Конгруэнтность Куммера

Результат в теории чисел, показывающий сравнения с числами Бернулли

В математике сравнения Куммера — это некоторые сравнения , включающие числа Бернулли , найденные Эрнстом Эдуардом Куммером  (1851).

Кубота и Леопольдт (1964) использовали сравнения Куммера для определения p-адической дзета-функции .

Заявление

Простейшая форма сравнения Куммера гласит, что

${\displaystyle {\frac {B_{h}}{h}}\equiv {\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p}}{\text{ whenever }}h\equiv k{\pmod {p-1}}}$

где p — простое число, h и k — положительные четные целые числа, не делящиеся на p −1, а числа B _h — числа Бернулли .

В более общем случае, если h и k — положительные четные целые числа, не делящиеся на p  − 1, то

${\displaystyle (1-p^{h-1}){\frac {B_{h}}{h}}\equiv (1-p^{k-1}){\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p^{a+1}}}}$

в любое время

${\displaystyle h\equiv k{\pmod {\varphi (p^{a+1})}}}$

где φ( p ^{a +1} ) — функция Эйлера , вычисленная при p ^{a +1} , а a — неотрицательное целое число. При a = 0 выражение принимает более простую форму, как показано выше. Две стороны сравнения Куммера по сути являются значениями p-адической дзета-функции , а сравнения Куммера подразумевают, что p -адическая дзета-функция для отрицательных целых чисел непрерывна, поэтому может быть расширена по непрерывности на все p -адические целые числа.

Смотрите также

• Теорема фон Штаудта – Клаузена , еще одно сравнение, включающее числа Бернулли.
• Число Бернулли § Теоремы Куммера

Ссылки

• Коблиц, Нил (1984),p -адические числа, p -адический анализ и дзета-функции , Graduate Texts in Mathematics , т. 58, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96017-3, МР  0754003
• Кубота, Томио ; Леопольдт, Генрих-Вольфганг (1964), «Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 214/215: 328–339, doi :10.1515/crll.1964.214-215.328, ISSN  0075-4102, MR  0163900
• Куммер, Эрнст Эдуард (1851), «Über eine allgemeine Eigenschaft der Racialen Entwicklungscoëfficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 41 : 368–372, doi :10.1515/crll.1851.41.368, ISSN  0075-4102, ERAM  041.1136cj