Выпуклые многогранники — книга по математике выпуклых многогранников , написанная советским математиком Александром Даниловичем Александровым и первоначально опубликованная на русском языке в 1950 году под названием « Выпуклые многогранники» . [1] [2] Оно было переведено на немецкий язык Вильгельмом Зюссом как Konvexe Polyeder в 1958 году. [3] Обновленное издание, переведенное на английский язык Нурланом С. Даирбековым, Семеном Самсоновичем Кутателадзе и Алексеем Б. Сосинским, с добавленными материалами Виктора . Залгаллер , Л.А. Шор, Ю. А. Волков был опубликованиздательством Springer-Verlag под названием «Выпуклые многогранники» в 2005 году. [4] [5] [6]
Основное внимание в книге уделяется спецификации геометрических данных, которые однозначно определяют форму трехмерного выпуклого многогранника с точностью до некоторого класса геометрических преобразований, таких как конгруэнтность или подобие. [1] [4] [6] В ней рассматриваются как ограниченные многогранники ( выпуклые оболочки конечных множеств точек), так и неограниченные многогранники (пересечения конечного числа полупространств ). [1]
Русское издание книги 1950 года включало 11 глав. Первая глава охватывает основные топологические свойства многогранников, включая их топологическую эквивалентность сферам (в ограниченном случае) и многогранную формулу Эйлера . После леммы Огюстена Коши о невозможности маркировать ребра многогранника положительными и отрицательными знаками так, чтобы каждая вершина имела по крайней мере четыре смены знака, [1] оставшаяся часть главы 2 излагает содержание оставшейся части книги. [4] Главы 3 и 4 доказывают теорему единственности Александрова , характеризующую поверхностную геометрию многогранников как в точности метрические пространства , которые локально топологически сферичны, как и евклидова плоскость , за исключением конечного множества точек положительного углового дефекта , подчиняясь теореме Декарта о полном угловом дефекте , согласно которой полный угловой дефект должен быть . В главе 5 рассматриваются метрические пространства, определенные таким же образом, которые топологически являются диском, а не сферой, и изучаются гибкие многогранные поверхности , которые получаются в результате. [1]
Главы 6–8 книги связаны с теоремой Германа Минковского о том, что выпуклый многогранник однозначно определяется площадями и направлениями своих граней , с новым доказательством, основанным на инвариантности области определения . [1] Обобщение этой теоремы подразумевает, что то же самое верно для периметров и направлений граней. [5] Глава 9 посвящена реконструкции трехмерных многогранников из двумерной перспективной проекции путем ограничения вершин многогранника лежать на лучах, проходящих через точку зрения. Оригинальное русское издание книги завершается двумя главами, 10 и 11, связанными с теоремой Коши о том, что многогранники с плоскими гранями образуют жесткие структуры , и описывающими различия между жесткостью и бесконечно малой жесткостью многогранников, как это было разработано аналогично теореме Коши о жесткости Максом Деном . [1] [4]
В английское издание 2005 года добавлены комментарии и библиографическая информация относительно многих проблем, которые были поставлены как открытые в издании 1950 года, но впоследствии решены. Оно также включает в главу дополнительного материала переводы трех связанных статей Волкова и Шора, [4] включая упрощенное доказательство теорем Погорелова, обобщающее теорему единственности Александрова на неполиэдральные выпуклые поверхности. [5]
Роберт Коннелли пишет, что для работы, описывающей значительные разработки в теории выпуклых многогранников, которая, однако, была труднодоступна на Западе, английский перевод Convex Polyhedra давно назрел. Он называет материал по теореме Александрова об уникальности «звездным результатом в книге» и пишет, что книга «оказала большое влияние на бесчисленное множество русских математиков». Тем не менее, он жалуется на малое количество упражнений в книге и на непоследовательное представление уровня, которое не позволяет отличить важные и основные результаты от специализированных технических деталей. [5]
Хотя книга Convex Polyhedra предназначена для широкой математической аудитории, она предполагает значительный уровень фоновых знаний в таких областях, как топология , дифференциальная геометрия и линейная алгебра . [6] Рецензент Василий Горкавый рекомендует книгу Convex Polyhedra студентам и профессиональным математикам в качестве введения в математику выпуклых многогранников. Он также пишет, что спустя 50 лет после ее первоначальной публикации «она по-прежнему представляет большой интерес для специалистов», после того как была обновлена с целью включения многих новых разработок и перечисления новых открытых проблем в этой области. [4]
