Консервативное расширение

В математической логике консервативное расширение — это супертеория теории , которая часто удобна для доказательства теорем , но не доказывает новых теорем о языке исходной теории. Точно так же неконсервативное расширение — это неконсервативная супертеория, которая может доказать больше теорем, чем оригинал.

Более формально говоря, теория является ( теоретико-доказательным ) консервативным расширением теории, если каждая теорема является теоремой , а любая теорема на языке уже является теоремой . ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$

В более общем смысле, если - набор формул на обычном языке и , то -консервативен относительно того , если каждая формула из доказуемой в также доказуема в . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$

Обратите внимание, что консервативное расширение непротиворечивой теории непротиворечиво. Если бы это было не так, то по принципу взрыва каждая формула на языке была бы теоремой , поэтому каждая формула на языке была бы теоремой и не была бы последовательной. Следовательно, консервативные расширения не несут риска внесения новых несоответствий. Это также можно рассматривать как методологию написания и структурирования больших теорий: начните с теории, о которой известно (или предполагается), что она непротиворечива, и последовательно стройте ее консервативные расширения . ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Недавно консервативные расширения использовались для определения понятия модуля онтологий : если онтология формализована как логическая теория, подтеория является модулем , если вся онтология является консервативным расширением подтеории.

Расширение, которое не является консервативным, можно назвать собственным расширением .

Примеры

• ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$, подсистема арифметики второго порядка , изучаемая в обратной математике , является консервативным расширением арифметики Пеано первого порядка .
• Подсистемы арифметики второго порядка и -консервативны над . ^[1] ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {EFA}}}$
• Подсистема является -консервативным расширением и -консервативным расширением ( примитивно-рекурсивная арифметика ). ^[1] ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PRA}}}$
• Теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя ( ) является консервативным расширением теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора ( ). ${\displaystyle {\mathsf {NBG}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$
• Внутренняя теория множеств представляет собой консервативное расширение теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора ( ). ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$
• Расширения по определениям консервативны.
• Расширения с помощью неограниченных предикатов или функциональных символов консервативны.
• ${\displaystyle I\Sigma _{1}}$(подсистема арифметики Пеано с индукцией только для -формул ) является -консервативным расширением . ^[2] ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PRA}}}$
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$является -консервативным расширением по теореме абсолютности Шонфилда . ${\displaystyle \Sigma _{3}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$с гипотезой континуума является -консервативным расширением . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \Pi _{1}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Теоретико-модельное консервативное расширение

С помощью теоретико-модельных средств получается более сильное понятие: расширение теории является теоретико-модельным консервативным, если и каждая модель может быть расширена до модели . Каждое теоретико-модельное консервативное расширение также является (теоретико-доказательным) консервативным расширением в указанном выше смысле. ^[3] Понятие теории модели имеет преимущество перед понятием теории доказательства, заключающееся в том, что оно не так сильно зависит от используемого языка; с другой стороны, обычно труднее установить теоретическую консервативность модели. ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}\subseteq T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Смотрите также

• Расширение по определениям
• Расширение за счет новых имен констант и функций.

Рекомендации

1. С.Г. Симпсон, Р.Л. Смит, "Факторизация полиномов и -индукция" (1986). Анналы чистой и прикладной логики, том. 31 (с.305)
2. Фернандо Феррейра, Простое доказательство теоремы Парсонса. Журнал формальной логики Нотр-Дама, том 46, № 1, 2005.
3. Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модель теории . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 58 упражнение 8. ISBN 978-0-521-58713-6.

Внешние ссылки

• Важность консервативных расширений основ математики.