Константа лемнискаты

Отношение периметра лемнискаты Бернулли к ее диаметру

Лемниската Бернулли

В математике константа лемнискаты ϖ — это трансцендентная математическая константа, которая является отношением периметра лемнискаты Бернулли к ее диаметру , аналогично определению π для окружности. ^[1] Эквивалентно, периметр лемнискаты равен 2 ϖ . Константа лемнискаты тесно связана с эллиптическими функциями лемнискаты и приблизительно равна 2,62205755. ^[2] Она также появляется при оценке гамма- и бета -функций при определенных рациональных значениях. Символ ϖ — это курсивный вариант π ; см. Pi § Вариант pi . ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}}$

Иногда величины 2 ϖ или ϖ/2 называют константой лемнискаты . ^{[3] [4]}

По состоянию на 2024 год было вычислено более 1,2 триллиона знаков этой константы. ^[5]

История

Постоянная Гаусса , обозначаемая как G , равна ϖ / π ≈ 0,8346268 ^[6] и названа в честь Карла Фридриха Гаусса , который вычислил ее через арифметико-геометрическое среднее как . ^[7] К 1799 году Гаусс имел два доказательства теоремы о том, что где — постоянная лемнискаты. ^[8] ${\displaystyle 1/M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}=\pi /\varpi }$ ${\displaystyle \varpi }$

Джон Тодд назвал еще две константы лемнискаты, первая константа лемнискаты A = ϖ /2 ≈ 1,3110287771 и вторая константа лемнискаты B = π /(2 ϖ ) ≈ 0,5990701173 . ^{[9] [10] [11]}

Трансцендентность константы лемнискаты и первой константы лемнискаты Тодда была доказана Карлом Людвигом Зигелем в 1932 году, а позднее Теодором Шнайдером в 1937 году, а трансцендентность второй константы лемнискаты Тодда и константы Гаусса была доказана Теодором Шнайдером в 1941 году. ^{[9] [12] [13]} В 1975 году Григорий Чудновский доказал, что множество алгебраически независимо над , откуда следует, что и также алгебраически независимы. ^{[14] [15]} Но множество (где штрих обозначает производную по второй переменной) не является алгебраически независимым над . ^[16] В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что множество алгебраически независимо над . ^[17] ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\pi ,\varpi \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\bigl \{}\pi ,M{\bigl (}1,1/{\sqrt {2}}{\bigr )},M'{\bigl (}1,1/{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr \}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{\pi ,\varpi ,e^{\pi }\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Формы

Обычно определяется первым равенством ниже, но имеет много эквивалентных форм: ^[18] ${\displaystyle \varpi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t-t^{3}}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{3}-t}}}\\[6mu]&=4\int _{0}^{\infty }{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{1+t^{4}}}-t{\Bigr )}\,\mathrm {d} t=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-t^{4}}}\mathop {\mathrm {d} t} =3\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{4}}}\,\mathrm {d} t\\[2mu]&=2K(i)={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {2\pi }}}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{4}}{\frac {\zeta (3/4)^{2}}{\zeta (1/4)^{2}}}\\[5mu]&=2.62205\;75542\;92119\;81046\;48395\;89891\;11941\ldots ,\end{aligned}}}$$

где K — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем k , Β — бета-функция , Γ — гамма-функция и ζ — дзета-функция Римана .

Константу лемнискаты можно также вычислить с помощью среднего арифметико-геометрического , ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}}.}$$

Постоянная Гаусса обычно определяется как обратная величина среднего арифметико-геометрического числа 1 и квадратного корня из 2 , после его расчета, опубликованного в 1800 году: ^[19] Константы лемнискат Джона Тодда могут быть заданы через бета-функцию B: ${\displaystyle M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}$ $${\displaystyle G={\frac {1}{M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\varpi }{2}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )},\\[3mu]B&={\frac {\pi }{2\varpi }}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

Как особое значение L-функций

$${\displaystyle \beta '(0)=\log {\frac {\varpi }{\sqrt {\pi }}}}$$

что аналогично

$${\displaystyle \zeta '(0)=\log {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$$

где — бета-функция Дирихле , а — дзета-функция Римана . ^[20] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \zeta }$

Аналогично формуле Лейбница для π , имеем ^{[21] [22] [23] [24] [25]} где — L-функция эллиптической кривой над ; это означает, что — мультипликативная функция, заданная как , где — число решений сравнения в переменных, которые являются неотрицательными целыми числами ( — множество всех простых чисел). Эквивалентно, задается как , такое что и — эта-функция . ^{[26] [27] [28]} Вышеуказанный результат можно эквивалентно записать как (число является проводником ) , и он также говорит нам, что гипотеза BSD верна для указанного выше . ^[29] Первые несколько значений приведены в следующей таблице; если такое, что не появляется в таблице, то : $${\displaystyle \beta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n}}={\frac {\pi }{4}},}$$ $${\displaystyle L(E,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\nu (n)}{n}}={\frac {\varpi }{4}}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E:\,y^{2}=x^{3}-x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \nu (p^{n})={\begin{cases}p-{\mathcal {N}}_{p},&p\in \mathbb {P} ,\,n=1\\[5mu]0,&p=2,\,n\geq 2\\[5mu]\nu (p)\nu (p^{n-1})-p\nu (p^{n-2}),&p\in \mathbb {P} \setminus \{2\},\,n\geq 2\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}}$ $${\displaystyle a^{3}-a\equiv b^{2}\,(\operatorname {mod} p),\quad p\in \mathbb {P} }$$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle F(\tau )=\eta (4\tau )^{2}\eta (8\tau )^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (n)q^{n},\quad q=e^{2\pi i\tau }}$$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {\Im } \tau >0}$ ${\displaystyle \eta }$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\nu (n)}{n}}e^{-2\pi n/{\sqrt {32}}}={\frac {\varpi }{8}}}$$ ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 1\leq n\leq 113}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu (n)=0}$ $${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline n&\nu (n)&n&\nu (n)\\\hline 1&1&53&14\\\hline 5&-2&61&-10\\\hline 9&-3&65&-12\\\hline 13&6&73&-6\\\hline 17&2&81&9\\\hline 25&-1&85&-4\\\hline 29&-10&89&10\\\hline 37&-2&97&18\\\hline 41&10&101&-2\\\hline 45&6&109&6\\\hline 49&-7&113&-14\\\hline \end{array}}}$$

Как особое значение других функций

Пусть будет минимальной формой уровня веса. Тогда ^[30] -коэффициент - это функция тау Рамануджана . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle 1}$ $${\displaystyle \Delta (i)={\frac {1}{64}}\left({\frac {\varpi }{\pi }}\right)^{12}.}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \Delta }$

Ряд

Формулу Виета для π можно записать так:

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$$

Аналогичная формула для ϖ : ^[31]

$${\displaystyle {\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\!{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$$

Произведение Уоллиса для π равно:

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\biggr )}\cdots }$$

Аналогичная формула для ϖ : ^[32]

$${\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n-2}}\cdot {\frac {4n}{4n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{6}}\cdot {\frac {8}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{10}}\cdot {\frac {12}{13}}{\biggr )}\cdots }$$

Связанный результат для постоянной Гаусса ( ) таков: ^[33] ${\displaystyle G=\varpi /\pi }$

$${\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n}}\cdot {\frac {4n+2}{4n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {6}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{8}}\cdot {\frac {10}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{12}}\cdot {\frac {14}{13}}{\biggr )}\cdots }$$

Бесконечный ряд, открытый Гауссом, имеет вид: ^[34]

$${\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)^{2}}{(2k)^{2}}}=1-{\frac {1^{2}}{2^{2}}}+{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}}}-{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}\cdot 6^{2}}}+\cdots }$$

Формула Мачина для π имеет вид и несколько подобных формул для π могут быть разработаны с использованием тригонометрических тождеств суммы углов, например, формула Эйлера . Аналогичные формулы могут быть разработаны для ϖ , включая следующую, найденную Гауссом: , где — арксинус лемнискаты . ^[35] ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}}$ ${\displaystyle \operatorname {arcsl} }$

Константу лемнискаты можно быстро вычислить с помощью ряда ^{[36] [37]}

${\displaystyle \varpi =2^{-1/2}\pi {\biggl (}\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}{\biggr )}^{2}=2^{1/4}\pi e^{-\pi /12}{\biggl (}\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi p_{n}}{\biggr )}^{2}}$

где (это обобщенные пятиугольные числа ). Также ^[38] ${\displaystyle p_{n}={\tfrac {1}{2}}(3n^{2}-n)}$

${\displaystyle \sum _{m,n\in \mathbb {Z} }e^{-2\pi (m^{2}+mn+n^{2})}={\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\dfrac {\varpi }{12^{1/8}\pi }}.}$

В духе, подобном духу Базельской проблемы ,

${\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}(i)={\frac {\varpi ^{4}}{15}}}$

где — гауссовские целые числа , а — ряд Эйзенштейна веса ⁠ ⁠ ( более общий результат см. в разделе Лемнискатные эллиптические функции § Числа Гурвица ). ^[39] ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle G_{4}}$ ${\displaystyle 4}$

Связанный результат:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)e^{-2\pi n}={\frac {\varpi ^{4}}{80\pi ^{4}}}-{\frac {1}{240}}}$

где — функция суммы положительных делителей . ^[40] ${\displaystyle \sigma _{3}}$

В 1842 году Мальмстен обнаружил

${\displaystyle \beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\log(2n+1)}{2n+1}}={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\log {\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\right)}$

где — постоянная Эйлера , — функция Дирихле-Бета. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta (s)}$

Константа лемнискаты определяется быстро сходящимся рядом

$${\displaystyle \varpi =\pi {\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}{\biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}{\biggr )}^{2}.}$$

Константа также задается бесконечным произведением

${\displaystyle \varpi =\pi \prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$

Также ^[41]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{6635520^{n}}}{\frac {(4n)!}{n!^{4}}}={\frac {24}{5^{7/4}}}{\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}}}.}$

Непрерывные дроби

(Обобщенная) цепная дробь для π имеет вид Аналогичная формула для ϖ имеет вид ^[10] $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2\cdot 3}{2+{\cfrac {4\cdot 5}{2+{\cfrac {6\cdot 7}{2+\ddots }}}}}}}}}$$

Определим непрерывную дробь Брункера как [ ^42] Пусть за исключением первого равенства, где . Тогда ^{[43] [44]} Например, $${\displaystyle b(s)=s+{\cfrac {1^{2}}{2s+{\cfrac {3^{2}}{2s+{\cfrac {5^{2}}{2s+\ddots }}}}}},\quad s>0.}$$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b(4n)&=(4n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(4k-1)^{2}}{(4k-3)(4k+1)}}{\frac {\pi }{\varpi ^{2}}}\\b(4n+1)&=(2n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}}{\frac {4}{\pi }}\\b(4n+2)&=(4n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(4k-3)(4k+1)}{(4k-1)^{2}}}{\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}\\b(4n+3)&=(2n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)(2k+1)}{(2k)^{2}}}\,\pi .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b(1)&={\frac {4}{\pi }},&b(2)&={\frac {\varpi ^{2}}{\pi }},&b(3)&=\pi ,&b(4)&={\frac {9\pi }{\varpi ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Фактически, значения и в сочетании с функциональным уравнением определяют значения для всех . ${\displaystyle b(1)}$ ${\displaystyle b(2)}$ $${\displaystyle b(s+2)={\frac {(s+1)^{2}}{b(s)}},}$$ ${\displaystyle b(n)}$ ${\displaystyle n}$

Простые цепные дроби

Простые непрерывные дроби для константы лемнискаты и связанных констант включают ^{[45] [46]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=[2,1,1,1,1,1,4,1,2,\ldots ],\\[8mu]2\varpi &=[5,4,10,2,1,2,3,29,\ldots ],\\[5mu]{\frac {\varpi }{2}}&=[1,3,4,1,1,1,5,2,\ldots ],\\[2mu]{\frac {\varpi }{\pi }}&=[0,1,5,21,3,4,14,\ldots ].\end{aligned}}}$$

Интегралы

Геометрическое представление и ${\displaystyle \varpi /2}$ ${\displaystyle \varpi /{\sqrt {2}}}$

Константа лемнискаты ϖ связана с площадью под кривой . Определяя , удвоенная площадь в положительном квадранте под кривой равна В случае четвертой степени, ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$ ${\displaystyle \pi _{n}\mathrel {:=} \mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$ ${\textstyle 2\int _{0}^{1}{\sqrt[{n}]{1-x^{n}}}\mathop {\mathrm {d} x} ={\tfrac {1}{n}}\pi _{n}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi _{4}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi .}$

В 1842 году Мальмстен обнаружил, что ^[47]

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log(-\log x)}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\log {\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}.}$$

Более того, $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\tanh x}{x}}e^{-x}\,dx=\log {\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}}$$

и ^[48]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\,dx={\frac {\sqrt {2\varpi {\sqrt {2\pi }}}}{4}},\quad {\text{analogous to}}\,\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}},}$$форма гауссовского интеграла .

Константа лемнискаты появляется при оценке интегралов

$${\displaystyle {\frac {\pi }{\varpi }}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,dx}$$

$${\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}$$

Константы лемнискаты Джона Тодда определяются интегралами: ^[9]

$${\displaystyle A=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$$

$${\displaystyle B=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$$

Окружность эллипса

Константа лемнискаты удовлетворяет уравнению ^[49]

$${\displaystyle {\frac {\pi }{\varpi }}=2\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$$

Эйлер открыл в 1738 году, что для прямоугольной эластики (первая и вторая константы лемнискаты) ^{[50] [49]}

$${\displaystyle {\textrm {arc}}\ {\textrm {length}}\cdot {\textrm {height}}=A\cdot B=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\cdot \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\mathop {\mathrm {d} x} }{\sqrt {1-x^{4}}}}={\frac {\varpi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\varpi }}={\frac {\pi }{4}}}$$

Теперь, рассматривая окружность эллипса с осями и , удовлетворяющую , Стерлинг заметил, что ^[51] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2x^{2}+4y^{2}=1}$

$${\displaystyle {\frac {C}{2}}=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}+\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$$

Следовательно, полная окружность равна

$${\displaystyle C={\frac {\pi }{\varpi }}+\varpi =3.820197789\ldots }$$

Это также длина дуги синусоиды на половине периода: ^[52]

$${\displaystyle C=\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx}$$

Другие ограничения

Аналогично тому, где находятся числа Бернулли , имеем где находятся числа Гурвица . $${\displaystyle 2\pi =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(2n)!}{\mathrm {B} _{2n}}}\right|^{\frac {1}{2n}}}$$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{n}}$ $${\displaystyle 2\varpi =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {(4n)!}{\mathrm {H} _{4n}}}\right)^{\frac {1}{4n}}}$$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}}$

Примечания

1. См.:
   • Гаусс, CF (1866). Werke (Band III) (на латыни и немецком языке). Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.стр. 404
   • Кокс 1984, стр. 281
   • Эймар, Пьер; Лафон, Жан-Пьер (2004). Число Пи . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3246-8.стр. 199
   • Bottazzini, Umberto ; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory . Springer. doi : 10.1007/978-1-4614-5725-1. ISBN 978-1-4614-5724-4.стр. 57
   • Аракава, Цунео; Ибукияма, Томоёси; Канеко, Масанобу (2014). Числа Бернулли и дзета-функции . Спрингер. ISBN 978-4-431-54918-5.стр. 203
2. См.:
   • Финч 2003, стр. 420
   • Кобаяси, Хироюки; Такеучи, Синго (2019), «Применение обобщенных тригонометрических функций с двумя параметрами», Сообщения по чистому и прикладному анализу , 18 (3): 1509–1521, arXiv : 1903.07407 , doi : 10.3934/cpaa.2019072, S2CID  102487670
   • Асаи, Тетсуя (2007), Эллиптические суммы Гаусса и L-значения Гекке при s=1 , arXiv : 0707.3711
   • «A062539 - Оеис».
3. "A064853 - Оеис".
4. «Константа лемнискаты».
5. "Рекорды, установленные y-cruncher". numberworld.org . Получено 2024-08-20 .
6. "A014549 - Оеис".
7. Финч 2003, стр. 420.
8. Ни одно из этих доказательств не было строгим с современной точки зрения. См. Cox 1984, стр. 281
9. Тодд, Джон (январь 1975). «Константы лемнискаты». Сообщения ACM . 18 (1): 14–19. doi : 10.1145/360569.360580 . S2CID  85873.
10. "A085565 - Oeis".и «A076390 - Oeis».
11. Карлсон, BC (2010), «Эллиптические интегралы», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
12. В частности, Зигель доказал, что если и с алгебраичны, то или трансцендентно. Здесь и — ряды Эйзенштейна . Тот факт, что трансцендентно, следует из и ${\displaystyle \operatorname {G} _{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {G} _{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\omega _{2}/\omega _{1})>0}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {G} _{4}}$ ${\displaystyle \operatorname {G} _{6}}$ ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle \operatorname {G} _{4}(\varpi ,\varpi i)=1/15}$ ${\displaystyle \operatorname {G} _{6}(\varpi ,\varpi i)=0.}$
    Апостол, ТМ (1990). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (Второе изд.). Springer. стр. 12. ISBN 0-387-97127-0.
    Сигел, CL (1932). «Über die Perioden elliptischer Funktionen». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 167 : 62–69.
13. В частности, Шнайдер доказал, что бета-функция трансцендентна для всех таких, что . Тот факт, что она трансцендентна, следует из и аналогично для B и G из ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$ ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.}$
    Шнайдер, Теодор (1941). «Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale». Журнал для королевы и математики . 183 (19): 110–128. дои : 10.1515/crll.1941.183.110. S2CID  118624331.
14. Г. В. Чудновский: Алгебраическая независимость констант, связанных с функциями анализа , Извещения АМН 22, 1975, стр. А-486
15. Г. В. Чудновский: Вклад в теорию трансцендентных чисел , Американское математическое общество, 1984, стр. 6
16. На самом деле, $${\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}{M'\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}={\frac {1}{G^{3}M'\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}.}$$
    Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.стр. 45
17. Нестеренко, Ю. В.; Филиппон, П. (2001). Введение в теорию алгебраической независимости . Springer. стр. 27. ISBN 3-540-41496-7.
18. См.:
    • Кокс 1984, стр. 281
    • Финч 2003, стр. 420–422
    • Шаппахер, Норберт (1997). «Некоторые вехи лемнискатомии» (PDF) . В Sertöz, S. (ред.). Алгебраическая геометрия (Труды летней школы Билькент, 7–19 августа 1995 г., Анкара, Турция). Марсель Деккер. стр. 257–290.
19. Кокс 1984, стр. 277.
20. "A113847 - Оеис".
21. Кремона, Дж. Э. (1997). Алгоритмы для модулярных эллиптических кривых (2-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 0521598206.стр. 31, формула (2.8.10)
22. Фактически, ряд сходится при . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\nu (n)}{n^{s}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {\Re } s>5/6}$
23. Мурти, Виджая Кумар (1995). Семинар по Великой теореме Ферма . Американское математическое общество . стр. 16. ISBN 9780821803134.
24. Коэн, Анри (1993). Курс вычислительной алгебраической теории чисел . Springer-Verlag. С. 382–406. ISBN 978-3-642-08142-2.
25. "Эллиптическая кривая с меткой LMFDB 32.a3 (метка Кремоны 32a2)". База данных L-функций и модульных форм .
26. Функция представляет собой уникальную новую форму уровня веса и удовлетворяет функциональному уравнению ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 32}$

    ${\displaystyle F\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)=-{\frac {\tau ^{2}}{32}}F\left({\frac {\tau {\vphantom {1}}}{32}}\right).}$

27. Функция тесно связана с функцией, которая является мультипликативной функцией, определяемой формулой ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi }$

    ${\displaystyle \xi (p^{n})={\begin{cases}{\mathcal {N}}_{p}',&p\in \mathbb {P} ,\,n=1\\[5mu]\xi (p^{n-1})+\chi (p)^{n},&p\in \mathbb {P} ,\,n\geq 2\end{cases}}}$

    где - число решений уравнения ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}'}$

    ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p,\quad p\in \mathbb {P} }$

    в переменных , которые являются неотрицательными целыми числами (см. теорему Ферма о суммах двух квадратов ) и является характером Дирихле из формулы Лейбница для π; также ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \chi }$

    ${\displaystyle \sum _{d|n}\chi (d)=\xi (n)}$

    для любого положительного целого числа , где сумма распространяется только на положительные делители; соотношение между и равно ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi }$

    ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\xi (4k+1)\xi (4n-4k+1)=\nu (2n+1)}$

    где — любое неотрицательное целое число. ${\displaystyle n}$
28. Функция также появляется в ${\displaystyle \nu }$

    ${\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {G} ;\,z{\overline {z}}=n}z=\nu (n)}$

    где — любое положительное целое число, а — множество всех гауссовых целых чисел вида ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {G} } }$

    ${\displaystyle (-1)^{\frac {a\pm b-1}{2}}(a\pm bi)}$

    где нечетно и четно. Функция из предыдущей заметки удовлетворяет ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \xi }$

    ${\displaystyle \left|\{z:z\in \mathbb {G} \land z{\overline {z}}=n\}\right|=\xi (n)}$

    где положительное нечетное. ${\displaystyle n}$
29. Рубин, Карл (1987). «Группы Тейта-Шафаревича и L-функции эллиптических кривых с комплексным умножением». Inventiones Mathematicae . 89 : 528.
30. "Newform orbit 1.12.aa". База данных L-функций и модульных форм .
31. Левин (2006)
32. Хайд (2014) доказывает справедливость более общей формулы типа Уоллиса для клеверных кривых; здесь частный случай лемнискаты слегка преобразован для ясности.
33. Хайд, Тревор (2014). «Произведение Уоллиса на клевере» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 121 (3): 237–243. doi :10.4169/amer.math.monthly.121.03.237. S2CID  34819500.
34. Bottazzini, Umberto ; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory . Springer. doi : 10.1007/978-1-4614-5725-1. ISBN 978-1-4614-5724-4.стр. 60
35. Тодд (1975)
36. Cox 1984, стр. 307, уравнение 2.21 для первого равенства. Второе равенство можно доказать, используя теорему о пятиугольном числе .
37. Берндт, Брюс С. (1998). Записные книжки Рамануджана, часть V. Springer. ISBN 978-1-4612-7221-2.стр. 326
38. Эту формулу можно доказать с помощью гипергеометрической инверсии : Пусть

    ${\displaystyle \operatorname {a} (q)=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }q^{m^{2}+mn+n^{2}}}$

    где с . Тогда ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left|q\right|<1}$

    ${\displaystyle \operatorname {a} (q)={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},1,z\right)}$

    где

    ${\displaystyle q=\exp \left(-{\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}(1/3,2/3,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/3,2/3,1,z)}}\right)}$

    где . Рассматриваемая формула следует из подстановки . ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ ${\textstyle z={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}3{\sqrt {3}}-5{\bigr )}}$
39. Эймар, Пьер; Лафон, Жан-Пьер (2004). Число Пи . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3246-8.стр. 232
40. Гарретт, Пол. "Эллиптические модулярные формы первого уровня" (PDF) . Университет Миннесоты .стр. 11—13
41. Формула следует из гипергеометрического преобразования

    ${\displaystyle {}_{3}F_{2}\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},1,1,16z{\frac {(1-z)^{2}}{(1+z)^{4}}}\right)=(1+z)\,{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)^{2}}$

    где и — модульная лямбда-функция . ${\displaystyle z=\lambda (1+5i)}$ ${\displaystyle \lambda }$
42. Хрущев, Сергей (2008). Ортогональные многочлены и непрерывные дроби (первое издание). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85419-1.стр. 140 (уравнение 3.34), стр. 153. На стр. 153 ошибка: должно быть . ${\displaystyle 4[\Gamma (3+s/4)/\Gamma (1+s/4)]^{2}}$ ${\displaystyle 4[\Gamma ((3+s)/4)/\Gamma ((1+s)/4)]^{2}}$
43. Хрущев, Сергей (2008). Ортогональные многочлены и непрерывные дроби (первое издание). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85419-1.стр. 146, 155
44. Перрон, Оскар (1957). Die Lehre von den Kettenbrüchen: Band II (на немецком языке) (Третье изд.). Б. Г. Тойбнер.стр. 36, ур. 24
45. "A062540 - OEIS". oeis.org . Получено 2022-09-14 .
46. "A053002 - OEIS". oeis.org .
47. Blagouchine, Iaroslav V. (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты». The Ramanujan Journal . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
48. "A068467 - Оеис".
49. Cox 1984, стр. 313.
50. Левин (2008)
51. Кокс 1984, стр. 312.
52. Адлай, Семён (2012). "Красноречивая формула для периметра эллипса" (PDF) . Американское математическое общество . стр. 1097. Можно также заметить, что длина кривой "синусоиды" за половину периода, то есть длина графика функции sin(t) от точки, где t = 0, до точки, где t = π , равна . ${\displaystyle {\sqrt {2}}l(1/{\sqrt {2}})=L+M}$В этой статье и . ${\displaystyle M=1/G=\pi /\varpi }$ ${\displaystyle L=\pi /M=G\pi =\varpi }$

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа лемнискаты». Математический мир .
• Последовательности A014549, A053002 и A062539 в OEIS
• Кокс, Дэвид А. (январь 1984 г.). «Среднее арифметико-геометрическое Гаусса» (PDF) . L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 275–330. doi :10.5169/seals-53831 . Получено 25 июня 2022 г. .
• Финч, Стивен Р. (18 августа 2003 г.). Математические константы. Cambridge University Press. стр. 420–422. ISBN 978-0-521-81805-6.

Внешние ссылки

• «Постоянная Гаусса и где она встречается». www.johndcook.com . 2021-10-17.