В математике комплексная геометрия — это изучение геометрических структур и конструкций, возникающих из комплексных чисел или описываемых ими. В частности , комплексная геометрия занимается изучением пространств, таких как комплексные многообразия и комплексные алгебраические многообразия , функций нескольких комплексных переменных и голоморфных конструкций, таких как голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки . Применение трансцендентных методов к алгебраической геометрии попадает в эту категорию вместе с более геометрическими аспектами комплексного анализа .
Комплексная геометрия находится на пересечении алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии и комплексного анализа и использует инструменты из всех трех областей. Из-за смешения методов и идей из различных областей проблемы в комплексной геометрии часто более поддаются решению или конкретны, чем в целом. Например, классификация комплексных многообразий и комплексных алгебраических многообразий с помощью программы минимальной модели и построения пространств модулей отличает эту область от дифференциальной геометрии, где классификация возможных гладких многообразий является значительно более сложной проблемой. Кроме того, дополнительная структура комплексной геометрии позволяет, особенно в компактной постановке, с большим успехом доказывать глобальные аналитические результаты, включая доказательство гипотезы Калаби Шинг-Тунга Яу , соответствие Хитчина–Кобаяши , неабелево соответствие Ходжа и результаты существования метрик Кэлера–Эйнштейна и метрик Кэлера постоянной скалярной кривизны . Эти результаты часто находят отражение в сложной алгебраической геометрии, и, например, в последнее время классификация многообразий Фано с использованием K-устойчивости значительно выиграла как от методов анализа, так и от чистой бирациональной геометрии .
Комплексная геометрия имеет важные приложения в теоретической физике, где она необходима для понимания конформной теории поля , теории струн и зеркальной симметрии . Она часто является источником примеров в других областях математики, в том числе в теории представлений , где обобщенные многообразия флагов могут быть изучены с использованием комплексной геометрии, приводящей к теореме Бореля–Вейля–Ботта , или в симплектической геометрии , где кэлеровы многообразия являются симплектическими, в римановой геометрии , где комплексные многообразия предоставляют примеры экзотических метрических структур, таких как многообразия Калаби–Яу и гиперкэлеровы многообразия , и в калибровочной теории , где голоморфные векторные расслоения часто допускают решения важных дифференциальных уравнений, возникающих из физики, таких как уравнения Янга–Миллса . Комплексная геометрия дополнительно оказывает влияние на чистую алгебраическую геометрию, где аналитические результаты в комплексной постановке, такие как теория Ходжа кэлеровых многообразий, вдохновляют понимание структур Ходжа для многообразий и схем , а также p-адической теории Ходжа , теория деформаций для комплексных многообразий вдохновляет понимание теории деформаций схем, а результаты о когомологиях комплексных многообразий вдохновили формулировку гипотез Вейля и стандартных гипотез Гротендика . С другой стороны, результаты и методы из многих из этих областей часто возвращаются в комплексную геометрию, и, например, разработки в математике теории струн и зеркальной симметрии многое раскрыли о природе многообразий Калаби–Яу , которые, по предсказаниям теоретиков струн, должны иметь структуру лагранжевых расслоений посредством гипотезы SYZ , а развитие теории симплектических многообразий Громова–Виттена привело к прогрессу в исчислительной геометрии комплексных многообразий.
Гипотеза Ходжа , одна из задач премии тысячелетия , является задачей из области комплексной геометрии. [1]
В широком смысле, комплексная геометрия занимается пространствами и геометрическими объектами , которые в некотором смысле моделируются на комплексной плоскости . Особенности комплексной плоскости и комплексного анализа одной переменной, такие как внутреннее понятие ориентируемости (то есть способность последовательно поворачиваться на 90 градусов против часовой стрелки в каждой точке комплексной плоскости) и жесткость голоморфных функций (то есть существование единственной комплексной производной подразумевает комплексную дифференцируемость для всех порядков), проявляются во всех формах изучения комплексной геометрии. Например, каждое комплексное многообразие канонически ориентируемо, и форма теоремы Лиувилля верна на компактных комплексных многообразиях или проективных комплексных алгебраических многообразиях.
Комплексная геометрия отличается по вкусу от того, что можно было бы назвать реальной геометрией, изучением пространств, основанных на геометрических и аналитических свойствах действительной числовой прямой . Например, в то время как гладкие многообразия допускают разбиения единицы , наборы гладких функций, которые могут быть тождественно равны единице на некотором открытом множестве и тождественно нулю в других местах, комплексные многообразия не допускают таких наборов голоморфных функций. Действительно, это проявление теоремы тождества , типичного результата в комплексном анализе одной переменной. В некотором смысле новизна комплексной геометрии может быть прослежена до этого фундаментального наблюдения.
Верно, что каждое комплексное многообразие в частности является вещественным гладким многообразием. Это происходит потому, что комплексная плоскость , после забывания ее комплексной структуры, изоморфна вещественной плоскости . Однако комплексная геометрия обычно не рассматривается как особая подобласть дифференциальной геометрии , изучения гладких многообразий. В частности, теорема Серра GAGA гласит, что каждое проективное аналитическое многообразие на самом деле является алгебраическим многообразием , и изучение голоморфных данных на аналитическом многообразии эквивалентно изучению алгебраических данных.
Эта эквивалентность указывает на то, что комплексная геометрия в некотором смысле ближе к алгебраической геометрии, чем к дифференциальной геометрии . Другим примером этого, который ссылается на природу комплексной плоскости, является то, что в комплексном анализе одной переменной сингулярности мероморфных функций легко описываются. Напротив, возможное сингулярное поведение непрерывной действительной функции гораздо сложнее охарактеризовать. В результате этого можно легко изучать сингулярные пространства в комплексной геометрии, такие как сингулярные комплексные аналитические многообразия или сингулярные комплексные алгебраические многообразия, тогда как в дифференциальной геометрии изучение сингулярных пространств часто избегают.
На практике комплексная геометрия находится на пересечении дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализа в нескольких комплексных переменных , а комплексный геометр использует инструменты из всех трех областей для изучения комплексных пространств. Типичные направления интереса в комплексной геометрии включают классификацию комплексных пространств, изучение голоморфных объектов, прикрепленных к ним (таких как голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки ), и тесные связи между комплексными геометрическими объектами и другими областями математики и физики.
Комплексная геометрия занимается изучением комплексных многообразий , а также комплексных алгебраических и комплексных аналитических многообразий . В этом разделе определяются эти типы пространств и представляются связи между ними.
Комплексное многообразие — это топологическое пространство, такое что:
Обратите внимание, что поскольку каждый биголоморфизм является диффеоморфизмом и является изоморфизмом как действительное векторное пространство к , каждое комплексное многообразие размерности является, в частности, гладким многообразием размерности , которая всегда является четным числом.
В отличие от комплексных многообразий, которые всегда гладкие, комплексная геометрия также имеет дело с возможно сингулярными пространствами. Аффинное комплексное аналитическое многообразие — это подмножество , такое что около каждой точки существует открытая окрестность и набор из конечного числа голоморфных функций, таких что . По соглашению мы также требуем, чтобы множество было неприводимым . Точка является сингулярной, если матрица Якоби вектора голоморфных функций не имеет полного ранга в , и несингулярной в противном случае. Проективное комплексное аналитическое многообразие — это подмножество комплексного проективного пространства , которое, таким же образом, локально задано нулями конечного набора голоморфных функций на открытых подмножествах .
Аналогично можно определить аффинное комплексное алгебраическое многообразие как подмножество , которое локально задано как нулевое множество конечного числа многочленов от комплексных переменных. Чтобы определить проективное комплексное алгебраическое многообразие , требуется, чтобы подмножество локально было задано нулевым множеством конечного числа однородных многочленов .
Для определения общего комплексного алгебраического или комплексного аналитического многообразия требуется понятие локально окольцованного пространства . Комплексное алгебраическое/аналитическое многообразие — это локально окольцованное пространство , которое локально изоморфно как локально окольцованное пространство аффинному комплексному алгебраическому/аналитическому многообразию. В аналитическом случае обычно допускается топология, локально эквивалентная топологии подпространства из-за отождествления с открытыми подмножествами , тогда как в алгебраическом случае часто снабжается топологией Зарисского . Опять же, мы также по соглашению требуем, чтобы это локально окольцованное пространство было неприводимым.
Поскольку определение особой точки локально, определение, данное для аффинного аналитического/алгебраического многообразия, применимо к точкам любого комплексного аналитического или алгебраического многообразия. Множество точек многообразия , которые являются особыми, называется особым локусом , обозначается , а дополнение — неособым или гладким локусом , обозначается . Мы говорим, что комплексное многообразие является гладким или неособым , если его особое локус пуст. То есть, если он равен своему неособому локусу.
По теореме о неявной функции для голоморфных функций каждое комплексное многообразие является в частности невырожденным комплексным аналитическим многообразием, но не является в общем случае аффинным или проективным. По теореме Серра GAGA каждое проективное комплексное аналитическое многообразие на самом деле является проективным комплексным алгебраическим многообразием. Когда комплексное многообразие невырождено, оно является комплексным многообразием. В более общем случае невырожденное локус любого комплексного многообразия является комплексным многообразием.
Комплексные многообразия могут изучаться с точки зрения дифференциальной геометрии, посредством чего они оснащаются дополнительными геометрическими структурами, такими как риманова метрика или симплектическая форма . Для того чтобы эта дополнительная структура была релевантна комплексной геометрии, следует потребовать, чтобы она была совместима с комплексной структурой в подходящем смысле. Кэлерово многообразие — это комплексное многообразие с римановой метрикой и симплектической структурой, совместимыми с комплексной структурой. Каждое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия является кэлеровым, и поэтому, в частности, каждое неособое аффинное или проективное комплексное многообразие является кэлеровым после ограничения стандартной эрмитовой метрики на или метрики Фубини-Штуди на соответственно.
Другими важными примерами кэлеровых многообразий являются римановы поверхности , поверхности K3 и многообразия Калаби–Яу .
Теорема Серра GAGA утверждает, что проективные комплексные аналитические многообразия на самом деле являются алгебраическими. Хотя это не строго верно для аффинных многообразий, существует класс комплексных многообразий, которые ведут себя очень похоже на аффинные комплексные алгебраические многообразия, называемые многообразиями Штейна . Многообразие является многообразием Штейна, если оно голоморфно выпукло и голоморфно отделимо (технические определения см. в статье о многообразиях Штейна). Однако можно показать, что это эквивалентно тому, чтобы быть комплексным подмногообразием для некоторого . Другой способ, которым многообразия Штейна похожи на аффинные комплексные алгебраические многообразия, заключается в том, что теоремы Картана A и B справедливы для многообразий Штейна.
Примерами многообразий Штейна являются некомпактные римановы поверхности и неособые аффинные комплексные алгебраические многообразия.
Особый класс комплексных многообразий — это гиперкэлеровы многообразия , которые являются римановыми многообразиями, допускающими три различные совместимые интегрируемые почти комплексные структуры, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям . Таким образом, гиперкэлеровы многообразия являются кэлеровыми многообразиями тремя различными способами и, следовательно, имеют богатую геометрическую структуру.
Примерами гиперкэлеровых многообразий являются пространства ALE , поверхности K3 , пространства модулей расслоений Хиггса , колчанные многообразия и многие другие пространства модулей, возникающие из калибровочной теории и теории представлений .
Как уже упоминалось, особый класс кэлеровых многообразий задаётся многообразиями Калаби–Яу. Они задаются кэлеровыми многообразиями с тривиальным каноническим расслоением . Обычно определение многообразия Калаби–Яу также требует , чтобы оно было компактным. В этом случае доказательство Яу гипотезы Калаби подразумевает, что допускает кэлерову метрику с исчезающей кривизной Риччи , и это можно рассматривать как эквивалентное определение Калаби–Яу.
Многообразия Калаби–Яу нашли применение в теории струн и зеркальной симметрии , где они используются для моделирования дополнительных 6 измерений пространства-времени в 10-мерных моделях теории струн. Примерами многообразий Калаби–Яу являются эллиптические кривые , поверхности K3 и комплексные абелевы многообразия .
Комплексное многообразие Фано — это комплексное алгебраическое многообразие с обильным антиканоническим линейным расслоением (то есть обильно). Многообразия Фано представляют значительный интерес в комплексной алгебраической геометрии, и в частности в бирациональной геометрии , где они часто возникают в минимальной модельной программе . Фундаментальными примерами многообразий Фано являются проективное пространство , где , и гладкие гиперповерхности степени меньше .
Торические многообразия — это комплексные алгебраические многообразия размерности , содержащие открытое плотное подмножество, биголоморфное , снабженное действием , которое расширяет действие на открытое плотное подмножество. Торическое многообразие может быть описано комбинаторно его торическим веером , и, по крайней мере, когда оно невырождено, моментным многогранником . Это многоугольник в со свойством, что любая вершина может быть приведена к стандартной форме вершины положительного ортанта действием . Торическое многообразие может быть получено как подходящее пространство, которое расслоено над многогранником.
Многие конструкции, выполняемые на торических многообразиях, допускают альтернативные описания в терминах комбинаторики и геометрии многогранника моментов или связанного с ним торического веера. Это делает торические многообразия особенно привлекательным тестовым случаем для многих конструкций в комплексной геометрии. Примерами торических многообразий являются комплексные проективные пространства и расслоения над ними.
Из-за жесткости голоморфных функций и комплексных многообразий методы, обычно используемые для изучения комплексных многообразий и комплексных многообразий, отличаются от методов, используемых в обычной дифференциальной геометрии, и ближе к методам, используемым в алгебраической геометрии. Например, в дифференциальной геометрии многие проблемы решаются путем взятия локальных конструкций и их глобального склеивания с использованием разбиений единицы. Разбиений единицы в комплексной геометрии не существует, и поэтому проблема того, когда локальные данные могут быть склеены в глобальные данные, более тонка. Точное время, когда локальные данные могут быть склеены, измеряется когомологиями пучков , а пучки и их группы когомологий являются основными инструментами.
Например, известные проблемы анализа нескольких комплексных переменных, предшествующие введению современных определений, — это проблемы Кузена , которые спрашивают, когда именно локальные мероморфные данные могут быть склеены для получения глобальной мероморфной функции. Эти старые проблемы могут быть просто решены после введения пучков и групп когомологий.
Специальные примеры пучков, используемых в комплексной геометрии, включают голоморфные линейные расслоения (и дивизоры, связанные с ними), голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки . Поскольку когомологии пучков измеряют препятствия в комплексной геометрии, один из используемых методов заключается в доказательстве теорем об исчезновении. Примерами теорем об исчезновении в комплексной геометрии являются теорема Кодаиры об исчезновении для когомологий линейных расслоений на компактных кэлеровых многообразиях и теоремы Картана A и B для когомологий когерентных пучков на аффинных комплексных многообразиях.
Комплексная геометрия также использует методы, возникающие из дифференциальной геометрии и анализа. Например, теорема Хирцебруха-Римана-Роха , частный случай теоремы Атьи-Зингера об индексе , вычисляет голоморфную эйлерову характеристику голоморфного векторного расслоения в терминах характеристических классов базового гладкого комплексного векторного расслоения.
Одной из основных тем в комплексной геометрии является классификация . Из-за жесткой природы комплексных многообразий и многообразий проблема классификации этих пространств часто является поддающейся решению. Классификация в комплексной и алгебраической геометрии часто происходит посредством изучения пространств модулей , которые сами по себе являются комплексными многообразиями или многообразиями, точки которых классифицируют другие геометрические объекты, возникающие в комплексной геометрии.
Термин модули был введен Бернхардом Риманом во время его оригинальной работы о римановых поверхностях. Теория классификации наиболее известна для компактных римановых поверхностей. Согласно классификации замкнутых ориентированных поверхностей , компактные римановы поверхности делятся на счетное число дискретных типов, измеряемых их родом , который является неотрицательным целым числом, подсчитывающим количество отверстий в данной компактной римановой поверхности.
Классификация по существу следует из теоремы об униформизации и выглядит следующим образом: [2] [3] [4]
Комплексная геометрия занимается не только комплексными пространствами, но и другими голоморфными объектами, прикрепленными к ним. Классификация голоморфных линейных расслоений на комплексном многообразии задается многообразием Пикара .
Многообразие Пикара можно легко описать в случае, когда — компактная риманова поверхность рода g. А именно, в этом случае многообразие Пикара является несвязным объединением комплексных абелевых многообразий , каждое из которых изоморфно якобиевому многообразию кривой, классифицируя дивизоры нулевой степени с точностью до линейной эквивалентности. В дифференциально-геометрических терминах эти абелевы многообразия являются комплексными торами, комплексными многообразиями, диффеоморфными , возможно, с одной из многих различных комплексных структур.
По теореме Торелли компактная риманова поверхность определяется своим якобиевым многообразием, и это демонстрирует одну из причин, по которой изучение структур на комплексных пространствах может быть полезным, поскольку оно позволяет решать и классифицировать сами пространства.
