алгебра Коломбо

В математике алгебра Коломбо — это алгебра определенного вида, содержащая пространство распределений Шварца . В то время как в классической теории распределений общее умножение распределений невозможно, алгебры Коломбо предоставляют для этого строгую основу.

Такое умножение распределений долгое время считалось невозможным из-за результата невозможности Л. Шварца, который по сути утверждает, что не может быть дифференциальной алгебры, содержащей пространство распределений и сохраняющей произведение непрерывных функций. Однако, если вместо этого требуется сохранить только произведение гладких функций, такая конструкция становится возможной, как впервые продемонстрировал Коломбо.

Можно сказать, что как математический инструмент алгебры Коломбо объединяют обработку особенностей, дифференциации и нелинейных операций в одной структуре, снимая ограничения теории распределений. Эти алгебры нашли многочисленные применения в областях уравнений с частными производными, геофизики, микролокального анализа и общей теории относительности до сих пор ^{[ сомнительно – обсудить ]} .

Алгебры Коломбо названы в честь французского математика Жана Франсуа Коломбо.

Результат невозможности Шварца

При попытке встроить пространство распределений в ассоциативную алгебру следующие требования кажутся естественными: ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (A(\mathbb {R} ),\circ ,+)}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$линейно вкладывается в таким образом, что постоянная функция становится единицей в , ${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$
2. Существует оператор частной производной , на котором линейна и удовлетворяет правилу Лейбница, ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$
3. ограничение на совпадает с обычной частной производной, ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$
4. ограничение на совпадает с поточечным произведением. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )}$

Однако результат Л. Шварца ^[1] подразумевает, что эти требования не могут выполняться одновременно. То же самое верно, даже если в 4. заменить на , пространство времен непрерывно дифференцируемых функций. Хотя этот результат часто интерпретировался как утверждение о невозможности общего умножения распределений, на самом деле он лишь утверждает, что нельзя неограниченно объединять дифференциацию, умножение непрерывных функций и наличие сингулярных объектов, таких как дельта Дирака. ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k}$

Алгебры Коломбо строятся так, чтобы удовлетворять условиям 1.–3. и условию типа 4., но с заменой на , т. е. они сохраняют произведение только гладких (бесконечно дифференцируемых) функций. ${\displaystyle C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )\times C^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Основная идея

Алгебра Коломбо ^[2] определяется как фактор-алгебра

${\displaystyle C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})/C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Здесь алгебра умеренных функций на есть алгебра семейств гладких регуляризаций ( f _ε ) ${\displaystyle C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {f:}\mathbb {R} _{+}\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

гладких функций на (где R ₊  = (0,∞) — параметр « регуляризации » ε), такой, что для всех компактных подмножеств K из и всех мультииндексов α существует N > 0, такой что ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{(\partial x_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (\partial x_{n})^{\alpha _{n}}}}f_{\varepsilon }(x)\right|=O(\varepsilon ^{-N})\qquad (\varepsilon \to 0).}$

Идеал пренебрежимо малых функций определяется таким же образом , но частные производные ограничиваются O( ε ^+N ) для всех N > 0. ${\displaystyle C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

Встраивание дистрибутивов

Пространство(я) распределений Шварца можно вложить в упрощенную алгебру посредством (покомпонентной) свертки с любым элементом алгебры, имеющим в качестве представителя δ-сеть , т.е. семейство гладких функций, таких что в D' при  ε  → 0. ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }\to \delta }$

Это вложение неканонично, поскольку зависит от выбора δ-сети. Однако существуют версии алгебр Коломбо (так называемые полные алгебры), которые допускают канонические вложения распределений. Хорошо известная полная версия получается путем добавления смягчителей в качестве второго индексирующего множества.

Смотрите также

• Обобщенная функция

Примечания

1. Л. Шварц, 1954, «Sur l'impossabilité de la multiplication desраспределения», Comptes Rendus de L'Académie des Sciences 239, стр. 847–848 [1]
2. Гратус, Дж. (2013). «Алгебра Коломбо: педагогическое введение». arXiv : 1308.0257 [math.FA].

Ссылки

• Коломбо, Дж. Ф., Новые обобщенные функции и умножение распределений . Северная Голландия, Амстердам, 1984.
• Коломбо, Дж. Ф., Элементарное введение в новые обобщенные функции . Северная Голландия, Амстердам, 1985.
• Недельков, М., Пилипович, С. , Скарпалезос, Д., Линейная теория обобщенных функций Коломбо , Addison Wesley, Longman, 1998.
• Гроссер, М., Кунцингер, М., Обергуггенбергер, М., Штайнбауэр, Р.; Геометрическая теория обобщенных функций с приложениями к общей теории относительности , Springer Series Mathematics and Its Applications, т. 537, 2002; ISBN 978-1-4020-0145-1 .