Сложное нормальное распределение

Статистическое распределение сложных случайных величин

В теории вероятностей семейство комплексных нормальных распределений , обозначаемое или , характеризует комплексные случайные величины, действительные и мнимые части которых являются совместно нормальными . ^[1] Комплексное нормальное семейство имеет три параметра: параметр местоположения μ , ковариационную матрицу и матрицу отношений . Стандартное комплексное нормальное распределение — это одномерное распределение с , и . ${\displaystyle {\mathcal {CN}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \Gamma =1}$ ${\displaystyle C=0}$

Важный подкласс семейства комплексных нормальных распределений называется кругово-симметричным (центральным) комплексным нормальным распределением и соответствует случаю нулевой матрицы отношений и нулевого среднего: и . ^[2] Этот случай широко используется в обработке сигналов , где в литературе его иногда называют просто комплексным нормальным распределением . ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle C=0}$

Определения

Комплексная стандартная нормальная случайная величина

Стандартная комплексная нормальная случайная величина или стандартная комплексная гауссовская случайная величина — это комплексная случайная величина , действительная и мнимая части которой являются независимыми нормально распределенными случайными величинами со средним значением, равным нулю, и дисперсией . ^{[3] : стр. 494  [4] : стр. 501} Формально, ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1/2}$

где обозначает, что является стандартной комплексной нормальной случайной величиной. ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)}$ ${\displaystyle Z}$

Комплексная нормальная случайная величина

Предположим, что и являются действительными случайными величинами, такими что — двумерный нормальный случайный вектор . Тогда комплексная случайная величина называется комплексной нормальной случайной величиной или комплексной гауссовой случайной величиной . ^{[3] : стр. 500} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle Z=X+iY}$

Комплексный стандартный нормальный случайный вектор

n-мерный комплексный случайный вектор является комплексным стандартным нормальным случайным вектором или комплексным стандартным гауссовым случайным вектором, если его компоненты независимы и все они являются стандартными комплексными нормальными случайными величинами, как определено выше. ^{[3] : стр. 502  [4] : стр. 501} То есть стандартный комплексный нормальный случайный вектор обозначается . ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})}$

Комплексный нормальный случайный вектор

Если и являются случайными векторами в такими, что является нормальным случайным вектором с компонентами. Тогда мы говорим, что комплексный случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,}$

— это комплексный нормальный случайный вектор или комплексный гауссовский случайный вектор .

Среднее значение, ковариация и отношение

Сложное гауссовское распределение можно описать тремя параметрами: ^[5]

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],}$

где обозначает транспонированную матрицу , а обозначает сопряженную транспонированную . ^{[3] : стр. 504  [4] : стр. 500} ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }}$

Здесь параметр местоположения является n-мерным комплексным вектором; ковариационная матрица является эрмитовой и неотрицательно определенной ; и, матрица отношения или псевдоковариационная матрица симметрична . Комплексный нормальный случайный вектор теперь можно обозначить как Более того, матрицы и таковы, что матрица ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ $${\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C}$

также неотрицательно определена, где обозначает комплексно сопряженное число . ^[5] ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Взаимосвязи между ковариационными матрицами

Как и для любого сложного случайного вектора, матрицы и могут быть связаны с ковариационными матрицами и посредством выражений ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}}$

и наоборот

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}$

Функция плотности

Функция плотности вероятности для комплексного нормального распределения может быть вычислена как

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}}$

где и . ${\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}}$ ${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}$

Характерная функция

Характеристическая функция комплексного нормального распределения определяется выражением ^[5]

${\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},}$

где аргумент — n -мерный комплексный вектор. ${\displaystyle w}$

Характеристики

• Если — комплексный нормальный n -вектор, матрица m×n и постоянный m -вектор, то линейное преобразование будет распределено также комплексно-нормально: ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b}$

${\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })}$

• Если — комплексный нормальный n -вектор, то ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

${\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)}$

• Центральная предельная теорема . Если — независимые и одинаково распределенные комплексные случайные величины, то ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}}$

${\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),}$

где и . ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]}$ ${\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}$

• Модуль комплексной нормальной случайной величины следует распределению Хойта . ^[6]

Кругло-симметричный центральный корпус

Определение

Сложный случайный вектор называется кругово-симметричным, если для любого детерминированного распределение равно распределению . ^{[4] : стр. 500–501} ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

Центральные нормальные комплексные случайные векторы, обладающие круговой симметрией, представляют особый интерес, поскольку они полностью определяются ковариационной матрицей . ${\displaystyle \Gamma }$

Кругово -симметричное (центральное) комплексное нормальное распределение соответствует случаю нулевого среднего и нулевой матрицы отношений, т.е. и . ^{[3] : стр. 507  [7]} Это обычно обозначается ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle C=0}$

${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )}$

Распределение действительной и мнимой частей

Если — кругово-симметричный (центральный) комплексный нормальный, то вектор — многомерный нормальный с ковариационной структурой ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}}$

где . ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}$

Функция плотности вероятности

Для невырожденной ковариационной матрицы ее распределение также можно упростить следующим образом ^{[3] : стр. 508} ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}}$.

Таким образом, если ненулевое среднее значение и ковариационная матрица неизвестны, подходящей функцией логарифмического правдоподобия для одного вектора наблюдения будет ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).}$

Стандартное комплексное нормальное распределение (определенное в уравнении 1 ) соответствует распределению скалярной случайной величины с , и . Таким образом, стандартное комплексное нормальное распределение имеет плотность ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle \Gamma =1}$

${\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.}$

Характеристики

Выражение выше показывает, почему случай , называется «кругово-симметричным». Функция плотности зависит только от величины , но не от ее аргумента . Таким образом, величина стандартной комплексной нормальной случайной величины будет иметь распределение Рэлея , а квадрат величины будет иметь экспоненциальное распределение , тогда как аргумент будет равномерно распределен на . ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle |z|^{2}}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Если — независимые и одинаково распределенные n -мерные круговые комплексные нормальные случайные векторы с , то случайная квадратичная норма ${\displaystyle \left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}}$ ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}}$

имеет обобщенное распределение хи-квадрат и случайную матрицу

${\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }}$

имеет комплексное распределение Уишарта со степенями свободы. Это распределение можно описать функцией плотности ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}}$

где , а — неотрицательно определенная матрица. ${\displaystyle k\geq n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n\times n}$

Смотрите также

• Сложное нормальное распределение отношения
• Направленная статистика § Распределение среднего (полярная форма)
• Нормальное распределение
• Многомерное нормальное распределение (сложное нормальное распределение — это двумерное нормальное распределение)
• Обобщенное распределение хи-квадрат
• Распределение Уишарта
• Сложная случайная величина

Ссылки

1. Гудман, НР (1963). «Статистический анализ, основанный на определенном многомерном комплексном гауссовском распределении (введение)». Анналы математической статистики . 34 (1): 152–177. doi : 10.1214/aoms/1177704250 . JSTOR  2991290.
2. глава книги, Gallager.R, стр. 9.
3. Лапидот, А. (2009). Основы цифровой коммуникации . Cambridge University Press. ISBN 9780521193955.
4. Tse, David (2005). Основы беспроводной связи. Cambridge University Press. ISBN 9781139444668.
5. Picinbono, Bernard (1996). "Комплексные случайные векторы второго порядка и нормальные распределения". IEEE Transactions on Signal Processing . 44 (10): 2637–2640. Bibcode : 1996ITSP...44.2637P. doi : 10.1109/78.539051.
6. Дэниел Воллшлегер. «Распределение Хойта (документация для пакета R 'shotGroups' версии 0.6.2)».^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
7. глава книги, Галлагер.Р