Отрицательная частота

Вектор, вращающийся против часовой стрелки (cos t , sin t ), имеет положительную частоту +1 радиан за единицу времени . Не показан вектор, вращающийся по часовой стрелке (cos (− t ), sin (− t )), который имеет отрицательную частоту -1 радиан за единицу времени. Оба они проходят по единичной окружности каждые 2 π единиц времени, но в противоположных направлениях.

В математике концепция знаковой частоты ( отрицательная и положительная частота ) может указывать как на скорость, так и на направление вращения ; это может быть просто колесо, вращающееся по часовой стрелке или против часовой стрелки. Скорость выражается в таких единицах, как обороты ( циклы ) в секунду ( герц ) или радианы/секунду (где 1 цикл соответствует 2π радианам  ) .

Пример: математически говоря, вектор имеет положительную частоту +1 радиан за единицу времени и вращается против часовой стрелки вокруг единичной окружности , в то время как вектор имеет отрицательную частоту -1 радиан за единицу времени и вращается по часовой стрелке. ${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle (\cos(-t),\sin(-t))}$

Синусоиды

Пусть ω > 0 — угловая частота с единицами измерения радианы/секунду. Тогда функция f(t) = −ωt + θ имеет наклон −ω , который называется отрицательной частотой . Но когда функция используется в качестве аргумента оператора косинуса, результат неотличим от cos( ωt − θ ) . Аналогично, sin(− ωt + θ ) неотличим от sin( ωt − θ + π ) . Таким образом, любая синусоида может быть представлена ​​в терминах положительной частоты. Знак базового фазового наклона неоднозначен.

Отрицательная частота приводит к тому, что функция sin (фиолетовая) опережает функцию cos (красная) на 1/4 цикла.

Неоднозначность разрешается, когда операторы косинуса и синуса можно наблюдать одновременно, поскольку cos( ωt + θ ) опережает sin( ωt + θ ) на 1 ⁄ 4  цикла (т. е. на π ⁄ 2  радиан), когда ω > 0 , и отстает на 1 ⁄ 4  цикла, когда ω < 0 . Аналогично вектор (cos ωt , sin ωt ) вращается против часовой стрелки, если ω > 0 , и по часовой стрелке, если ω < 0 . Следовательно, знак также сохраняется в комплексной функции : ${\displaystyle \omega }$

следствием чего является:

В уравнении 1 второй член является дополнением к , которое разрешает неоднозначность. В уравнении 2 второй член выглядит как дополнение, но на самом деле это сокращение, которое сводит двумерный вектор к одному измерению, что приводит к неоднозначности. Уравнение 2 также показывает, почему преобразование Фурье имеет отклики в обоих, хотя может иметь только один знак. Ложный отклик позволяет обратному преобразованию различать действительную функцию и комплексную. ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ ${\displaystyle \pm \omega ,}$ ${\displaystyle \omega }$

Приложения

Упрощение преобразования Фурье

Пожалуй, наиболее известным применением отрицательной частоты является формула:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,}$

что является мерой энергии в функции на частоте. При оценке для континуума аргумента результат называется преобразованием Фурье . ^[A] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \omega .}$ ${\displaystyle \omega ,}$

Например, рассмотрим функцию:

${\displaystyle f(t)=A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t},\ \forall \ t\in \mathbb {R} ,\ \omega _{1}>0,\ \omega _{2}>0.}$

И:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }[A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i\omega _{2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{1}-\omega )t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega )t}dt\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что хотя большинство функций не содержат синусоиды бесконечной длительности, такая идеализация является обычным упрощением для облегчения понимания.

Рассматривая первый член этого результата, когда отрицательная частота отменяет положительную частоту, оставляя только постоянный коэффициент (потому что ), что приводит к расходимости бесконечного интеграла. При других значениях остаточных колебаний приводит к сходимости интеграла к нулю. Это идеализированное преобразование Фурье обычно записывается как: ${\displaystyle \omega =\omega _{1},}$ ${\displaystyle -\omega _{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle e^{i0t}=e^{0}=1}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=2\pi A_{1}\delta (\omega -\omega _{1})+2\pi A_{2}\delta (\omega -\omega _{2}).}$

Для реалистичных длительностей расхождения и схождения менее экстремальны, и меньшие ненулевые схождения ( спектральная утечка ) появляются на многих других частотах, но концепция отрицательной частоты все еще применима. Первоначальная формулировка Фурье ( синусное преобразование и косинусное преобразование ) требует интеграла для косинуса и еще одного для синуса. И полученные тригонометрические выражения часто менее поддаются обработке, чем сложные экспоненциальные выражения. (см. Аналитический сигнал , Формула Эйлера § Связь с тригонометрией и Фазор )

Выборка положительных и отрицательных частот и наложение спектров

На этом рисунке изображены две комплексные синусоиды, окрашенные в золотой и голубой цвета, которые соответствуют тем же наборам действительных и мнимых точек выборки. Таким образом, они являются псевдонимами друг друга при выборке со скоростью ( f _s ), указанной линиями сетки. Функция золотого цвета отображает положительную частоту, поскольку ее действительная часть (функция cos) опережает мнимую часть на 1/4 одного цикла. Функция голубого цвета отображает отрицательную частоту, поскольку ее действительная часть отстает от мнимой части.

Смотрите также

• Угол § Знак

Примечания

1. Существует несколько форм преобразования Фурье. Это неунитарная форма по угловой частоте времени

Дальнейшее чтение

• Lyons, Richard G. (11 ноября 2010 г.). Глава 8.4. Понимание цифровой обработки сигналов (3-е изд.). Prentice Hall. 944 стр. ISBN  0137027419 .
• Lyons, Richard G. (ноябрь 2001 г.). «Понимание частотной области цифровой обработки сигналов». Журнал RF Design . Получено 29 декабря 2022 г.