stringtranslate.com

Обратное (логика)

В логике и математике обратное категорического или импликационного утверждения является результатом перестановки двух его составляющих утверждений. Для импликации P Q обратное есть QP. Для категорического суждения Все S есть P обратное есть Все P есть S. В любом случае истинность обратного утверждения, как правило, независима от истинности исходного утверждения. [1]

Подразумеваемый разговор

Диаграмма Венна . Белая область показывает, где утверждение ложно.

Пусть S — утверждение вида P влечет Q ( PQ ). Тогда обратным к S является утверждение Q влечет P ( QP ). В общем случае истинность S ничего не говорит об истинности его обратного, [2] если только антецедент P и консеквент Q не являются логически эквивалентными.

Например, рассмотрим истинное утверждение: «Если я человек, то я смертен». Обратное этому утверждению: «Если я смертен, то я человек», что не обязательно является истинным .

Однако обратное утверждение с взаимовключающими терминами остается верным, учитывая истинность исходного утверждения. Это эквивалентно утверждению, что обратное определение является верным. Таким образом, утверждение «Если я треугольник, то я трехсторонний многоугольник» логически эквивалентно утверждению «Если я трехсторонний многоугольник, то я треугольник», поскольку определение «треугольника» — «трехсторонний многоугольник».

Таблица истинности ясно показывает, что S и обратное ему выражение логически не эквивалентны, если только оба термина не подразумевают друг друга:

Переход от утверждения к его обратному является ошибкой утверждения следствия . Однако, если утверждение S и его обратное эквивалентны (т.е. P истинно тогда и только тогда, когда Q также истинно), то утверждение следствия будет верным.

Обратная импликация логически эквивалентна дизъюнкции и

На естественном языке это можно перевести как «не Q без P ».

Обратная теорема

В математике обратная теорема вида PQ будет QP . Обратное может быть верным или нет, и даже если верно, доказательство может быть сложным. Например, теорема о четырех вершинах была доказана в 1912 году, но ее обратная теорема была доказана только в 1997 году. [3]

На практике при определении обратной математической теоремы аспекты антецедента могут быть приняты как устанавливающие контекст. То есть, обратная фраза "Дано P, если Q, то R " будет "Дано P, если R, то Q " . Например, теорему Пифагора можно сформулировать так:

Дан треугольник со сторонами длиной , и , если угол, противолежащий стороне длины, является прямым, то .

Обратное утверждение, которое также встречается в «Началах » Евклида (книга I, предложение 48), можно сформулировать так:

Дан треугольник со сторонами длиной , и , если , то угол, противолежащий стороне длины, является прямым углом.

Обратное отношение

Обратим простое математическое отношение

Если — бинарное отношение с , то обратное отношение также называется транспонированием . [4]

Обозначение

Обратное импликации PQ может быть записано как QP , , но может также быть обозначено как , или "B pq " (в нотации Бохеньского ). [ необходима цитата ]

Категорическое обратное

В традиционной логике процесс замены субъектного термина предикатным термином называется конверсией . Например, переход от «Ни одно S не есть к его обратному «Ни одно P не есть . По словам Асы Махана :

«Исходное предложение называется exposita; преобразованное предложение называется converse. Преобразование действительно тогда и только тогда, когда в converse не утверждается ничего, что не утверждается или не подразумевается в exposita». [5]

«Exposita» чаще называют «convertend». В своей простой форме преобразование действительно только для предложений E и I : [6]

Действительность простого преобразования только для предложений E и I может быть выражена ограничением, что «Ни один термин не должен быть распределён в обратном предложении, которое не было бы распределёно в преобразуемом». [7] Для предложений E и подлежащее, и предикат являются распределёнными , тогда как для предложений I ни то, ни другое не являются распределёнными.

Для предложений A субъект распределен, а предикат — нет, и поэтому вывод из утверждения A к его обратному утверждению недействителен. Например, для предложения A «Все кошки — млекопитающие» обратное утверждение «Все млекопитающие — кошки» очевидно ложно. Однако более слабое утверждение «Некоторые млекопитающие — кошки» истинно. Логики определяют преобразование per accidens как процесс получения этого более слабого утверждения. Вывод из утверждения к его обратному per accidens , как правило, действителен. Однако, как и в случае с силлогизмами , этот переход от всеобщего к частному вызывает проблемы с пустыми категориями: «Все единороги — млекопитающие» часто принимается за истину, в то время как обратное per accidens «Некоторые млекопитающие — единороги» явно ложно.

В исчислении предикатов первого порядка утверждение « Все S есть P» можно представить как [8] . Поэтому ясно, что категориальное обратное утверждение тесно связано с импликационным обратным утверждением, и что S и P нельзя поменять местами в утверждении « Все S есть P» .

Смотрите также

Ссылки

  1. Роберт Оди, ред. (1999), Кембриджский философский словарь , 2-е изд., Cambridge University Press: «converse».
  2. ^ Тейлор, Кортни. «Что такое Converse, Contrapositive, and Inverse?». ThoughtCo . Получено 27.11.2019 .
  3. ^ Shonkwiler, Clay (6 октября 2006 г.). "Теорема о четырех вершинах и ее обратная теорема" (PDF) . math.colostate.edu . Получено 26.11.2019 .
  4. ^ Гюнтер Шмидт и Томас Штрёляйн (1993) Отношения и графы , стр. 9, книги Springer
  5. Аса Махан (1857) Наука логики: или Анализ законов мышления , стр. 82.
  6. ^ Уильям Томас Парри и Эдвард А. Хакер (1991), Аристотелевская логика , SUNY Press, стр. 207.
  7. Джеймс Х. Хислоп (1892), Элементы логики , сыновья К. Скрибнера, стр. 156.
  8. Гордон Ханнингс (1988), Мир и язык в философии Витгенштейна , SUNY Press, стр. 42.

Дальнейшее чтение