компонентов: полевого компонента и компонента источника: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\text{field}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J^{\alpha }\,.}$$

В термине взаимодействия четырехток следует понимать как сокращение многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей через их переменные; четырехток сам по себе не является фундаментальным полем.

Уравнения Лагранжа для плотности электромагнитного лагранжиана можно сформулировать следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {L}}{\mathord {\left(A_{\alpha },\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}}$ $${\displaystyle \partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.}$$

Обратите внимание , что выражение внутри квадратных скобок равно $${\displaystyle {\begin{aligned}F^{\lambda \sigma }&=F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma },\\F_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\\{\partial \left(\partial _{\mu }A_{\nu }\right) \over \partial \left(\partial _{\rho }A_{\sigma }\right)}&=\delta _{\mu }^{\rho }\delta _{\nu }^{\sigma }\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ {\frac {\partial \left(F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }F_{\lambda \sigma }\right)}{\partial \left(\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}\\&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ \eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }\left(F_{\lambda \sigma }\left(\delta _{\mu }^{\beta }\delta _{\nu }^{\alpha }-\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha }\right)+F_{\mu \nu }\left(\delta _{\lambda }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\beta }\delta _{\lambda }^{\alpha }\right)\right)\\&=-\ {\frac {F^{\beta \alpha }}{\mu _{0}}}\,.\end{aligned}}}$$

Второй термин: $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=-J^{\alpha }\,.}$$

Таким образом, уравнения движения электромагнитного поля имеют вид , что и представляет собой уравнение Гаусса–Ампера, приведенное выше. $${\displaystyle {\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }\,.}$$

Иметь значение

Разделяя свободные токи от связанных токов, можно записать плотность Лагранжа еще одним способом: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.}$$

Используя уравнение Лагранжа, можно вывести уравнения движения . ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

Эквивалентное выражение в векторной записи имеет вид: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\phi \,\rho _{\text{free}}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {M} \,.}$$

Смотрите также

• Ковариантная классическая теория поля
• Электромагнитный тензор
• Уравнение электромагнитной волны
• Потенциал Льенара – Вихерта для заряда, находящегося в произвольном движении.
• Проблема движущегося магнита и проводника
• Уравнение неоднородной электромагнитной волны
• Действие Прока
• Квантовая электродинамика
• Релятивистский электромагнетизм
• Действие Штюкельберга
• Теория поглотителя Уилера–Фейнмана

Примечания

1. В этой статье используется классическая трактовка тензоров и соглашение Эйнштейна о суммировании , а метрика Минковского имеет вид diag(+1, −1, −1, −1) . Если уравнения указаны как действующие в вакууме, их можно было бы рассматривать как формулировку уравнений Максвелла в терминах полного заряда и тока.

Ссылки

1. Вандерлинде, Джек (2004), классическая электромагнитная теория, Springer, стр. 313–328, ISBN 9781402026997
2. Классическая электродинамика, Джексон, 3-е издание, стр. 609
3. Классическая электродинамика Джексона, 3-е издание, Глава 11 Специальная теория относительности
4. Предполагается, что не существует никаких сил, кроме тех, которые возникают в точках E и B , то есть нет гравитационных , слабых или сильных сил.
5. Однако предположение, что , , и даже , являются релятивистскими тензорами в поляризуемой среде, не имеет под собой оснований. Величина не является четырехвектором в поляризуемой среде, поэтому не производит тензор. ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle D^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,}$$ $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}$$
6. Франклин, Джерролд, Могут ли электромагнитные поля образовывать тензоры в поляризующейся среде?
7. Гонано, Карло, Определение поляризации P и намагниченности M, полностью соответствующее уравнениям Максвелла

Дальнейшее чтение

• Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 25: Электродинамика в релятивистских обозначениях
• Эйнштейн, А. (1961). Относительность: Специальная и общая теория . Нью-Йорк: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
• Мизнер, Чарльз; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергам. ISBN 0-08-018176-7.
• RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Лекции Фейнмана по гравитации . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.