В геометрии конфигурация Грюнбаума–Ригби — это симметричная конфигурация, состоящая из 21 точки и 21 прямой, с четырьмя точками на каждой прямой и четырьмя прямыми, проходящими через каждую точку. Первоначально изученная Феликсом Клейном в комплексной проективной плоскости в связи с квартикой Клейна , она была впервые реализована в евклидовой плоскости Бранко Грюнбаумом и Джоном Ф. Ригби .
Конфигурация Грюнбаума–Ригби была известна Феликсу Клейну , Уильяму Бернсайду и Х. С. М. Кокстеру . [1] Её первоначальное описание Клейном в 1879 году ознаменовало первое появление в математической литературе 4-конфигурации, системы точек и прямых с четырьмя точками на прямой и четырьмя прямыми на точку. [2] В описании Клейна эти точки и прямые принадлежат комплексной проективной плоскости , пространству, координаты которого являются комплексными числами, а не действительными координатами евклидовой плоскости.
Геометрическая реализация этой конфигурации в виде точек и линий на евклидовой плоскости , основанная на наложении трех правильных гептаграмм , была установлена гораздо позже Бранко Грюнбаумом и Дж. Ф. Ригби (1990). Их статья об этом стала первой из серии работ Грюнбаума о конфигурациях и содержала первое опубликованное графическое изображение 4-конфигурации. [3]
В нотации конфигураций конфигурации с 21 точкой, 21 прямой, 4 точками на прямую и 4 прямыми на точку обозначены (21 4 ). Однако нотация не определяет саму конфигурацию, а только ее тип (число точек, прямых и инцидентностей). Она также не определяет, является ли конфигурация чисто комбинаторной (абстрактная схема инцидентности прямых и точек) или реализуемы ли точки и прямые конфигурации на евклидовой плоскости или другой стандартной геометрии. Тип (21 4 ) весьма неоднозначен: существует неизвестное, но большое количество (комбинаторных) конфигураций этого типа, 200 из которых были перечислены Ди Паолой и Гроппом (1989). [4]
Конфигурация Грюнбаума–Ригби может быть построена из семи точек правильного семиугольника и его 14 внутренних диагоналей. Чтобы завершить 21 точку и линию конфигурации, их нужно увеличить еще на 14 точек и семь линий. Оставшиеся 14 точек конфигурации — это точки, где пары диагоналей одинаковой длины семиугольника пересекаются друг с другом. Они образуют два меньших семиугольника, по одному для каждой из двух длин диагоналей; стороны этих меньших семиугольников являются диагоналями внешнего семиугольника. Каждый из двух меньших семиугольников имеет 14 диагоналей, семь из которых являются общими с другим меньшим семиугольником. Семь общих диагоналей являются оставшимися семью линиями конфигурации. [5]
Первоначальное построение конфигурации Грюнбаума–Ригби Клейном рассматривало ее точки и линии как принадлежащие комплексной проективной плоскости , а не евклидовой плоскости. В этом пространстве точки и линии образуют перспективные центры и оси перспективных преобразований квартики Клейна . [6] Они имеют ту же схему пересечений точек и линий, что и евклидова версия конфигурации.
Конечная проективная плоскость имеет 57 точек и 57 прямых, и ей можно задать координаты на основе целых чисел по модулю 7. В этом пространстве каждая коника (множество решений квадратного уравнения с двумя переменными по модулю 7) имеет 28 секущих прямых, проходящих через пары ее точек, 8 касательных прямых, проходящих через одну точку, и 21 несекущую прямую, которые не пересекаются с . Двойственно, есть 28 точек, где встречаются пары касательных прямых, 8 точек на и 21 внутренняя точка, которые не принадлежат ни одной касательной прямой. 21 несекущая прямая и 21 внутренняя точка образуют пример конфигурации Грюнбаума–Ригби, что означает, что эти точки и прямые снова имеют одинаковую схему пересечений. [7]
Проективно -двойственная этой конфигурации система точек и линий с точкой для каждой линии конфигурации и линией для каждой точки, и с теми же инцидентностями точка-линия, является той же конфигурацией. Группа симметрии конфигурации включает симметрии, которые переводят любую инцидентную пару точек и линий в любую другую инцидентную пару. [8] Конфигурация Грюнбаума–Ригби является примером полициклической конфигурации, то есть конфигурации с циклической симметрией , такой, что каждая орбита точек или линий имеет одинаковое число элементов. [9]
