Коническая комбинация

Если задано конечное число векторов в действительном векторном пространстве , то коническая комбинация , коническая сумма или взвешенная сумма ^{[1] [2]} этих векторов представляет собой вектор вида ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$

где — неотрицательные действительные числа. ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Название происходит от того факта, что множество всех конических сумм векторов определяет конус (возможно, в подпространстве меньшей размерности ).

Конический корпус

Множество всех конических комбинаций для данного множества S называется конической оболочкой S и обозначается cone ( S ) ^[1] или coni ( S ) . ^[2] То есть,

${\displaystyle \operatorname {coni} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}:x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},\,k\in \mathbb {N} \right\}.}$

Если принять k  = 0, то нулевой вектор ( начало координат ) принадлежит всем коническим оболочкам (поскольку суммирование становится пустой суммой ).

Коническая оболочка множества S является выпуклым множеством . Фактически, это пересечение всех выпуклых конусов, содержащих S плюс начало координат. ^[1] Если S — компактное множество (в частности, когда оно является конечным непустым множеством точек), то условие «плюс начало координат» излишне.

Если отбросить начало координат, то можно разделить все коэффициенты на их сумму и увидеть, что коническая комбинация — это выпуклая комбинация , масштабированная положительным множителем.

На плоскости коническая оболочка окружности, проходящей через начало координат, представляет собой открытую полуплоскость, определяемую касательной к окружности в начале координат и началом координат.

Следовательно, «конические комбинации» и «конические оболочки» на самом деле являются «выпуклыми коническими комбинациями» и «выпуклыми коническими оболочками» соответственно. ^[1] Более того, приведенное выше замечание о делении коэффициентов при отбрасывании начала координат подразумевает, что конические комбинации и оболочки можно рассматривать как выпуклые комбинации и выпуклые оболочки в проективном пространстве .

В то время как выпуклая оболочка компактного множества также является компактным множеством, это не так для конической оболочки; прежде всего, последняя является неограниченной. Более того, это даже не обязательно замкнутое множество : контрпримером является сфера, проходящая через начало координат, при этом коническая оболочка является открытым полупространством плюс начало координат. Однако, если S является непустым выпуклым компактным множеством, которое не содержит начало координат, то выпуклая коническая оболочка S является замкнутым множеством. ^[1]

Смотрите также

Связанные комбинации

• Аффинное сочетание
• Выпуклая комбинация
• Линейная комбинация

Ссылки

1. Выпуклый анализ и алгоритмы минимизации Жана-Батиста Хириара-Уррути, Клода Лемарешаля, 1993, ISBN  3-540-56850-6 , стр. 101, 102
2. Математическое программирование , Мелвин В. Джеттер (1986) ISBN 0-8247-7478-7 , стр. 68