Стандарт, которому диаграммы должны удовлетворять с точностью до изоморфизма.
В математике , особенно в теории гомотопий и (высшей) теории категорий , когерентность — это стандарт, которому должны удовлетворять равенства или диаграммы, когда они выполняются « с точностью до гомотопии » или «с точностью до изоморфизма ».
Такие прилагательные, как «псевдо-» и «слабый-», используются для обозначения того факта, что равенство последовательно ослабляется; например, псевдофунктор , псевдоалгебра .
Когерентный изоморфизм
В некоторых ситуациях изоморфизмы необходимо выбирать последовательным образом. Часто этого можно добиться, выбирая канонические изоморфизмы . Но в некоторых случаях, таких как prestacks , может быть несколько канонических изоморфизмов, и среди них может не быть очевидного выбора.
На практике когерентные изоморфизмы возникают в результате ослабления равенств; например, строгая ассоциативность может быть заменена ассоциативностью посредством когерентных изоморфизмов. Например, посредством этого процесса можно получить понятие слабой 2-категории из понятия строгой 2-категории .
Замену когерентных изоморфизмов равенствами обычно называют стрикификацией или ректификацией.
Теорема когерентности
Теорема когерентности Мак Лейна , грубо говоря, утверждает, что если диаграммы определенных типов коммутируют , то коммутируют и диаграммы всех типов. [1] Простое доказательство этой теоремы можно получить, используя пермутоассоциэдр , многогранник , комбинаторная структура которого неявно появляется в доказательстве Мак Лейна. [2]
Существует несколько обобщений теоремы когерентности Мак Лейна. [3] Каждый из них имеет грубую форму: «каждая слабая структура того или иного типа эквивалентна более строгой». [4]
Гомотопическая когерентность
Смотрите также
Примечания
- ^ Мак Лейн 1978, Глава VII, Раздел 2
- ^ См. Капранов 1993 и Райнер и Зиглер 1994.
- ^ См., например, теорему о когерентности (nlab)
- ^ Шульман 2012, Раздел 1.
Рекомендации
- Кордье, Жан-Марк; Портер, Тимоти (1997). «Гомотопически когерентная теория категорий». Труды Американского математического общества . 349 (1): 1–54. дои : 10.1090/S0002-9947-97-01752-2 .
- § 5. Мак Лейн, Сондерс (январь 1976 г.). «Топология и логика как источник алгебры (послание президента в отставке)». Бюллетень Американского математического общества . 82 (1): 1–40. дои : 10.1090/S0002-9904-1976-13928-6 .
- Мак Лейн, Сондерс (1978) [1971]. Категории для работающего математика . Дипломные тексты по математике. Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4757-4721-8 .
- Ч. 5 Кампс, Клаус Хайнер; Портер, Тимоти (апрель 1997 г.). Абстрактная гомотопия и простая гомотопическая теория . Всемирная научная. дои : 10.1142/2215. ISBN 9810216025.
- Шульман, Майк (2012). «Не всякая псевдоалгебра эквивалентна строгой». Достижения в математике . 229 (3): 2024–2041. arXiv : 1005.1520 . дои : 10.1016/j.aim.2011.01.010 .
- Капранов, Михаил М. (1993). «Пермутоассоциэдр, теорема когерентности Мак Лейна и асимптотические зоны для уравнения КЗ». Журнал чистой и прикладной алгебры . 85 (2): 119–142. дои : 10.1016/0022-4049(93)90049-Y.
- Райнер, Виктор; Циглер, Гюнтер М. (1994). «Коксетер-ассоциэдры». Математика . 41 (2): 364–393. дои : 10.1112/S0025579300007452.
Внешние ссылки
- https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+coherent+diagram
