Группа Витта

Алгебраический термин

В математике группа Витта поля , названная в честь Эрнста Витта , — это абелева группа , элементы которой представлены симметричными билинейными формами над полем.

Определение

Зафиксируем поле k характеристики, не равной двум. Все векторные пространства будут предполагаться конечномерными . Мы говорим, что два пространства, снабженные симметричными билинейными формами, эквивалентны , если одно из них может быть получено из другого путем добавления метаболического квадратичного пространства , то есть нуля или более копий гиперболической плоскости , невырожденной двумерной симметричной билинейной формы с вектором нормы 0. ^[1] Каждый класс представлен основной формой разложения Витта . [ ^2]

Группа Витта k — это абелева группа W ( k ) классов эквивалентности невырожденных симметричных билинейных форм с групповой операцией, соответствующей ортогональной прямой сумме форм. Она аддитивно порождается классами одномерных форм. ^[3] Хотя классы могут содержать пространства разной размерности, четность размерности постоянна в пределах класса, и поэтому rk : W ( k ) → Z /2 Z является гомоморфизмом . ^[4]

Элементы конечного порядка в группе Витта имеют порядок степени 2; ^{[5] [6]} подгруппа кручения является ядром функториального отображения из W ( k ) в W ( k ^py ), где k ^py — пифагорово замыкание k ; ^[7] она порождается формами Пфистера с ненулевой суммой квадратов. ^[8] Если k формально не является действительным , то группа Витта является кручением с показателем степени 2. ^[9] Высота поля k является показателем кручения в группе Витта, если он конечен, или ∞ в противном случае. ^[8] ${\displaystyle \langle \!\langle w\rangle \!\rangle =\langle 1,-w\rangle }$ ${\displaystyle w}$

Кольцевая структура

Группе Витта k можно придать коммутативную кольцевую структуру, используя тензорное произведение квадратичных форм для определения кольцевого произведения. Иногда это называют кольцом Витта W ( k ), хотя термин «кольцо Витта» часто также используется для совершенно другого кольца векторов Витта .

Для обсуждения структуры этого кольца предположим, что k имеет характеристику, не равную 2, так что мы можем идентифицировать симметричные билинейные формы и квадратичные формы.

Ядро гомоморфизма ранга mod 2 — это простой идеал I кольца Витта ^[4], называемый фундаментальным идеалом . ^[10] Гомоморфизмы колец из W ( k ) в Z соответствуют порядкам полей k , принимая сигнатуру с соответствующей порядку. ^[10] Кольцо Витта является кольцом Джекобсона . ^[9] Оно является нётеровым кольцом тогда и только тогда, когда существует конечное число квадратных классов ; то есть, если квадраты в k образуют подгруппу конечного индекса в мультипликативной группе k . ^[11]

Если k формально не является действительным, то фундаментальный идеал является единственным простым идеалом W ^[12] и состоит в точности из нильпотентных элементов ; ^[9] W является локальным кольцом и имеет размерность Крулля 0. ^[13]

Если k действительно, то нильпотентные элементы — это в точности элементы конечного аддитивного порядка, а они, в свою очередь, являются формами, все сигнатуры которых равны нулю; ^[14] W имеет размерность Крулля 1. ^[13]

Если k — действительное пифагорово поле , то делители нуля W — это элементы, для которых некоторая сигнатура равна нулю; в противном случае делители нуля — это в точности фундаментальный идеал. ^{[5] [15]}

Если k — упорядоченное поле с положительным конусом P, то закон инерции Сильвестра справедлив для квадратичных форм над k , а сигнатура определяет кольцевой гомоморфизм из W ( k ) в Z с ядром — простым идеалом K _P . Эти простые идеалы находятся в биекции с порядками X _k поля k и составляют минимальный спектр простых идеалов MinSpec  W ( k ) поля W ( k ). Биекция является гомеоморфизмом между MinSpec  W ( k ) с топологией Зариского и множеством порядков X _k с топологией Харрисона . ^[16]

n -я степень фундаментального идеала аддитивно генерируется n -кратными формами Пфистера . ^[17]

Примеры

• Кольцо Витта поля C , как и любое алгебраически замкнутое поле или квадратично замкнутое поле , равно Z /2 Z. ^[18 ]
• Кольцо Витта R — это Z. ^[18 ]
• Кольцо Витта конечного поля F _q с нечетным q равно Z /4 Z , если q ≡ 3 mod 4, и изоморфно групповому кольцу ( Z /2 Z )[ F* / F* ² ], если q ≡ 1 mod 4. ^[19]
• Кольцо Витта локального поля с максимальным идеалом нормы , сравнимой с 1 по модулю 4, изоморфно групповому кольцу ( Z /2 Z )[ V ], где V — 4-группа Клейна . ^[20]
• Кольцо Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, сравнимой с 3 по модулю 4, есть ( Z /4 Z )[ C ₂ ], где C ₂ — циклическая группа порядка 2. ^[20]
• Кольцо Витта Q ₂ имеет порядок 32 и задается формулой ^[21]

${\displaystyle \mathbf {Z} _{8}[s,t]/\langle 2s,2t,s^{2},t^{2},st-4\rangle .}$

Инварианты

Некоторые инварианты квадратичной формы можно рассматривать как функции на классах Витта. Мы видели, что размерность mod 2 является функцией на классах: дискриминант также хорошо определен. Инвариант Хассе квадратичной формы снова является хорошо определенной функцией на классах Витта со значениями в группе Брауэра поля определения. ^[22]

Ранг и дискриминант

Мы определяем кольцо над K , Q ( K ), как набор пар ( d ,  e ) с d в K* / K* ² и e в Z /2 Z. Сложение и умножение определяются следующим образом:

${\displaystyle (d_{1},e_{1})+(d_{2},e_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1})\cdot (d_{2},e_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2}).}$

Тогда существует сюръективный кольцевой гомоморфизм из W ( K ) в это, полученное путем отображения класса на дискриминант и ранг mod 2. Ядро есть I ² . ^[23] Элементы Q можно рассматривать как классифицирующие градуированные квадратичные расширения K . ^[24]

Группа Брауэра–Валла

Тройка дискриминанта, ранга mod 2 и инварианта Хассе определяет отображение из W ( K ) в группу Брауэра–Уолла BW( K ). ^[25]

Кольцо Витта локального поля

Пусть K — полное локальное поле с оценкой v , униформизатором π и полем вычетов k характеристики, не равной 2. Существует инъекция W ( k ) → W ( K ), которая поднимает диагональную форму ⟨ a ₁ ,... a _n ⟩ до ⟨ u ₁ ,... u _n ⟩, где u _i — единица K с образом a _i в k . Это дает

${\displaystyle W(K)=W(k)\oplus \langle \pi \rangle \cdot W(k)}$

отождествляя W ( k ) с его изображением в W ( K ). ^[26]

Кольцо Витта числового поля

Пусть K — числовое поле . Для квадратичных форм над K существует инвариант Хассе ±1 для каждого конечного места, соответствующего символам Гильберта . Инвариантами формы над числовым полем являются в точности размерность, дискриминант, все локальные инварианты Хассе и сигнатуры, получаемые из вещественных вложений. ^[27]

Мы определяем кольцо символов над K , Sym( K ), как множество троек ( d , e , f  ) с d в K* / K* ² , e в Z /2 и f последовательность элементов ±1, индексированных позициями K , при условии, что все, кроме конечного числа членов f равны +1, что значение на a комплексных позициях равно +1 и что произведение всех членов в f равно +1. Пусть [ a , b ] будет последовательностью символов Гильберта: она удовлетворяет условиям на f, только что указанным. ^[28]

Мы определяем сложение и умножение следующим образом:

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})+(d_{2},e_{2},f_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2},[d_{1},d_{2}][-d_{1}d_{2},(-1)^{e_{1}e_{2}}]f_{1}f_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})\cdot (d_{2},e_{2},f_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2},[d_{1},d_{2}]^{1+e_{1}e_{2}}f_{1}^{e_{2}}f_{2}^{e_{1}})\ .}$

Тогда существует сюръективный кольцевой гомоморфизм из W ( K ) в Sym( K ), полученный путем отображения класса на дискриминант, ранг mod 2 и последовательность инвариантов Хассе. Ядро — это I ³ . ^[29]

Символическое кольцо является реализацией группы Брауэра-Уолла. ^[30]

Витт-кольцо рациональных чисел

Теорема Хассе–Минковского подразумевает, что существует инъекция ^[31]

${\displaystyle W(\mathbf {Q} )\rightarrow W(\mathbf {R} )\oplus \prod _{p}W(\mathbf {Q} _{p})\ .}$

Мы конкретизируем это и вычислим изображение, используя «второй гомоморфизм вычетов» W( Q _p ) → W( F _p ). Составленный с отображением W( Q ) → W( Q _p ) мы получаем групповой гомоморфизм ∂ _p : W( Q ) → W( F _p ) (для p = 2 мы определяем ∂ ₂ как 2-адическую оценку дискриминанта, взятую по модулю 2).

Тогда у нас есть разделенная точная последовательность ^[32]

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow W(\mathbf {Q} )\rightarrow \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})\rightarrow 0\ }$

что можно записать как изоморфизм

${\displaystyle W(\mathbf {Q} )\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})\ }$

где первый компонент – это подпись. ^[33]

Теория Виттринг и К-теория Милнора

Пусть k — поле характеристики, не равной 2. Степени идеала I форм четной размерности («фундаментальный идеал») в образуют убывающую фильтрацию и можно рассмотреть связанное градуированное кольцо , то есть прямую сумму частных . Пусть — квадратичная форма , рассматриваемая как элемент кольца Витта. Тогда — элемент I и, соответственно, произведение вида ${\displaystyle W(k)}$ ${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle ax^{2}}$ ${\displaystyle \langle a\rangle -\langle 1\rangle }$

${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =(\langle a_{1}\rangle -\langle 1\rangle )\cdots (\langle a_{n}\rangle -\langle 1\rangle )}$

является элементом Джона Милнора в статье 1970 года ^[34] было доказано, что отображение из в , которое отправляет в , является полилинейным и отображает элементы Стейнберга (элементы такие, что для некоторых и таких, что один имеет ) в ноль. Это означает, что это отображение определяет гомоморфизм из кольца Милнора k в градуированное кольцо Витта. Милнор также показал, что этот гомоморфизм отображает элементы, делящиеся на 2, в ноль и что он сюръективен. В той же статье он высказал гипотезу, что этот гомоморфизм является изоморфизмом для всех полей k (характеристики, отличной от 2). Это стало известно как гипотеза Милнора о квадратичных формах. ${\displaystyle I^{n}.}$ ${\displaystyle (k^{*})^{n}}$ ${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle a_{i}+a_{j}=1}$

Гипотеза была доказана Дмитрием Орловым, Александром Вишиком и Владимиром Воеводским ^[35] в 1996 году (опубликована в 2007 году) для случая , что привело к более глубокому пониманию структуры квадратичных форм над произвольными полями. ${\displaystyle {\textrm {char}}(k)=0}$

Кольцо Гротендика-Витта

Кольцо Гротендика -Витта GW является родственной конструкцией, порожденной классами изометрий невырожденных квадратичных пространств со сложением, заданным ортогональной суммой, и умножением, заданным тензорным произведением. Поскольку два пространства, которые отличаются гиперболической плоскостью, не идентифицируются в GW , обратное для сложения должно быть введено формально с помощью конструкции, которая была открыта Гротендиком (см. Группа Гротендика ). Существует естественный гомоморфизм GW → Z , заданный размерностью: поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда это изоморфизм. ^[18] Гиперболические пространства порождают идеал в GW , а кольцо Витта W является фактором. ^[36] Внешняя степень придает кольцу Гротендика-Витта дополнительную структуру λ-кольца . ^[37]

Примеры

• Кольцо Гротендика-Витта поля C , как и любое алгебраически замкнутое поле или квадратично замкнутое поле , есть Z. ^[18]
• Кольцо Гротендика-Витта группы R изоморфно групповому кольцу Z [ C ₂ ], где C ₂ — циклическая группа порядка 2. ^[18]
• Кольцо Гротендика-Витта любого конечного поля нечетной характеристики есть Z ⊕ Z /2 Z с тривиальным умножением во втором компоненте. ^[38] Элемент (1, 0) соответствует квадратичной форме ⟨ a ⟩, где a не является квадратом в конечном поле.
• Кольцо Гротендика-Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, сравнимой с 1 по модулю 4, изоморфно Z ⊕ ( Z /2 Z ) ³ . ^[20]
• Кольцо Гротендика-Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, сравнимой с 3 по модулю 4, есть Z' ⊕ Z /4 Z ⊕ Z /2 Z . ^[20]

Кольцо Гротендика-Витта и мотивные стабильные гомотопические группы сфер

Фабьен Морель ^{[39] [40]} показал, что кольцо Гротендика-Витта совершенного поля изоморфно мотивной стабильной гомотопической группе сфер π _0,0 (S ^0,0 ) (см. « Теория гомотопии A¹ »).

эквивалентность Витта

Два поля называются Витт-эквивалентными, если их кольца Витта изоморфны.

Для глобальных полей существует локально-глобальный принцип: два глобальных поля эквивалентны по Витту тогда и только тогда, когда существует биекция между их позициями, такая что соответствующие локальные поля эквивалентны по Витту. ^[41] В частности, два числовых поля K и L эквивалентны по Витту тогда и только тогда, когда существует биекция T между позициями K и позициями L и групповой изоморфизм t между их группами квадратного класса , сохраняющий символы Гильберта степени 2. В этом случае пара ( T , t ) называется эквивалентностью взаимности или эквивалентностью символов Гильберта степени 2. ^[42] Некоторые вариации и расширения этого условия, такие как «ручная эквивалентность символов Гильберта степени l » , также были изучены. ^[43]

Обобщения

Группы Витта можно определить таким же образом для кососимметричных форм , а также для квадратичных форм и, в более общем случае, ε-квадратичных форм над любым *-кольцом R.

Полученные группы (и их обобщения) известны как четномерные симметричные L -группы L ^{2 k} ( R ) и четномерные квадратичные L -группы L _{2 k} ( R ). Квадратичные L -группы являются 4-периодическими, причем L ₀ ( R ) является группой Витта (1)-квадратичных форм (симметричных), а L ₂ ( R ) является группой Витта (−1)-квадратичных форм (кососимметричных); симметричные L -группы не являются 4-периодическими для всех колец, поэтому они обеспечивают менее точное обобщение.

L -группы являются центральными объектами в теории хирургии , образуя один из трех членов точной последовательности хирургии .

Смотрите также

• Уменьшенная высота поля

Примечания

1. Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 14
2. Лоренц (2008) стр. 30
3. Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 65
4. Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 66
5. Lorenz (2008) стр. 37
6. Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 72
7. Лэм (2005) стр. 260
8. Lam (2005) стр. 395
9. Лоренц (2008) стр. 35
10. Lorenz (2008) стр. 31
11. Лэм (2005) стр. 32
12. Лоренц (2008) стр. 33
13. Lam (2005) стр. 280
14. Лоренц (2008) стр. 36
15. Лэм (2005) стр. 282
16. Лэм (2005) стр. 277–280
17. Лэм (2005) стр.316
18. Lam (2005) стр. 34
19. Лэм (2005) стр.37
20. Лам (2005) стр.152
21. Лэм (2005) стр.166
22. Лэм (2005) стр.119
23. Коннер и Перлис (1984) стр.12
24. Лэм (2005) стр.113
25. Лэм (2005) стр.117
26. Гарибальди, Меркурьев и Серр (2003) стр.64
27. Коннер и Перлис (1984) стр.16
28. Коннер и Перлис (1984) стр.16-17
29. Коннер и Перлис (1984) стр.18
30. Лэм (2005) стр.116
31. Лэм (2005) стр.174
32. Лэм (2005) стр.175
33. Лэм (2005) стр.178
34. Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K-теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, doi :10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, MR  0260844
35. Орлов, Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский, Владимир (2007), «Точная последовательность для K _* ^M /2 с приложениями к квадратичным формам», Annals of Mathematics , 165 (1): 1–13, arXiv : math/0101023 , doi :10.4007/annals.2007.165.1
36. Лэм (2005) стр. 28
37. Гарибальди, Меркурьев и Серр (2003) стр.63
38. Лэм (2005) стр.36, Теорема 3.5
39. , О мотивном стабильном π ₀ спектра сферы, В: Аксиоматическая, обогащенная и мотивная гомотопическая теория, стр. 219–260, JPC Greenlees (ред.), 2004 Kluwer Academic Publishers.
40. Фабьен Морель, A ¹ -Алгебраическая топология над полем. Lecture Notes in Mathematics 2052, Springer Verlag, 2012.
41. Perlis, R.; Szymiczek, K.; Conner, PE; Litherland, R. (1994). «Соответствие Witts глобальным полям». В Jacob, William B.; et al. (ред.). Последние достижения в области реальной алгебраической геометрии и квадратичных форм . Contemp. Math. Vol. 155. Providence, RI: American Mathematical Society . стр. 365–387. ISBN 0-8218-5154-3. Збл  0807.11024.
42. Шимичек, Казимеж (1997). «Гильбертово-символьная эквивалентность числовых полей». Татранская гора Математика. Публикация . 11 :7–16. Збл  0978.11012.
43. Czogała, A. (1999). "Высшая степень ручного эквивалентности символов Гильберта числовых полей". Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg . 69 : 175–185. doi :10.1007/bf02940871. Zbl  0968.11038.

Ссылки

• Коннер, Пьер Э .; Перлис, Роберт (1984). Обзор следовых форм полей алгебраических чисел . Серия по чистой математике. Том 2. World Scientific. ISBN 9971-966-05-0. Збл  0551.10017.
• Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр ; Серр, Жан-Пьер (2003). Когомологические инварианты в когомологиях Галуа . Серия университетских лекций. Том 28. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3287-5. Збл  1159.12311.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Збл  1130.12001.
• Милнор, Джон ; Хуземоллер, Дейл (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-06009-X. Збл  0292.10016.
• Витт, Эрнст (1936), «Теория квадратичных форм в beliebigen Korpern», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 176 (3): 31–44, Zbl  0015.05701

Дальнейшее чтение

• Балмер, Пол (2005). «Группы Витта». В Фридлендер, Эрик М.; Грейсон, Д. Р. (ред.). Справочник по теории К. Том 2. Springer-Verlag . С. 539–579. ISBN 3-540-23019-X. Збл  1115.19004.

Внешние ссылки

• Кольца Витта в энциклопедии математики Springer