В геометрии фигуры Госсета –Элте , названные Коксетером в честь Торольда Госсета и Э. Л. Элте , представляют собой группу однородных многогранников , которые не являются правильными , порожденных конструкцией Витхоффа с зеркалами, все из которых связаны двугранными углами порядка 2 и порядка 3. Их можно рассматривать как диаграммы Коксетера–Дынкина с одним концом, окольцованные .
Символ Коксетера для этих фигур имеет вид k i,j , где каждая буква представляет длину ветвей порядка 3 на диаграмме Коксетера–Дынкина с одним кольцом на конечном узле последовательности ветвей длины k . Вершинная фигура k i ,j есть ( k − 1) i,j , и каждая из ее граней представлена вычитанием единицы из одного из ненулевых нижних индексов, т. е. k i − 1, j и k i , j − 1 . [1]
Выпрямленные симплексы включены в список как предельные случаи с k = 0. Аналогично 0 i,j,k представляет собой раздвоенный граф с центральным узлом, окольцованным.
Коксетер назвал эти числа сокращенно k i,j (или k ij ) и приписал авторство их открытия Госсету и Элте: [2]
Перечисление Элте включало все многогранники k ij , за исключением 1 42 , который имеет 3 типа 6-гранников.
Набор фигур расширяется в соты семейств (2,2,2), (3,3,1) и (5,4,1) в 6,7,8-мерных евклидовых пространствах соответственно. Список Госсета включал соты 5 21 как единственные полурегулярные в его определении.
Многогранники и соты этого семейства можно увидеть в классификации ADE .
Конечный многогранник k ij существует, если
или равно для евклидовых сот и меньше для гиперболических сот.
Группа Коксетера [3 i,j,k ] может генерировать до 3 уникальных однородных фигур Госсета–Эльте с диаграммами Коксетера–Дынкина с одним окольцованным конечным узлом. Согласно обозначениям Коксетера , каждая фигура представлена k ij , что означает, что конечный узел в последовательности длины k окольцован.
Симплексное семейство можно рассматривать как предельный случай с k = 0 и всеми выпрямленными (однокольцевыми) диаграммами Коксетера–Дынкина .
Семейство n - симплексов содержит фигуры Госсета–Эльте вида 0 ij как все выпрямленные формы n -симплекса ( i + j = n − 1).
Они перечислены ниже вместе с их диаграммой Коксетера–Дынкина , где каждое размерное семейство изображено как графическая ортогональная проекция на плоскость многоугольника Петри правильного симплекса.
Каждая группа D n имеет две фигуры Госсета–Эльте, n - полугиперкуб как 1 k1 и альтернативную форму n - ортоплекса , k 11 , построенную с чередующимися гранями симплекса. Выпрямленные n - полугиперкубы , форма с более низкой симметрией бивыпрямленного n -куба, также могут быть представлены как 0 k11 .
Каждая группа E n от 4 до 8 имеет две или три фигуры Госсета–Эльте, представленные одним из конечных узлов, окруженных кольцами: k 21 , 1 k2 , 2 k1 . Выпрямленный ряд 1 k2 также может быть представлен как 0 k21 .
Существует три евклидовых ( аффинных ) группы Коксетера в размерностях 6, 7 и 8: [5]
Существуют три гиперболические ( паракомпактные ) группы Коксетера в размерностях 7, 8 и 9:
В качестве обобщения в этом символе можно выразить больше ветвей порядка 3. 4-мерная аффинная группа Коксетера , , [3 1,1,1,1 ], имеет четыре ветви порядка 3 и может выразить одну сотовую ячейку 1 111 ,
, представляет собой форму с более низкой симметрией 16-ячеистых сот , и 0 1111 ,
для выпрямленных 16-ячеечных сот . 5-мерная гиперболическая группа Коксетера , [3 1,1,1,1,1 ], имеет пять ветвей порядка 3 и может выражать одну сотовую ячейку, 1 1111 ,и его исправление как 0 11111 ,.
